人教版数学七年级下册 期末试卷培优测试卷

人教版数学七年级下册 期末试卷培优测试卷
一、选择题
1．如图，∠B 的同位角是（ ）
A ．∠1
B ．∠2
C ．∠3
D ．∠4 2．如图，△ABC 沿BC 所在直线向右平移得到△DEF ，已知EC ＝2，BF ＝8，则平移的距离
为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 3．坐标平面内的下列各点中，在y 轴上的是（ ） A ．()0,3 B ．()2,3-- C ．1,2 D ．3,0 4．下列四个命题：①两条直线相交，若对顶角互补，则这两条直线互相垂直；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．其中是真命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．如图，点E 在BA 的延长线上，能证明BE ∥CD 是( )
A ．∠EAD =∠B
B ．∠BAD =∠BCD
C ．∠EA
D =∠ADC D ．∠BCD +∠D =180° 6．下列说法正确的是（ ）
A ．a 2的正平方根是a
B 819=±
C ．﹣1的n 次方根是1
D 321a -- 7．如图，将直尺与含45°角的三角尺叠放在一起，其两边与直尺相交，若∠1＝25°，则∠2
的度数为（ ）
A ．120°
B ．135°
C ．150°
D ．160°
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，1），B （﹣1，1），C （﹣1，﹣2），D （1，﹣2）把一根长为2021个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A →B →C →D →A …的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A ．（1，0）
B ．（0，1）
C ．（﹣1，1）
D ．（﹣1，﹣2）
二、填空题
9．36的平方根是_________
10．若点A(5，b)与点B(a+1，3)关于x 轴对称，则（a+b ）2017=______
11．如图，在ABC 中，70A ∠=︒，ABC ∠的角平分线与ABC 的外角角平分线交于点E ，则E ∠=__________度．
12．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=54º时，∠1=______．
13．将一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠后，EC ′交AD 于点G ，若∠FGE ＝62°，则∠GFE 的度数是___．
14．阅读下列解题过程：
计算：232425122222++++
++ 解：设232425122222S =++++
++① 则232526222222S =+++++②
由②-①得，2621S =- 运用所学到的方法计算：233015555++++⋯⋯+=______________.
15．已知点A 在x 轴上方，y 轴左侧，到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，那么点A 的坐标是______________．
16．在平面直角坐标系中，111,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22,1P ，393,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()44,4P ，5255,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，…，按照此规律排列下去，点10P 的坐标为________．
三、解答题
17．计算：
（1）3981++-
（2）23427(3)+---
（3）2(23)+
（4）353325-++
18．求下列各式中的x 值．
（1）2164
x -=
（2）()318x -=
19．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．
如图，点E 在AB 上，点F 在CD 上，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，求证AB ∥CD ．
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4
∴∠2＝ （等量代换），
∴ ∥BF （ ），
∴∠3＝∠ （ ）．
又∵∠B ＝∠C （已知），
∴∠3＝∠B
∴AB ∥CD （ ）．
20．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为
()()()2,2,3,1,0,2A B C --．点P (,)a b 是三角形ABC 的边AC 上任意一点，三角形ABC 经过平移后得到三角形A B C '''，已知点P 的对应点P '()2,3a b -+．
