苏科版八年级上册数学期末复习试卷

苏科版八年级上册数学期末复习试卷
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s 的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA 向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）
A．4s B．3s C．2s D．1s
2．下列四个图标中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）
A．8B．36C．
a
b
（a＞0，b＞0） D．7
4．下列四个实数中，属于无理数的是（）
A．0 B．9C．
2
3
D．12
5．下列各式从左到右变形正确的是（）
A．
0.22
0.22
a b a b
a b a b
++
=
++
B．
2
3184
3
2143
32
x y x y
x y
x y
++
=
-
-
C．
n n a
m m a
-
=
-
D．
22
1
a b
a b a b
+
=
++
6．下列标志中属于轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
7．我们定义：如果一个等腰三角形有一条边长是3，那么这个三角形称作帅气等腰三角形.已知ABC
∆中，32
AB=5
AC=，7
BC=，在ABC
∆所在平面内画一条直线，将ABC
∆分割成两个三角形，若其中一个三角形是帅气等腰三角形，则这样的直线最多可画（）
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．3条
8．已知A (a ，b )，B (c ，d )是一次函数y =kx ﹣3x +2图象上的不同两个点，m =(a ﹣c )(b ﹣d )，则当m ＜0时，k 的取值范围是( )
A ．k ＜3
B ．k ＞3
C ．k ＜2
D ．k ＞2
9．如图， Rt ABC 中，90,B ED ∠=︒垂直平分,AC ED 交AC 于点D ，交BC 于点E .已知ABC 的周长为24,ABE 的周长为14，则AC 的长（ ）
A ．10
B ．14
C ．24
D ．15
10．下列说法中，不正确的是（ ）
A 2323
B 2332
C 64 2
D ．﹣3的倒数是﹣13
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，过点()5,6P 作PA x ⊥轴，垂足为点A ，则PA 的长为______________.
12．在一个不透明的袋子中装有2个黄球和3个红球，每个除颜色外完全相同，将球摇匀从中任取一球：①恰好取出白球；②恰好取出红球；③恰好取出黄球，根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列___________（只需填写序号）.
13．阅读理解:对于任意正整数a ，b ，∵20a b ≥，∴0a ab b -≥，
∴2a b ab +≥a b =时，等号成立；结论：在2a b ab +≥a 、b 均为正实数）中，只有当a b =时，+a b 有最小值2ab 若1m 1
m m -有最小值为__________．
14．3a 2，则满足条件的奇数a 有_______个． 15．如图，正比例函数y=kx 与反比例函数y=6x
的图象有一个交点A(2，m)，AB ⊥x 轴于点B ，平移直线y=kx 使其经过点B ，得到直线l ，则直线l 对应的函数表达式是_________ .
16．如图，点E ，F 在AC 上，AD=BC ，DF=BE ，要使△ADF ≌△CBE ，还需要添加的一个条件是________（添加一个即可）
17．已知一次函数1y kx b =+与2y mx n =+的函数图像如图所示，则关于,x y 的二元一次方程组0,0kx y b mx y n -+=⎧⎨-+=⎩
的解是______．
18．如图，在△ABC 中，PH 是AC 的垂直平分线，AH ＝3，△ABP 的周长为11，则△ABC 的周长为_____．
19．2______3
20．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠DBC=15°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠A 的度数是 ．
三、解答题
21．小红驾车从甲地到乙地，她出发第xh 时距离乙地ykm ，已知小红驾车中途休息了1小时，图中的折线表示她在整个驾车过程中y 与x 之间的函数关系．
（1）B 点的坐标为（ ， ）；
（2）求线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式；
（3）小红休息结束后，以60km/h 的速度行驶，则点D 表示的实际意义是 ．
22．某公司购买了一批A 、B 型芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A 型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等． （1）求该公司购买的A 、B 型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A 型芯片？
23．如图，平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点都在网格点上，其中C 点坐标为()3,2．
（1）填空：点A 的坐标是__________，点B 的坐标是________；
（2）将ABC ∆先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，画出平移后的111A B C ∆；
（3）求ABC ∆的面积．
24．证明：最长边上的中线等于最长边的一半的三角形是直角三角形．
25．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 是AB 的中点，点E 是射线CB 上的动点，连接DE ，DF ⊥DE 交射线AC 于点F ．
（1）若点E 在线段CB 上．
①求证：AF ＝CE ．
②连接EF ，试用等式表示AF 、EB 、EF 这三条线段的数量关系，并说明理由．
（2）当EB ＝3时，求EF 的长．
四、压轴题
26．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：
（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度；
（2）当2t =时，请说明//PQ BC ；
（3）设BCQ ∆的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的关系式．
