高中物理微元法解决物理试题解题技巧及练习题

高中物理微元法解决物理试题解题技巧及练习题
一、微元法解决物理试题
1．解放前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用．如图，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F ，方向与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r ，磨盘绕轴缓慢转动，则在转动一周的过程中推力F 做的功为
A ．0
B ．2πrF
C ．2Fr
D ．-2πrF
【答案】B 【解析】 【分析】
cos W Fx α=适用于恒力做功，因为推磨的过程中力方向时刻在变化是变力，但由于圆周
运动知识可知，力方向时刻与速度方向相同，根据微分原理可知，拉力所做的功等于力与路程的乘积； 【详解】
由题可知：推磨杆的力的大小始终为F ，方向与磨杆始终垂直，即其方向与瞬时速度方向相同，即为圆周切线方向，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等于拉力的大小与拉力作用点沿圆周运动弧长的乘积，由题意知，磨转动一周，弧长2L r π=，所以拉力所做的功2W FL rF π==，故选项B 正确，选项ACD 错误． 【点睛】
本题关键抓住推磨的过程中力方向与速度方向时刻相同，即拉力方向与作用点的位移方向时刻相同，根据微分思想可以求得力所做的功等于力的大小与路程的乘积，这是解决本题的突破口．
2．水刀切割具有精度高、无热变形、无毛刺、无需二次加工以及节约材料等特点，得到广泛应用．某水刀切割机床如图所示，若横截面直径为d 的水流以速度v 垂直射到要切割的钢板上，碰到钢板后水的速度减为零，已知水的密度为ρ，则钢板受到水的冲力大小为
A ．2d v πρ
B ．22d v πρ
C ．2
14
d v πρ
D ．22
14
d v πρ
【答案】D 【解析】 【分析】
【详解】
设t 时间内有V 体积的水打在钢板上，则这些水的质量为：
21
4
m V Svt d vt ρρπρ===
以这部分水为研究对象，它受到钢板的作用力为F ，以水运动的方向为正方向，由动量定理有：
Ft =0-mv
解得：
221
4
mv F d v t πρ=-
=- A. 2d v πρ与分析不符，故A 错误． B. 22d v πρ与分析不符，故B 错误． C. 21
4
d v πρ与分析不符，故C 错误． D.
221
4
d v πρ与分析相符，故D 正确．
3．如图甲所示，静止于光滑水平面上的小物块，在水平拉力F 的作用下从坐标原点O 开始沿x 轴正方向运动，F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线右半部分为四分之一圆弧，则小物块运动到2x 0处时的动能可表示为（ ）
A ．0
B ．
1
2
F m x 0（1+π） C ．
1
2F m x 0（1+2π） D ．F m x 0
【答案】C 【解析】 【详解】
F -x 图线围成的面积表示拉力F 做功的大小，可知F 做功的大小W =
1
2F m x 0+14
πx 02，根据动能定理得，E k =W =12F m x 0+14πx 02 =01122m F x π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭，故C 正确，ABD 错误。