（1）在图中画出平移后的三角形A B C '''，并写出点,,A B C '''的坐标；
（2）求三角形ABC 的面积．
21．已知某正数的两个平方根分别是12a -和4,421a a b ++-的立方根是3,c 是13的整数部分．
（1）求, , a b c 的值；
（2）求2a b c ++的算术平方根．
二十二、解答题
22．已知在44⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．
（1）计算图①中正方形ABCD 的面积与边长．
（2）利用图②中的正方形网格，作出面积为8的正方形，并在此基础上建立适当的数轴，在数轴上表示实数8和8-．
二十三、解答题
23．已知：直线AB ∥CD ，直线MN 分别交AB 、CD 于点E 、F ，作射线EG 平分∠BEF 交CD 于G ，过点F 作FH ⊥MN 交EG 于H ．
（1）当点H 在线段EG 上时，如图1
①当∠BEG ＝36︒时，则∠HFG ＝ ．
②猜想并证明：∠BEG 与∠HFG 之间的数量关系． （2）当点H 在线段EG 的延长线上时，请先在图2中补全图形，猜想并证明：∠BEG 与∠HFG 之间的数量关系．
24．已知，如图①，∠BAD =50°，点C 为射线AD 上一点（不与A 重合），连接BC ． （1）[问题提出]如图②，AB ∥CE ，∠BCD =73 °，则：∠B = ．
（2）[类比探究]在图①中，探究∠BAD 、∠B 和∠BCD 之间有怎样的数量关系？并用平行．．．．线的性质．．．．
说明理由． （3）[拓展延伸]如图③，在射线BC 上取一点O ，过O 点作直线MN 使MN ∥AD ，BE 平分∠ABC 交AD 于E 点，OF 平分∠BON 交AD 于F 点，//OG BE 交AD 于G 点，当C 点沿着射线AD 方向运动时，∠FOG 的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值．
25．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
（习题回顾）已知：如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AE 是角平分线，CD 是高，AE 、CD 相交于点F .求证：CFE CEF ∠=∠；
（变式思考）如图2，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，若ABC 的外角
BAG ∠的平分线交CD 的延长线于点F ，其反向延长线与BC 边的延长线交于点E ，则CFE ∠与CEF ∠还相等吗？说明理由；
（探究延伸）如图3，在ABC 中，AB 上存在一点D ，使得ACD B ∠=∠，BAC ∠的平分线AE 交CD 于点F .ABC 的外角BAG ∠的平分线所在直线MN 与BC 的延长线交于点M .直接写出M ∠与CFE ∠的数量关系.
26．（生活常识）
射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相
等．如图 1，MN 是平面镜，若入射光线 AO 与水平镜面夹角为∠1，反射光线 OB 与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2 .
（现象解释）
如图 2，有两块平面镜 OM ，ON ，且 OM ⊥ON ，入射光线 AB 经过两次反射，得到反射光线 CD .求证 AB ∥CD .
（尝试探究）
如图 3，有两块平面镜 OM ，ON ，且∠MON =55︒ ，入射光线 AB 经过两次反射，得到反射光线 CD ，光线 AB 与 CD 相交于点 E ，求∠BEC 的大小.
（深入思考）
如图 4，有两块平面镜 OM ，ON ，且∠MON = α ，入射光线 AB 经过两次反射，得到反射光线 CD ，光线 AB 与 CD 所在的直线相交于点 E ，∠BED =β , α 与 β 之间满足的等量关系是 .（直接写出结果）
【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．
【详解】
解：∠B与∠3是DE、BC被AB所截而成的同位角，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了同位角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．同位角的边构成F形，内错角的边构成Z形，同旁内角的边构成U形．
2．A
【分析】
根据平移的性质证明BE＝CF即可解决问题．
【详解】
解：由平移的性质可知，BC＝EF，
∴BE＝CF，
∵BF＝8，EC＝2，
∴BE+CF＝8﹣2＝6，
∴CF＝BE＝3，
故选：
解析：A
【分析】
根据平移的性质证明BE＝CF即可解决问题．
【详解】
解：由平移的性质可知，BC＝EF，
∴BE＝CF，
∵BF＝8，EC＝2，
∴BE+CF＝8﹣2＝6，
∴CF＝BE＝3，
故选：A．
【点睛】
本题考查平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