27．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0B
b 满足|21|280a b a b --++-=．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；
（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．
28．（1）填空
①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是________；
②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是_______． （2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧，且80EMF ∠=︒，求11C MB ∠的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧，且60EMF ∠=︒，求11C MA ∠的度数．
（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB ，FB 为折痕，设ABC α∠=︒，EBF β∠=︒，11A BC γ∠=︒，求α，β，γ之间的数量关系．
29．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点A (32
，32)和B 3，0)，且与y 轴交于点D ，直线OC 与AB 交于点C ，且点C 3．
(1)求直线AB 的解析式；
(2)连接OA ，试判断△AOD 的形状；
(3)动点P 从点C 出发沿线段CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O 运动，运动时间为t 秒，同时动点Q 从点O 出发沿y 轴的正半轴以相同的速度运动，当点Q 到达点D 时，P ，Q 同时停止运动．设PQ 与OA 交于点M ，当t 为何值时，△OPM 为等腰三角形？求出所有满足条件的t 值．
30．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .
（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；
（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；
（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：设运动时间为t 秒，则CP=12-3t ，BQ=t ，
根据题意得到12-3t=t ，
解得：t=3，
故选B ．
【点睛】
本题考查一元一次方程及平行四边形的判定，难度不大．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．
【详解】
A、不是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】
解：（A）原式＝，故A不符合题意；
（B）原式＝6，故B不符合题意；
（C）a
b
是分式，故C不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据无理数的定义，即可得到答案.
【详解】
D正确；
3=，
23
是有理数，故ABC 错误； 故选择：D.
【点睛】 本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟记定义.
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．
【详解】
A ．分式的分子和分母同时乘以10，应得210102a b a b
++，即A 不正确， B . 26(3)184321436()32x y x y x y x y ⨯+
+=-⨯-，故选项B 正确， C ．分式的分子和分母同时减去一个数，与原分式不相等，即C 项不合题意，
D .
22a b a b
++不能化简，故选项D 不正确． 故选：B ．
【点睛】 此题考察分式的基本性质，分式的分子和分母需同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.不能在分子和分母中加减同一个整式，这是错误的.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据对称轴的定义，关键是找出对称轴即可得出答案.
【详解】
解：根据对称轴定义
A 、没有对称轴，所以错误
B 、没有对称轴，所以错误
C 、有一条对称轴，所以正确
D 、没有对称轴，所以错误
故选 C
【点睛】
此题主要考查了对称轴图形的判定，寻找对称轴是解题的关键.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
先根据各边的长度画出三角形ABC，作AD⊥BC，根据勾股定理求出AD，BD，结合图形可分析出结果.
【详解】
已知如图，所做三角形是钝角三角形，作AD⊥BC，
根据勾股定理可得：AC2-CD2=AB2-BD2
所以设CD=x,则BD=7-x
所以52-x2=（32）2-（7-x）2
解得x=4
所以CD=4,BD=3,
所以，在直角三角形ADC中
AD=2222
-=-=
543
AC CD
所以AD=BD=3
所以三角形ABD是帅气等腰三角形
假如从点C或B作直线，不能作出含有边长为3的等腰三角形
故符合条件的直线只有直线AD
故选：B
【点睛】
本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、正确的理解题意是解决问题的关键;并注意第二问的分类讨论的思想，不要丢解.
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
将点A，点B坐标代入解析式可求k−3＝b d
a c
-
-
，即可求解．
【详解】
∵A(a，b)，B(c，d)是一次函数y=kx﹣3x+2图象上的不同两个点，∴b=ka﹣3a+2，d=kc﹣3c+2，且a≠c，
∴k﹣3=b d
a c -
-
．
∵m=(a﹣c)(b﹣d)＜0，∴k＜3．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，求出k−3＝b d a c --
是关键，是一道基础题．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
首先依据线段垂直平分线的性质得到AE=CE；接下来，依据AE=CE可将△ABE的周长为:14转化为AB+BC=14，求解即可.