故选C 。

4．如图所示，粗细均匀的U 形管内装有同种液体，在管口右端用盖板A 密闭，两管内液面的高度差为h ，U 形管中液柱的总长为4h ｡现拿去盖板A ，液体开始流动，不计液体内部及
液体与管壁间的阻力，则当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度是
A ．
gh 8
B ．
4
gh C ．
2
gh D ．gh
【答案】A 【解析】
试题分析：拿去盖板，液体开始运动，当两液面高度相等时，液体的机械能守恒，即可求出右侧液面下降的速度．当两液面高度相等时，右侧高为h 液柱重心下降了1 4
h ，液柱的重力势能减小转化为整个液体的动能．
设管子的横截面积为S ，液体的密度为ρ．拿去盖板，液体开始运动，根据机械能守恒定律得211
442hSg h hSv ρρ⋅
=，解得8
gh
v =，A 正确．
5．如图所示，摆球质量为m ，悬线长为L ，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球运动过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是( )
A ．重力做功为mgL
B ．悬线的拉力做功为0
C ．空气阻力F 阻做功为－mgL
D ．空气阻力F 阻做功为－1
2
F 阻πL 【答案】ABD 【解析】 【详解】
A ．由重力做功特点得重力做功为：
W G ＝mgL
A 正确；
B ．悬线的拉力始终与v 垂直，不做功，B 正确； CD ．由微元法可求得空气阻力做功为：
W F 阻＝－
1
2
F 阻πL C 错误，D 正确．
6．如图所示，摆球质量为m ，悬线长度为L ，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A 点运动到B 点的过程中空气阻力的大小F 阻不变，则下列说法正确的是( )
A ．重力做功为mgL
B ．悬线的拉力做功为0
C ．空气阻力做功为－mgL
D ．空气阻力做功为－1
2
F 阻πL 【答案】ABD 【解析】 【详解】 A ．如图所示
重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为AB 在竖直方向上的投影
L ，所以G W mgL =．故A 正确．
B ．因为拉力T F 在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即FT 0W =．故B 正确． CD ．F 阻所做的总功等于每个小弧段上F 阻所做功的代数和，即
121
(ΔΔ)π2
F W F x F x F L =-++
=-阻阻阻阻
故C 错误，D 正确； 故选ABD ． 【点睛】
根据功的计算公式可以求出重力、拉力与空气阻力的功．注意在求阻力做功时，要明确阻力大小不变，方向与运动方向相反；故功等于力与路程的乘积．
7．位于光滑水平面上的小车受到水平向右的拉力作用从静止开始运动，已知这一过程中拉力大小由F 1随时间均匀增大到F 2，所用时间为t ，小车的位移为s ，小车末速度为v 。

则下列判断正确的是（ ） A ．小车增加的动能等于()121
2
F F s + B ．小车增加的动能大于()121
2
F F s + C ．小车增加的动量等于()121
2
F F t + D ．小车的位移小于12
vt 【答案】BCD 【解析】 【详解】
AB ．因为拉力大小由F 1随时间均匀增大到F 2，而小车做加速运动，位移在单位时间内增加的越来越大，所以若将位移s 均分为无数小段，则在每一小段位移内F 增加的越来越慢，如图所示（曲线表示题所示情况，直线表示拉力随s 均匀变化情况），而图像的面积表示拉力做的功。

其中拉力随s 均匀变化时，拉力做功为：
()121
2
W F F s =
+， 故当拉力大小由F 1随时间均匀增大到F 2时（曲线情况），做功大于()121
2
F F s +，根据动能定理可知小车增加的动能大于
()121
2
F F s +，A 错误B 正确； C ．因为拉力是随时间均匀增大，故在t 时间内拉力的平均值为：
()121
2
F F F +=
， 所以物体动量增加量为：
()121
2
p F F t ∆=
+，
D ．根据牛顿第二定律可知在力随时间均匀增大的过程中物体运动的加速度逐渐增大，即
v t -图像的斜率增大（图中红线所示，而黑线表示做匀加速直线运动情况）。

根据v t -图像的面积表示位移可知小车的位移小于1
2
vt ，D 正确。

故选BCD 。

8．如图所示，小球质量为m ，悬线的长为L ，小球在位置A 时悬线水平，放手后，小球运动到位置B ，悬线竖直。

设在小球运动过程中空气阻力f 的大小不变，重力加速度为
g ，关于该过程，下列说法正确的是（ ）
A ．重力做的功为mgL
B ．悬线的拉力做的功为0
C ．空气阻力f 做的功为mgL -
D ．空气阻力f 做的功为2
fL π
-
【答案】ABD 【解析】 【详解】
AB ．如图所示，因为拉力T 在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即
T 0W =
重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为A 、B 两点连线在竖直方向上的投影，为L ，所以
G W mgL =
故AB 正确；
CD ．空气阻力所做的总功等于每个小弧段上f 所做功的代数和，即
()f 12π2
W f x f x fL =-∆+∆+⋅⋅⋅=-
故C 错误，D 正确。