3．A
【分析】
根据y轴上点的横坐标为0，即可判断．
【详解】
解：∵y轴上点的横坐标为0，
∴点()0,3符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标的特征，解题的关键是熟练掌握y轴上点的横坐标为0．
4．C
【分析】
根据对顶角的性质和垂直的定义判断①；根据内错角相等的判定方法判定②；根据平行线的判定对③进行判断；根据经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行判断④即可
【详解】
解：两条直线相交，若对顶角互补，则这两条直线互相垂直，所以①正确；
两条互相平行的直线被第三条直线所截，内错角相等；，所以②错误；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，所以③正确； 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，所以④正确．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，熟练掌握相关性质是解题的关键．
5．C
【分析】
根据平行线的判定定理对四个选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A 、若∠EAD=∠B ，则AD ∥BC ，故此选项错误；
B 、若∠BAD=∠BCD ，不可能得到BE ∥CD ，故此选项错误；
C 、若∠EAD=∠ADC ，可得到BE ∥C
D ，故此选项正确；
D 、若∠BCD +∠D =180°，则BC ∥AD ，故此选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
6．D
【分析】
根据平方根、算术平方根、立方根的定义判断A 、B 、D ，根据乘方运算法则判断C 即可．
【详解】
A ：a 2的平方根是a ±，当0a ≥时，a 2的正平方根是a ，错误；
B 9，错误；
C ：当n 是偶数时，()1=1n - ；当n 时奇数时，()1=-1n -，错误；
D ：∵210a --< ，∴
【点睛】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义以及乘方运算，掌握相关的定义与运算法则是解题关键．
7．D
【分析】
如图，利用三角形的外角的性质求出∠3，再利用平行线的性质可得结论．
【详解】
解：如图，
∵∠4=45°，∠1=25°，∠4=∠1+∠3，
∴∠3=45°-25°=20°，
∵a∥b，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-20°=160°，
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．
8．B
【分析】
先求出四边形ABCD的周长为10，得到2021÷10的余数为1，由此即可解决问题．
【详解】
解：∵A（1，1），B（1，1），C（1，2），D（1，2），
∴四边形ABCD的周长为1
解析：B
【分析】
先求出四边形ABCD的周长为10，得到2021÷10的余数为1，由此即可解决问题．
【详解】
解：∵A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），
∴四边形ABCD的周长为10，
2021÷10的余数为1，
又∵AB=2，
∴细线另一端所在位置的点在A处左面1个单位的位置，坐标为（0，1）．
故选：B．
【点睛】
本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，求出四边形ABCD的周长，属于中考常考题型．
二、填空题
9．．
【详解】
【分析】先确定，再根据平方根定义可得的平方根是±.
【详解】因为，6的平方根是±，所以的平方根是±.
故正确答案为±.
【点睛】此题考核算术平方根和平方根定义.此题关键要看清符号所表示
解析：
【详解】
=.
6
=，6的平方根是
6
故正确答案为.
【点睛】此题考核算术平方根和平方根定义.此题关键要看清符号所表示的意义.
10．1
【分析】
关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可求a、b的值．【详解】
解：∵点A（5，b）与点B（a+1，3）关于x轴对称，
∴5=a+1，b=-3，
∴a=4，
∴（a+b
解析：1
【分析】
关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可求a、b的值．
【详解】
解：∵点A（5，b）与点B（a+1，3）关于x轴对称，
∴5=a+1，b=-3，
∴a=4，
∴（a+b）2017=（4-3）2017=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了关于坐标轴对称的两点的坐标关系．关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的两点纵坐标相等，横坐标反数．