【详解】
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ABE的周长为:AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC
∵ABC的周长为24,ABE的周长为14
∴AB+BC=14
∴AC=24-14=10
故选：A
【点睛】
本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键. 10．A
解析：A
【解析】
【分析】
分别根据实数绝对值的意义、相反数的定义、立方根的定义和倒数的定义逐项解答即可．【详解】
解：A，故A选项不正确，所以本选项符合题意；
B，正确，所以本选项不符合题意；
C82，正确，所以本选项不符合题意；
D、﹣3的倒数是﹣1
3
，正确，所以本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数的绝对值、相反数、立方根和倒数的定义，属于基础知识题型，熟练掌握实数的基本知识是解题关键．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
根据题意得出PA就是P到x轴的距离，即可得出结论．
【详解】
∵PA⊥x轴，
∴PA=|6|=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了点到x轴的距离．掌握点到坐标轴的距离是解
解析：6
【解析】
【分析】
根据题意得出PA就是P到x轴的距离，即可得出结论．
【详解】
∵PA⊥x轴，
∴PA=|6|=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了点到x轴的距离．掌握点到坐标轴的距离是解答本题的关键．
12．①③②
【解析】
【分析】
根据可能性大小的求法，求出各个事件发生的可能性的大小，再按照大小顺序从小到大排列起来即可．
【详解】
解：根据题意，袋子中共5个球， 2个黄球和3个红球，故将球摇匀，从中解析：①③②
【解析】
【分析】
根据可能性大小的求法，求出各个事件发生的可能性的大小，再按照大小顺序从小到大排列起来即可．
【详解】
解：根据题意，袋子中共5个球， 2个黄球和3个红球，故将球摇匀，从中任取1球，则①恰好取出白球的可能性为0，②恰好取出红球的可能性为
35，③恰好取出黄球的可能性为25
， 故这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是①③②．
故答案为：①③②．
【点睛】
本题主要考查了可能性大小计算，即概率的计算方法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比，难度适中．
13．3
【解析】
【分析】
根据（、均为正实数），对代数式进行化简求最小值．
【详解】
解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】
准确理解阅读内容，灵活运用题中结论，
解析：3
【解析】
【分析】
根据a b +≥（a 、b
进行化简求最小值． 【详解】
1=1111m m m
111m
=111m 1211=31m m
即：当1m 时，m m 3， 故答案为：3．
【点睛】 准确理解阅读内容，灵活运用题中结论，求出代数式的最小值．
14．9
【解析】
【分析】
的整数部分为，则可求出a 的取值范围，即可得到答案.
【详解】
解：的整数部分为，则a 的取值范围 8＜a ＜27
所以得到奇数有：9、11、13、15、17、19、21、23、2
解析：9
【解析】
【分析】
的整数部分为2，则可求出a 的取值范围，即可得到答案. 【详解】
2，则a 的取值范围 8＜a ＜27
所以得到奇数a 有：9、11、13、15、17、19、21、23、25 共9个
故答案为：9
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，估算是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法.
15．y=x-3
【解析】
【分析】由已知先求出点A 、点B 的坐标，继而求出y=kx 的解析式，再根据直线y =kx 平移后经过点B ，可设平移后的解析式为y=kx+b ，将B 点坐标代入求解即可得.
【详解】当x=2
解析：y=
32
x-3 【解析】
【分析】由已知先求出点A 、点B 的坐标，继而求出y=kx 的解析式，再根据直线y=kx 平移后经过点B ，可设平移后的解析式为y=kx+b ，将B 点坐标代入求解即可得.
【详解】当x=2时，y=6
x
=3，∴A(2，3)，B（2，0），
∵y=kx过点 A(2，3)，
∴3=2k，∴k=3
2，
∴y=3
2 x，
∵直线y=3
2
x平移后经过点B，
∴设平移后的解析式为y=3
2
x+b，
则有0=3+b，解得：b=-3，
∴平移后的解析式为：y=3
2
x-3，
故答案为：y=3
2
x-3.