9．如图所示，在方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，有两条相互平行且相距为d 的光滑固定金属导轨P 1P 2P 3和Q 1Q 2Q 3，两导轨间用阻值为R 的电阻连接，导轨P 1P 2、Q 1Q 2的倾角均为θ，导轨P 2P 3、 Q 2Q 3在同一水平面上，P 2Q 2⊥P 2 P 3，倾斜导轨和水平导轨用相切的小段光滑圆弧连接．质量为m 的金属杆CD 从与P 2Q 2处时的速度恰好达到最大，然后沿水平导轨滑动一段距离后停下．杆CD 始终垂直导轨并与导轨保持良好接触，空气阻力、导轨和杆CD 的电阻均不计，重力加速度大小为g ，求：
（1）杆CD 到达P 2Q 2处的速度大小v m ；
（2）杆CD 沿倾斜导轨下滑的过程通过电阻R 的电荷量q 1以及全过程中电阻R 上产生的焦耳热Q ；
（3）杆CD 沿倾斜导轨下滑的时间Δt 1及其停止处到P 2Q 2的距离s ．
【答案】（1）222sin cos m mgR v B d θθ=（2）sin Q mgL θ=（3）22442
sin cos m gR s B d θ
θ
= 【解析】
（1）经分析可知，杆CD 到达22P Q 处同时通过的电流最大（设为m I ），且此时杆CD 受力平衡，则有cos sin m B dI mg θθ⋅=
此时杆CD 切割磁感线产生的感应电动势为cos m E B dv θ=⋅ 由欧姆定律可得m m E I R
=
，解得222sin cos m mgR v B d θ
θ=
（2）杆CD 沿倾斜导轨下滑过程中的平均感应电动势为1
1
E t ∆Φ=∆，1cos B Ld θ∆Φ=⋅ 该过程中杆CD 通过的平均电流为1
1E I R
=
，又111q I t =∆，解得1cos BdL q R θ=
对全过程，根据能量守恒定律可得sin Q mgL θ= （3）在杆CD 沿倾斜导轨下滑的过程中，根据动量定理有
111sin cos 0m mg t B I d t mv θθ⋅∆-⋅∆=-
解得2221222
cos cos sin mR B d L t B d mgR θ
θθ
∆=+ 在杆CD 沿水平导轨运动的过程中，根据动量定理有220m BI d t mv -⋅∆=-，该过程中通过R 的电荷量为222q I t =∆ 由求1q 得方法同理可得2Bds
q R
=
， 解得22442
sin cos m gR s B d θ
θ
= 点睛：解决本题时，推导电量的经验公式Ф
q R
=
和运用动量定理求速度是解题的关键，并能抓住感应电荷量与动量定理之间的内在联系．
10．光子具有能量，也具有动量．光照射到物体表面时，会对物体产生压强，这就是“光压”．光压的产生机理如同气体压强：大量气体分子与器壁的频繁碰撞产生了持续均匀的压力，器壁在单位面积上受到的压力就是气体的压强．设太阳光每个光子的平均能量为E ，太阳光垂直照射地球表面时，在单位面积上的辐射功率为P 0．已知光速为c ，则光子的动量为E/c ．求：
（1）若太阳光垂直照射在地球表面，则时间t 内照射到地球表面上半径为r 的圆形区域内太阳光的光子个数是多少？
（2）若太阳光垂直照射到地球表面，在半径为r 的某圆形区域内被完全反射（即所有光子均被反射，且被反射前后的能量变化可忽略不计），则太阳光在该区域表面产生的光压（用I 表示光压）是多少？
（3）有科学家建议利用光压对太阳帆的作用作为未来星际旅行的动力来源．一般情况下，太阳光照射到物体表面时，一部分会被反射，还有一部分被吸收．若物体表面的反射系数为ρ，则在物体表面产生的光压是全反射时产生光压的
12
ρ
+倍．设太阳帆的反射系数ρ=0.8，太阳帆为圆盘形，其半径r=15m ，飞船的总质量m=100kg ，太阳光垂直照射在太阳帆表面单位面积上的辐射功率P0=1.4kW ，已知光速c=3.0×108m/s ．利用上述数据并结合第（2）问中的结论，求太阳帆飞船仅在上述光压的作用下，能产生的加速度大小是多少?不考虑光子被反射前后的能量变化．（保留2位有效数字）
【答案】（1）20r P t
n E
π= （2）0
2P I c
=
（3）525.910/a m s -=⨯ 【解析】 【分析】 【详解】
（1）时间t 内太阳光照射到面积为S 的圆形区域上的总能量E 总= P 0St 解得E 总=πr 2 P 0t
照射到此圆形区域的光子数n =E E
总
解得20r P t
n E
π=
（2）因光子的动量p =
E c