11．35
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠EBC表示出∠ECD，再利用∠E与∠EBC表示出∠ECD，然后整理即可得到∠A与∠E的关系，进而可求出∠E．
【详解】
解
解析：35
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠EBC表示出∠ECD，再利用∠E与∠EBC表示出∠ECD，然后整理即可得到∠A与∠E的关系，进而可求出∠E．【详解】
解：∵BE和CE分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠EBC=1
2∠ABC，∠ECD=1
2
∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=1
2（∠A+∠ABC）=1
2
∠A+∠ECD，
∵∠ECD是△BEC的一外角，∴∠ECD=∠EBC+∠E，
∴∠E=∠ECD-∠EBC=1
2∠A+∠EBC-∠EBC=1
2
∠A=1
2
×70°=35°，
故答案为：35．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，角平分线的定义，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
12．36°
【分析】
如图，根据平行线的性质可得∠3=∠2，然后根据平角的定义解答即可．
【详解】
解：如图，∵三角尺的两边a∥b，
∴∠3=∠2=54º，
∴∠1=180°－90°－∠3=36°．
故
解析：36°
【分析】
如图，根据平行线的性质可得∠3=∠2，然后根据平角的定义解答即可．
【详解】
解：如图，∵三角尺的两边a∥b，
∴∠3=∠2=54º，
∴∠1=180°－90°－∠3=36°．
故答案为：36°．
【点睛】
本题以三角板为载体，主要考查了平行线的性质和和平角的定义，属于基础题型，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
13．59°
【分析】
由长方形的性质及折叠的性质可得∠1=∠2，AD∥BC，根据平行线的性质可求解∠GEC的度数，进而可求解∠2的度数，再利用平行线的性质可求解．
【详解】
解：如图，∵长方形ABCD沿
解析：59°
【分析】
由长方形的性质及折叠的性质可得∠1=∠2，AD∥BC，根据平行线的性质可求解∠GEC的度数，进而可求解∠2的度数，再利用平行线的性质可求解．
【详解】
解：如图，∵长方形ABCD沿EF折叠，
∴∠1=∠2，AD∥BC，
∴∠FGE+∠GEC=180°，
∵∠FGE=62°，
∴∠GEC=180°-62°=118°，
∠GEC=59°，
∴∠1=∠2=1
2
∵AD∥BC，
∴∠GFE=∠2，
∴∠GFE=59°．
故答案为59°．
【点睛】
本题主要考查翻折问题，平行线的性质，求解∠GEC的度数是解题的关键．
14．.
【分析】
设S=，等号两边都乘以5可解决．
【详解】
解：设S=①
则5S=②
②-①得4S=，
所以S=.
故答案是：.
【点睛】
本题考查了有理数运算中的规律性问题，此题参照例子，采用类比的
解析：
31
51 4
-
.
【分析】
设S=2330
15555
++++⋯⋯+，等号两边都乘以5可解决．【详解】
解：设S=2330
15555
++++⋯⋯+①
则5S=233031
55555
+++⋯⋯+
+②
②-①得4S=311
-
5，
所以S=
31
51 4
-
.
故答案是：
31
51 4
-
.
【点睛】
本题考查了有理数运算中的规律性问题，此题参照例子，采用类比的方法就可以解决．15．(－4，3) ．
【分析】
到x轴的距离表示点的纵坐标的绝对值；到y轴的距离表示点的横坐标的绝对值．
【详解】
解：根据题意可得点在第二象限，第二象限中的点横坐标为负数，纵坐标为正数．
所以点A的坐
解析：(－4，3) ．
【分析】
到x轴的距离表示点的纵坐标的绝对值；到y轴的距离表示点的横坐标的绝对值．
【详解】
解：根据题意可得点在第二象限，第二象限中的点横坐标为负数，纵坐标为正数．
所以点A 的坐标为(－4，3)
故答案为：(－4，3) ．
【点睛】
本题考查点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
16．【分析】
观察前面几个点的坐标得到的横坐标为，纵坐标为，即可求解．
【详解】
解：观察前面几个点的坐标得到的横坐标为，纵坐标为，
将代入得
∴
故答案为：
【点睛】
此题考查了平面直角坐标系中点坐
解析：()10,25
【分析】
观察前面几个点的坐标得到n P 的横坐标为n ，纵坐标为2
4n ，即可求解． 【详解】
解：观察前面几个点的坐标得到n P 的横坐标为n ，纵坐标为24
n ， 将10n =代入得2
254
n = ∴10(10,25)P
故答案为：()10,25
【点睛】
此题考查了平面直角坐标系中点坐标规律的探索，根据已知点找到规律是解题的关键．
三、解答题
17．（1）6；（2）-4；（3）；（4）.