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及到待定系数法，一次函数图象的平移等，求出k的值是解题的关键.
16．∠D=∠B
【解析】
【分析】
要判定△ADF≌△CBE，已经有AD=BC，DF=BE，还缺少第三组对应边相等或这两边组成的夹角相等，根据全等三角形的判定方法求解即可.
【详解】
∵AD=BC， D
解析：∠D=∠B
【解析】
【分析】
要判定△ADF≌△CBE，已经有AD=BC，DF=BE，还缺少第三组对应边相等或这两边组成的夹角相等，根据全等三角形的判定方法求解即可.
【详解】
∵AD=BC， DF=BE，
∴只要添加∠D=∠B，根据“SAS”即可证明△ADF≌△CBE.
故答案为∠D=∠B.
【点睛】
本题重点考查的是全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的知识是解答的关键，应该多加练习.三角形全等的判定定理有：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）.
17．【解析】
【分析】
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，从而可得答案．
【详解】
解：∵一次函数和一次函数的图象交点的坐标为
∴方程组的解是： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题
解析：12x y =-⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，从而可得答案．
【详解】
解：∵一次函数1y kx b =+和一次函数2y mx n =+的图象交点的坐标为()1,2,-
∴方程组00kx y b mx y n -+=⎧⎨-+=⎩的解是：12x y =-⎧⎨=⎩
． 故答案为： 12x y =-⎧⎨=⎩
． 【点睛】
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．掌握以上知识是解题的关键．
18．17
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：是的垂直平分线，
，，
的周长为11，
，
的周长，
故答案为：17．
【点睛】
本题考
解析：17
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到PA PC =，26AC AH ==，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：PH 是AC 的垂直平分线，
PA PC ∴=，26AC AH ==，
ABP ∆的周长为11， 11AB BP PA AB BP BC AB BC ∴++=++=+=，
ABC ∆∴的周长17AB BC AC =++=，
故答案为：17．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
19．>
【解析】
， .
解析：>
【解析】
23< ，>
20．50°．
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD ，根据等边对等角可得∠A=∠ABD ，然后表示出∠ABC ，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC ，然后根据三
解析：50°．
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD ，根据等边对等角可得∠A=∠ABD ，然后表示出∠ABC ，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC ，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可：
【详解】
∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AD="BD." ∴∠A=∠ABD.
∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°.
∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=∠A+15°.
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案为50°．
三、解答题
21．（1）点B 的坐标为（3，120）；
（2）y 与x 之间的函数表达式：y=-100x+420；
（3）D 点表示此时小红距离乙地0km ，即小红到达乙地.
【解析】
分析：（1）由图象可知C 点坐标，根据小红驾车中途休息了1小时可得B 点坐标； （2）利用待定系数法，由A 、B 两点坐标可求出函数关系式；（3）D 点表示小红距离乙地0km ，即小红到达乙地．
本题解析：
（1）由图象可知，C （4，120），
∵小红驾车中途休息了1小时，
∴点B 的坐标为（3，120）；
（2）设y 与x 之间的函数表达式为y=kx+b ．
根据题意，当x=0时，y=420；当x=3时，y=120．
∴42001203k b k b =+⎧⎨=+⎩ ，∴100420k b =-⎧⎨=⎩
， ∴y 与x 之间的函数表达式：y=-100x+420．
（3）D 点表示此时小红距离乙地0km ，即小红到达乙地．
点睛：本题主要考查学生结合题意读懂图象的基本能力和待定系数法求函数表达式的技能，属基础题．
22．（1）A 型芯片的单价为26元/条，B 型芯片的单价为35元/条；（2）80．
【解析】
【分析】
（1）设B 型芯片的单价为x 元/条，则A 型芯片的单价为（x ﹣9）元/条，根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A 型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买a 条A 型芯片，则购买（200﹣a ）条B 型芯片，根据总价=单价×数量，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