则到达地球表面半径为r 的圆形区域的光子总动量p 总=np 因太阳光被完全反射，所以时间t 内光子总动量的改变量 Δp =2p
设太阳光对此圆形区域表面的压力为F ，依据动量定理Ft =Δp 太阳光在圆形区域表面产生的光压I =F /S 解得0
2P I c
=
（3）在太阳帆表面产生的光压I ′=12
ρ
+I 对太阳帆产生的压力F ′= I ′S
设飞船的加速度为a ，依据牛顿第二定律F ′=ma 解得a =5.9×10-5m/s 2
11．根据量子理论，光子具有动量．光子的动量等于光子的能量除以光速，即P=E/c ．光照射到物体表面并被反射时，会对物体产生压强，这就是“光压”．光压是光的粒子性的典型表现．光压的产生机理如同气体压强：由大量气体分子与器壁的频繁碰撞产生了持续均匀的压力，器壁在单位面积上受到的压力就是气体的压强．
（1）激光器发出的一束激光的功率为P ，光束的横截面积为S ．当该激光束垂直照射在物体表面时，试计算单位时间内到达物体表面的光子的总动量．
（2）若该激光束被物体表面完全反射，试求出其在物体表面引起的光压表达式． （3）设想利用太阳的光压将物体送到太阳系以外的空间去，当然这只须当太阳对物体的光压超过了太阳对物体的引力才行．现如果用一种密度为1．0×103kg/m 3的物体做成的平板，它的刚性足够大，则当这种平板厚度较小时，它将能被太阳的光压送出太阳系．试估算这种平板的厚度应小于多少（计算结果保留二位有效数字）？设平板处于地球绕太阳运动的公转轨道上，且平板表面所受的光压处于最大值，不考虑太阳系内各行星对平板的影响．已知地球公转轨道上的太阳常量为1．4×103J/m2•s （即在单位时间内垂直辐射在单位
面积上的太阳光能量），地球绕太阳公转的加速度为5．9×10-3m/s2）
【答案】（1）P/C （2）p压强=F/S=2P/Cs （3）1．6×10-6m
【解析】
试题分析：（1）设单位时间内激光器发出的光子数为n，每个光子能量为E，动量为p，则激光器的功率为P=nE
所以单位时间内到达物体表面的光子的总动量为
（2）激光束被物体表面反射时，其单位时间内的动量改变量为△p="2" p总=2P/c．
根据动量定理可知，物体表面对激光束的作用力 F=△p =2P/c．
由牛顿第三定律可知，激光束对物体表面的作用力为F=2P/c，
在物体表面引起的光压表达式为：p压强=F/S=2P/cS．
（3）设平板的质量为m，密度为ρ，厚度为d，面积为S1，太阳常量为J，地球绕太阳公转的加速度为a，利用太阳的光压将平板送到太阳系以外的空间去必须满足条件：太阳光对平板的压力大于太阳对其的万有引力．
由（2）得出的结论可得，太阳光对平板的压力
F=2JS1/c．
太阳对平板的万有引力可表示为f=ma，
所以，2JS1/c．> ma，
平板质量m=ρdS1，
所以，2JS1/c．> ρdS1a，
解得：d<2J
c a
ρ=1．6×10
-6m．
即：平板的厚度应小于1．6×10-6m．
考点：动量定理、万有引力定律
【名师点睛】
12．光子具有能量，也具有动量．光照射到物体表面时，会对物体产生压强，这就是“光压”，光压的产生机理如同气体压强；大量气体分子与器壁的频繁碰撞产生了持续均匀的压力，器壁在单位面积上受到的压力就是气体的压强，设太阳光每个光子的平均能量为E，太阳光垂直照射地球表面时，在单位面积上的辐射功率为P0，已知光速为c，则光子的动
量为
E
P
c
=，求：
（1）若太阳光垂直照射在地球表面，则时间t内照射到地球表面上半径为r的圆形区域内太阳光的总能量及光子个数分别是多少？
（2）若太阳光垂直照射到地球表面，在半径为r的某圆形区域内被完全反射（即所有光子均被反射，且被反射前后的能量变化可忽略不计），则太阳光在该区域表面产生的光压（用l表示光压）是多少？
【答案】（1）
2
r P t
n
E
π
=（2）0
2p
I
c
=
【解析】
【分析】
【详解】
（1）时间t 内太阳光照射到面积为S 的圆形区域上的总能量
0=E P St 总
解得 20E r P t π=总
照射到此圆形区域的光子数
E n E
=总 解得20r P t
n E π=
（2）因光子的动量E p c =
则达到地球表面半径为r 的圆形区域的光子总动量
p nP =总
因太阳光被完全反射，所以时间t 内光子总动量的改变量
2p p ∆=
设太阳光对此圆形区域表面的压力为F ，依据动量定理
Ft p =∆
太阳光在圆形区域表面产生的光压I=F/S 解得02p I c
=