【分析】
（1）利用算术平方根和立方根、绝对值化简，再进一步计算即可；
（2）利用算术平方根和立方根化简，再进一步计算即可；
（3）类比单项式乘多项式展开计算
解析：（1）6；（2）-4；（3）2+；（4）
【分析】
（1）利用算术平方根和立方根、绝对值化简，再进一步计算即可；
（2）利用算术平方根和立方根化简，再进一步计算即可；
（3）类比单项式乘多项式展开计算；
（4）利用绝对值的性质化简，再进一步合并同类二次根式．
【详解】
解：（11-
=3+2+1
=6；
（2
=2-3-3
=-4；
（33)
=2+；
（4+
=
故答案为（1）6；（2）-4；（3）2+4）
【点睛】
本题考查立方根和算术平方根，实数的混合运算，先化简，再进一步计算，注意选择合适的方法简算．
18．（1）；（2）．
【分析】
（1）首先求出的值是多少，然后根据平方根的含义和求法，求出x的值即可．（2）根据立方根的含义和求法，可得x-1=2，据此求出x的值是多少即可．【详解】
（1）
解
解析：（1）
5
2
x=±；（2）3
x=．
【分析】
（1）首先求出2x的值是多少，然后根据平方根的含义和求法，求出x的值即可．（2）根据立方根的含义和求法，可得x-1=2，据此求出x的值是多少即可．
【详解】
（1）21
6
4
x-=
2
25
4
x=
解得：
5
2 x=±
故答案为：
5
2 x=±
（2）()3
18x -= 12x -=
解得：3x =
故答案为：3x =
【点睛】
本题考查了平方根的含义和求法，立方根的含义和求法．
19．∠4；CE ；同位角相等，两直线平行；C ；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】
根据平行线的判定和性质解答．
【详解】
解∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），
∴∠2＝
解析：∠4；CE ；同位角相等，两直线平行；C ；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】
根据平行线的判定和性质解答．
【详解】
解∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），
∴∠2＝∠4（等量代换），
∴CE ∥BF （同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠C （两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B ＝∠C （已知），
∴∠3＝∠B （等量代换），
∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；CE ∥BF ；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．
20．（1）作图见解析，；（2）7
【分析】
（1）直接利用P 点平移变化规律得出A′、B′、C′的坐标；直接利用得出各对应点位置进而得出答案；
（2）利用三角形ABC 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出
解析：（1）作图见解析，()()()4,1,1,4,2,5A B C '--；（2）7
【分析】
（1）直接利用P 点平移变化规律得出A ′、B ′、C ′的坐标；直接利用得出各对应点位置进而
得出答案；
（2）利用三角形ABC 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】
解：（1）∵P (,)a b 到点P 的对应点P '()2,3a b -+，横坐标向左平移了两个单位，纵坐标向上平移了3个单位．
∵()()()2,2,3,1,0,2A B C --，
∴()()()4,1,1,4,2,5A B C '--，
如图所示，三角形A ′B ′C ′即为所求，
（2）三角形ABC 的面积为：4×5−12×1×3−12×2×4−12×3×5＝7．
【点睛】
此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 21．（1），，c=4；（2）4
【分析】
（1）由题意可得出，得出a 的值，代入中得出b 的值，再根据即可得出c 的值；
（2）代入a 、b 、c 的值求出代数式的值，再求算术平方根即可．
【详解】
解：（1）∵某
解析：（1）5a =，4b =，c=4；（2）4
【分析】
（1）由题意可得出(12)(4)0a a -++=，得出a 的值，代入3421327a b +-==中得出b 的值，再根据3134<即可得出c 的值；
（2）代入a 、b 、c 的值求出代数式的值，再求算术平方根即可．
【详解】
解：（1）∵某正数的两个平方根分别是12a -和4a
∴(12)(4)0a a -++=
∴5a =
又∵421a b +-的立方根是3
∴3421327a b +-==
∴4b = 又∵3134<<，c 是13的整数部分
∴3c =
（2）2524316a b c ++=+⨯+=
故2a b c ++的算术平方根是4．
【点睛】
本题考查的知识点是平方根、算术平方根、立方根、估算无理数的大小，属于基础题目，解此题的难点在于c 值的确定，学会用“逼近法”求无理数的整数部分是解此题的关键． 二十二、解答题
22．（1）正方形的面积为10，正方形的边长为；（2）见解析