（1）设B 型芯片的单价为x 元/条，则A 型芯片的单价为（x ﹣9）元/条，根据题意得： 312042009x x
=-， 解得：x ＝35，
经检验，x ＝35是原方程的解，
∴x ﹣9＝26．
答：A 型芯片的单价为26元/条，B 型芯片的单价为35元/条．
（2）设购买a 条A 型芯片，则购买（200﹣a ）条B 型芯片，根据题意得：
26a +35（200﹣a ）＝6280，
解得：a ＝80．
答：购买了80条A 型芯片．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
23．（1）()41-,，()5,3；（2）画图见解析；（3）
72
【解析】
【分析】
（1）利用点的坐标的表示方法写出A 点和B 点坐标；
（2）利用点的坐标平移规律写出点1A 、1B 、1C 的坐标，然后描点得到111A B C ∆； （3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可得到△ABC 的面积．
【详解】
解：（1）()41-,；()5,3
（2）如图所示：111A B C ∆即为所求；
（3）37S 421222
ABC ∆=⨯-
--=． 【点睛】 此题考查坐标与图形变化——平移，解题关键在于掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度．
24．证明见解析．
【解析】
【分析】
如图，在△ABC 中，AB 是最长边，CD 是边AB 的中线，可得BD AD =，再根据最长边上的中线等于最长边的一半可得CD BD AD ==，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可得证．
【详解】
证明：如图，在△ABC 中，AB 是最长边，CD 是边AB 的中线
∵CD 是边AB 的中线
∴BD AD =
∵最长边上的中线等于最长边的一半
∴CD BD AD == ∴,A ACD B BCD ==∠∠∠∠
∵180A B ACB ∠+∠+∠=︒
∴1180902
ACB ACD BCD =+=
⨯︒=︒∠∠∠ ∴△ABC 是直角三角形
∴最长边上的中线等于最长边的一半的三角形是直角三角形．
【点睛】
本题考查了直角三角形的证明问题，掌握直角三角形的性质、等边对等角、三角形内角和定理、中线的性质是解题的关键．
25．（1）①详见解析；②AF 2+EB 2＝EF 2，理由详见解析；（21058
【解析】
【分析】
(1)①证明△ADF ≌△CDE (ASA )，即可得出AF =CE ；
②由①得△ADF ≌△CDE (ASA )，得出AF =CE ；同理△CDF ≌△BDE (ASA )，得出CF =BE ，在Rt △CEF 中，由勾股定理得222CE CF EF +=，即可得出结论；
(2)分两种情况：①点E 在线段CB 上时，求出CE =BC ﹣BE =1，由(1)得AF =CE =1，222AF EB EF +=，即可得出答案；
②点E 在线段CB 延长线上时，求出CE =BC +BE =7，同(1)得△ADF ≌△CDE (ASA )，得出AF =CE ，求出CF =BE =3，在Rt △EF 中，由勾股定理即可得出答案．
【详解】
(1)①∵△ABC 中，∠ACB =90︒，AC =BC =4，D 是AB 的中点，
∴∠DCE =45︒=∠A ，CD =
12
AB =AD ，CD ⊥AB ， ∴∠ADC =90︒，
∵DF ⊥DE ，
∴∠FDE =90︒，
∴∠ADC =∠FDE ，
∴∠ADF =∠CDE ，
在△
ADF 和△CDE 中，A DCE AD CD ADF CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ADF ≌△CDE (ASA )，
∴AF =CE ；
②222AF EB EF +=，理由如下：
由①得：△ADF ≌△CDE (ASA )，
∴AF =CE ；
同理：△CDF ≌△BDE (ASA )，
∴CF =BE ，
在Rt △CEF 中，
由勾股定理得：222CE CF EF +=，
∴222AF EB EF +=；
(2)分两种情况：
①点E 在线段CB 上时，
∵BE =3，BC =4，
∴CE =BC ﹣BE =1，
由(1)得：AF =CE =1，222AF EB EF +=，
∴EF 22221310AF EB =+=+=；
②点E 在线段CB 延长线上时，如图2所示：
∵BE =3，BC =4，
∴CE =BC +BE =7，
同(1)得：△ADF ≌△CDE (ASA )，
∴AF =CE=7，
∴CF =BE =3，
在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CE CF EF +=，
∴EF 22227358CE CF =+=+=；
综上所述，当EB =3时，EF 的长为10或58．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、分类讨论等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
四、压轴题
26．（1）CP=3t ，BQ=8-t ；（2）见解析；（3）S=16-2t ．
【解析】
【分析】
（1）直接根据距离=速度⨯时间即可；
（2）通过证明
PCQ BQC ≅，得到∠PQC=∠BCQ，即可求证； （3）过点C 作CM⊥AB，垂足为M ，根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4，即可求解．
【详解】
解：（1）CP=3t ，BQ=8-t ；
（2）当t=2时，CP=3t=6，BQ=8-t=6
∴CP=BQ
∵CD ∥AB
∴∠PCQ=∠BQC
又∵CQ=QC
∴PCQ BQC ≅
∴∠PQC=∠BCQ
∴PQ∥BC
（3）过点C 作CM⊥AB，垂足为M
∵AC=BC，CM⊥AB ∴AM=118422
AB =⨯=（cm ） ∵AC=BC，∠ACB=90︒
∴∠A=∠B=45︒