13．从微观角度看，气体对容器的压强是大量气体分子对容器壁的频繁撞击引起的．正方体密闭容器中有大量运动的粒子，每个粒子质量为m ，单位体积内的粒子数量为n ．为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；速率均为v ，且与容器壁各面碰撞的机会均等；与容器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与容器壁垂直，且速率不变．
①利用所学力学知识，推导容器壁受到的压强p 与m 、n 和v 的关系；
②我们知道，理想气体的热力学温度T 与分子的平均动能E 1成正比，即1T E α=，式中α为比例常数．请从微观角度解释说明：一定质量的理想气体，体积一定时，其压强与热力学温度成正比． 【答案】①213
p nmv = ②见解析 【解析】
【分析】
【详解】
①在容器壁附近，取面积为S ，高度为v t ∆的体积内的粒子为所究对象，该体积中粒子个数2N Sv tn =∆
可以撞击任一容器壁的粒子数为216
N ， 一个撞击容器壁的气体分子对其产生的压力用F 来表示，根据牛顿第三定律容器壁对气体分子的力大小也为F ，
由
2F t mv ∆=
得
2mv F t
=
∆ 容器壁受到的压强 22
1163
N F p nmv S == ②由
213p nmv =，k T aE =，212
k E mv = 解得
23n p T a
= 所以一定质量的理想气体，体积一定时，其压强与热力学温度成正比．
14．对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质．
（1）光电效应和康普顿效应深入地揭示了光的粒子性的一面．前者表明光子具有能量，后者表明光子除了具有能量之外还具有动量．我们知道光子的能量E hv =，动量h
p λ=，
其中v 为光的频率，h 为普朗克常量，λ为光的波长．由于光子具有动量，当光照射到物体表面时，会对物体表面产生持续均匀的压力，这种压力会对物体表面产生压强，这就是“光压”，用I 表示．一台发光功率为P 0的激光器发出一束频率为0v 的激光，光束的横截面积为S ．当该激光束垂直照射到某物体表面时，假设光全部被吸收（即光子的末动量变为0）．求：
a ．该激光器在单位时间内发出的光子数N ；
b ．该激光作用在物体表面时产生的光压I ．
（2）从微观角度看，气体对容器的压强是大量气体分子对容器壁的频繁撞击引起的．正方体密闭容器中有大量运动的粒子，每个粒子质量为m ，单位体积内粒子数量为n ．为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；速率均为v ，且与容器壁各面碰撞的机会均等；与容器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与容器壁垂直，且速率不变．
a ．利用所学力学知识，推导容器壁受到的压强P 与m 、n 和v 的关系；
b ．我们知道，理想气体的热力学温度T 与分子的平均动能1E 成正比，即1T E α=，式中
α为比例常数．请从微观角度解释说明：一定质量的理想气体，体积一定时，其压强与温度成正比．
【答案】（1）a. 00P N hv =
b. 00P I v S λ= （2）a. 213P nmv = b.见解析 【解析】
【分析】
【详解】
（1）a .单位时间的能量为：e P NE =，光子能量：0 E h v =，得单位时间内发出的光子数00
P N hv =． b .该激光作用在物体表面产生的压力用F 0表示，根据牛顿第三定律物体表面对光子的力大小也为F 0，时间为t ∆，由动量定理可知：00,,F h F t tNP P I S λ∆=∆==，解得0
0P I v S λ=
（2）a .在容器壁附近，取面积为S ，高度为v t ∆的体积内的粒子为研究对象．该体积中粒子个数2N Sv tn =∆，可以撞击该容器壁的粒子数216
N ，一个撞击容器壁的气体分子对其产生的压力用F 来表示，根据牛顿第三定律容器壁对气体分子的力大小也为F ，由
2F t mv ∆=，得2mv F t =∆，容器壁受到的压强221163
N F P nmv S == b .由22k k 11,,32P nmv T aE E mv =
==，解得23n P T a
=，一定质量的理想气体，体积一定时，其压强与温度成正比．
15．如图所示，间距为l =0.5m 的两平行金属导轨由水平部分和倾角为θ=30o 倾斜部分平滑连接而成。