【分析】
（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形的面积，然后根据算术平方根的意义即可求出边长；
（2）根据（1）的方法画
解析：（1）正方形ABCD 的面积为10，正方形ABCD 的边长为10；（2）见解析
【分析】
（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形ABCD 的面积，然后根据算术平方根的意义即可求出边长；
（2）根据（1）的方法画出图形，然后建立数轴，根据算术平方根的意义即可表示出结论．
【详解】
解：（1）正方形ABCD 的面积为4×4－4×1
2×3×1=10
则正方形ABCD 的边长为10；
（2）如下图所示，正方形的面积为4×4－4×12×2×2=8，所以该正方形即为所求，如图建立数轴，以数轴的原点为圆心，正方形的边长为半径作弧，分别交数轴于两点
∴8∴弧与数轴的左边交点为8888
【点睛】
此题考查的是求网格中图形的面积和实数与数轴，掌握算术平方根的意义和利用数轴表示无理数是解题关键．
二十三、解答题
23．（1）①18°；②2∠BEG+∠HFG=90°，证明见解析；（2）2∠BEG-
∠HFG=90°证明见解析部
【分析】
（1）①证明2∠BEG+∠HFG=90°，可得结论．②利用平行线的性质证明即可．
解析：（1）①18°；②2∠BEG+∠HFG=90°，证明见解析；（2）2∠BEG-∠HFG=90°证明见解析部
【分析】
（1）①证明2∠BEG+∠HFG=90°，可得结论．②利用平行线的性质证明即可．
（2）如图2中，结论：2∠BEG-∠HFG=90°．利用平行线的性质证明即可．
【详解】
解：（1）①∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠FEG，
∵FH⊥EF，
∴∠EFH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG=180°，
∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°，
∴2∠BEG+∠HFG=90°，
∵∠BEG=36°，
∴∠HFG=18°．
故答案为：18°．
②结论：2∠BEG+∠HFG=90°．
理由：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠FEG，
∵FH⊥EF，
∴∠EFH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG=180°，
∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°，
∴2∠BEG+∠HFG=90°．
（2）如图2中，结论：2∠BEG-∠HFG=90°．
理由：∵EG 平分∠BEF ，
∴∠BEG =∠FEG ，
∵FH ⊥EF ，
∴∠EFH =90°，
∵AB ∥CD ，
∴∠BEF +∠EFG =180°，
∴2∠BEG +90°-∠HFG =180°，
∴2∠BEG -∠HFG =90°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（1）；（2），见解析；（3）不变，
【分析】
（1）根据平行线的性质求出，再求出的度数，利用内错角相等可求出角的度数；
（2）过点作∥，类似（1）利用平行线的性质，得出三个角的关系； （3）运用
解析：（1）23︒；（2）BCD A B ∠=∠+∠，见解析；（3）不变， 25FOG ∠=︒
【分析】
（1）根据平行线的性质求出50A DCE ∠=∠=︒，再求出BCE ∠的度数，利用内错角相等可求出角的度数；
（2）过点C 作CE ∥AB ，类似（1）利用平行线的性质，得出三个角的关系；
（3）运用（2）的结论和平行线的性质、角平分线的性质，可求出FOG ∠的度数，可得结论．
【详解】
（1）因为CE ∥AB ，
所以50A DCE ∠=∠=︒，B BCE ∠=∠
因为∠BCD =73 °，
所以23BCE BCD DCE ∠=∠-∠=︒，
故答案为：23︒
（2）BCD A B ∠=∠+∠，
如图②，过点C 作CE ∥AB ，
则A DCE ∠=∠，B BCE ∠=∠．
因为BCD DCE BCE ∠=∠+∠，
所以BCD BAD B ∠=∠+∠，
（3）不变，
设ABE x ∠=，
因为BE 平分ABC ∠，
所以CBE ABE x ∠=∠=．
由（2）的结论可知BCD BAD ABC ∠=∠+∠，且50BAD ︒∠=，
则：502BCD x ∠=︒+．
因为MN ∥AD ，
所以502BON BCD x ∠=∠=︒+，
因为OF 平分BON ∠， 所以1252
COF NOF BON x ∠=∠=∠=︒+． 因为OG ∥BE ，
所以COG CBE x ∠=∠=，
所以2525FOG COF COG x x ∠=∠-∠=+-=︒︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质证明角相等，通过等量代换等方法得出角之间的关系．
25．[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸] ∠M+∠CFE=90°，证明见解析．
【分析】
[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD ，再根据三角形的外角的性质即可