∵CM⊥AB
∴∠AMC=90︒
∴∠ACM=45︒
∴∠A=∠ACM
∴CM=AM=4（cm ） ∴118t 416222
BCQ S BQ CM t =
=⨯-⨯=- 因此，S 与t 之间的关系式为S=16-2t ．
【点睛】 此题主要考查列代数式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握逻辑推理是解题关键． 27．（1）A ，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）点D 的坐标是141,3⎛⎫-
⎪⎝⎭；（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质得出二元一次方程组，求解即可；
（2）过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，根据三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积）列出方程，求解得出点C 的坐标，由平移的规律可得点D 的坐标；
（3）过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，根据两直线平行，内错角相等与已知条件得出3BCD CEF ∠=∠，同样可证OGP OPE ∠=∠，由平移的性质与平行公理的推论可得FEP OGP ∠=∠，最后根据CEP CEF FEP ∠=∠+∠，通过等量代换进行证明．
【详解】
解：（1）210a b --=，
又∵|21|0a b --≥0，
|21|0a b ∴--=
0=，即210280a b a b --=⎧⎨+-=⎩
， 解方程组2128a b a b -=⎧⎨+=⎩得23a b =⎧⎨=⎩
，
A ∴，
B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；
（2）如图，过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，
∴三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积），
根据题意得，11195(2||)232(2||)5||222t t t ⎡⎤=⨯+-⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯⎢⎥⎣⎦
， 化简，得3||42
t =， 解得，83
t =±
， 依题意得，0t <， 83t ∴=-，即点C 的坐标为82,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭， ∴依题意可知，点C 的坐标是由点A 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的，从而可知，点D 的坐标是由点B 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143
个单位长度得到的， ∴点D 的坐标是141,3⎛
⎫- ⎪⎝⎭
；
（3）证明：过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，如图所示，
则ECD CEF ∠=∠，
2BCE ECD ∠=∠，
33BCD ECD CEF ∴∠=∠=∠，
过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，如图所示，
则OGP BPE ∠=∠，
PE 平分OPB ∠，
OPE BPE ∴∠=∠，
OGP OPE ∴∠=∠，
由平移得//CD AB ，
//OG FE ∴，
FEP OGP ∴∠=∠，
FEP OPE ∴∠=∠，
CEP CEF FEP ∠=∠+∠，
CEP CEF OPE ∴∠=∠+∠，
CEF CEP OPE ∴∠=∠-∠，
3()BCD CEP OPE ∴∠=∠-∠．
【点睛】
本题综合性较强，考查非负数的性质，解二元一次方程组，平行线的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，第（3）题巧作辅助线构造平行线是解题的关键．
28．90︒，45︒；20︒，30︒；2a γβ+=，2a γβ-=.
【解析】
【分析】 （1）①如图①知1112EMC BMC ∠=∠，1112
C MF C MC ∠=∠得 ()1112
EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=
∠∠=∠得()1112EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.
（2）①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，可推出
11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠，即可求出解.
②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，可推出
()
112906090AMC ︒︒︒-+∠=，即可求出解. （3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a ββγ-=-、a ββγ-=+，即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.
【详解】
解：（1）①如图①中，
1112EMC BMC ∠=∠，1112
C MF C MC ∠=∠， ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=
∠⨯=+∠=， 故答案为90︒.
②如图②中，111111,22
EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠， ()111111904522
EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=
∠+∠=⨯=， 故答案为45︒.