倾斜导轨间通过单刀双掷开关连接阻值R =1Ω的电阻和电容C =1F 未充电的电容器。

倾斜导轨和水平导轨上均存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度均为B =1T 。

现将开关S 掷向电阻，金属杆ab 从倾斜导轨上端释放，达到匀速后进入水平导轨，运动过程中，杆ab 与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直。

已知杆ab 长为l =0.5m ，质量为m =0.25kg ，电阻忽略不计，不计摩擦阻力和导轨电阻，忽略磁场边界效应。

(1)求杆ab 在倾斜导轨上匀速运动时的速度大小；
(2)求杆ab 在水平导轨上滑行的距离；
(3)若将开关S 掷向电容，金属杆ab 从倾斜导轨上离低端S=5m 处释放，求杆ab 到达低端的时间。

【答案】(1)5m/s ；(2)5m ；(3)2s
【解析】
【分析】
到达底端前匀速运动，可求出到达底端时的速度，根据动量定理和流过的电量与位移的关系可求得水平位移；接入电容器后通过受力分析可推出做匀加速运动，从而求得运动时间。

【详解】
(1)设匀速运动时速度大小为v
Blv I R
= sin BIl mg θ=
解得
5m/s v =
(2)设移动位移为x
BIlt mv =
Blx It R
=
解得 5m x =
(3)设到低端的时间为t
q c u I t t
∆∆==∆∆ u Bl v ∆=∆
cBl v I cBla t
∆==∆ sin mg BIl ma θ-=
解得
222sin 2.5m/s mg a m cB l
θ=
=+ 因此运动的时间 22s s t a =
=
【点睛】
接入电容器后导棒做匀加速运动。