解析：[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸]
∠M+∠CFE=90°，证明见解析．
【分析】
[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD ，再根据三角形的外角的性质即可证明；
[变式思考]根据角平分线的定义和对顶角相等可得∠CAE=∠DAF 、再根据直角三角形的性质和等角的余角相等即可得出CFE ∠=CEF ∠；
[探究延伸]根据角平分线的定义可得∠EAN=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠M+∠CEF=90°，再根据三角形外角的性质可得∠CEF=∠CFE ，由此可证∠M+∠CFE=90°．
【详解】
[习题回顾]证明：∵∠ACB=90°，CD 是高，
∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD ，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF=∠DAF，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠DAF+∠B，
∴∠CEF=∠CFE；
[变式思考]相等，理由如下：
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF=∠DAF，
∵∠CAE=∠GAF，
∴∠CAE=∠DAF，
∵CD为AB边上的高，∠ACB=90°,
∴∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠ACE=90°，
∴∠DAF+∠F=90°，∠E+∠CAE=90°，
∴∠CEF=∠CFE；
[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN=90°，
又∵∠GAN=∠CAM，
∴∠M+∠CEF=90°，
∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，
∴∠M+∠CFE=90°．
【点睛】
本题考查三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的有关证明，等角或同角的余角相等．在本题中用的比较多的是利用等角或同角的余角相等证明角相等和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，理解并掌握是解决此题的关键．
26．【现象解释】见解析；【尝试探究】BEC 70；【深入思考】
2.
【分析】
[现象解释]根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用
∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠
解析：【现象解释】见解析；【尝试探究】∠BEC = 70︒；【深入思考】β= 2α.
【分析】
[现象解释]根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出
∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即可得出∠DCB+∠ABC=180°，即可证得AB∥CD；
[尝试探究]根据三角形内角和定理求得∠2+∠3=125°，根据平面镜反射光线的规律得
∠1=∠2，∠3=∠4，再利用平角的定义得出∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，即可得出∠EBC+BCE=360°-250°=110°，根据三角形内角和定理即可得出∠BEC=180°-110°=70°；[深入思考]利用平角的定义得出∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，利用外角的性质
∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，而∠BOC=∠3-∠2=α，即可证得β=2α．
【详解】
[现象解释]
如图2，
∵OM⊥ON，
∴∠CON=90°，
∴∠2+∠3=90°
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∴AB∥CD；
【尝试探究】
如图3，
在△OBC中，∵∠COB=55°，
∴∠2+∠3=125°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=250°，
∵∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，
∴∠EBC+BCE=360°-250°=110°，
∴∠BEC=180°-110°=70°；
【深入思考】
如图4，
β=2α，
理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，
∴∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，
∵∠BOC=∠3-∠2=α，
∴β=2α．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的性质是解题的关键．。