（2）①如图③中由折叠可知， 11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，
1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠，
11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠，
11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠，
111808020C MB ︒︒︒∴-=∠=；
②如图④中根据折叠可知，
11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，
112290CMF ABE A MC ︒∠+∠+∠=，
112()90CMF ABE A MC ︒∴∠+∠+∠=，
()
1129090EMF AMC ︒︒∴-∠+∠=， ()11
2906090AMC ︒︒︒
∴-+∠=， 1130A MC ︒∴∠=；
（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a ββγ-=-，
2a γβ∴+=；
如图⑤-2中，由折叠可知，a ββγ-=+，
2a γβ∴-=.
【点睛】
本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问
题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.
29．（1）y
＝﹣
3x +2；（2）△AOD 为直角三角形，理由见解析；（3）t ＝23
或3． 【解析】
【分析】
（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b ，即可求解；
（2）由点A 、O 、D 的坐标得：AD 2＝1，AO 2＝3，DO 2＝4，故DO 2＝OA 2+AD 2，即可求解； （3）点C
，1），∠DBO ＝30°，则∠ODA ＝60°，则∠DOA ＝30°，故点C
1），则∠AOC ＝30°，∠DOC ＝60°，OQ ＝CP ＝t ，则OP ＝2﹣t ．①当OP ＝OM 时，OQ ＝QH +OH
（2﹣t ）+12（2﹣t ）＝t ，即可求解；②当MO ＝MP 时，∠OQP ＝90°，故OQ ＝
12
O P ，即可求解；③当PO ＝PM 时，故这种情况不存在． 【详解】 解：（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：
3=220k b b ⎧+⎪⎨⎪=+⎩
，
解得：=2k b ⎧⎪⎨⎪=⎩
故直线AB 的表达式为：y
＝﹣3
x +2； （2）直线AB 的表达式为：y
+2，则点D （0，2）， 由点A 、O 、D 的坐标得：AD 2＝1，AO 2＝3，DO 2＝4，
故DO 2＝OA 2+AD 2，
故△AOD 为直角三角形；
（3）直线AB 的表达式为：y
＝﹣3
x +2，故点C
，1），则OC ＝2， 则直线AB 的倾斜角为30°，即∠DBO ＝30°，则∠ODA ＝60°，则∠DOA ＝30° 故点C
1），则OC ＝2，
则点C 是AB 的中点，故∠COB ＝∠DBO ＝30°，则∠AOC ＝30°，∠DOC ＝60°， OQ ＝CP ＝t ，则OP ＝OC ﹣PC ＝2﹣t ，
①当OP ＝OM 时，如图1，
则∠OMP＝∠MPO＝1
2
（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，
过点P作PH⊥y轴于点H，
则OH＝1
2
OP＝
1
2
（2﹣t），
由勾股定理得：PH＝3
（2﹣t）＝QH，
OQ＝QH+OH＝
3
2
（2﹣t）+
1
2
（2﹣t）＝t，
解得：t＝23
；
②当MO＝MP时，如图2，
则∠MPO＝∠MOP＝30°，而∠QOP＝60°，∴∠OQP＝90°，
故OQ＝1
2
OP，即t＝
1
2
（2﹣t），
解得：t＝2
3
；
③当PO＝PM时，
则∠OMP＝∠MOP＝30°，而∠MOQ＝30°，
故这种情况不存在；
综上，t ＝
23． 【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、一次函数解析式、勾股定理、含30°的角的直角三角形的性质等知识点，还利用了方程和分类讨论的思想，综合性较强，难度较大，解题的关键是学会综合运用性质进行推理和计算．
30．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；
（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．
【详解】
（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒
9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒ BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥
CD ED ∴=
在BCD ∆和BED ∆中，CD ED BD BD =⎧⎨=⎩
()BCD BED HL ∴∆≅∆
BC BE ∴=
EBC ∴∆是等边三角形；
（2）如图，延长ED 使得DF MD =，连接MF
3,090A ACB ∠=︒∠=︒，BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥
60,ADE BDE AD BD ∴∠=∠=︒=
60,18060MDF ADE MDB ADE BDE ∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒
MDF ∴∆是等边三角形
,60MF DM F DMF ∴=∠=∠=︒
60BMG ∠=︒。