(研)第二章连续信号傅立叶分析
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An~n0,n~ n0 绘成的波形称为幅度谱和相位谱.
2.指数型傅立叶级数：
x(t)
A0 2
n1
An
cos(n0t
n )
A0
A [e e ] n j(n0tn )
j (n0t n )
2 n1 2
A0 2
1 2
A e e jn jn0t n n 1
2、正交基选择
在一个N维空间中,如同有无数组N个线性无关的向量一 样,也可以找到无穷多个正交基,如何选择一组好的正交基? 一般考虑如下几个因素:
• 具有所希望的物理意义或实际含义,有些物理解释虽然不 甚明朗,但有较强的实际价值
• 正交基应尽量简单,尽量减少正反变换时的计算量 • 为了研究局部频率或局部时间性质,希望基函数有频域和
1 0.5
0 0
ck / (2A /T)
1 0.5
0 0
pi
0
5
10
15
20
0
k ( k1 )
周期脉冲信号的频谱
c1k / (2A /T)
5
10
15
20
k ( k k1 )
5
10
15
20
k ( k1 )
5.周期信号频谱的特点:
1 基本特点—离散性和谐波性
2 常见周期信号频谱的衰减性和无限带宽特点
A0 2
n1
An
cos(n0t n )
表明:周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量； A1cos(0t+1)称为基波，它的角频率与原周期信号相同； A2cos(20t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(n0t+n)称为n次谐波。
• 上述波形也称为“小波”。小：具有衰减性、局部非零的的函数; 波:指具有波动性,振幅呈正负之间的震荡形式
• 利用所给的小波能否派生更多\更适用的小波函数?
(t) (2t) (2t 1) (t) (2t) (2t 1)
• 小波函数的重要价值在于通过平移和伸缩生成 L2(R) 中的一组正交基
t2 t1
f 2 (t) d t
C
2 j
K
j
j 1
称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量 恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t) C j j (t) j 1
f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2) 内为最小。
通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为
2 1
t2 t1
t2 [ f (t)
t1
n
C j j (t)]2 d t
j 1
为使上式最小
2
1 p p
.x
p
x(n)
p 1/ p
sup x(n)
1 p p
.x x(t)dt 1
.x x(t) 2dt 1/ 2
2
2
.x
x(t) 2dt
2
二阶范数的平方表示信号能量， x 表示信号可测得的蜂值
性质三 尺度变换
x(t) F X ( jn0 )
信号在时域尺度变换,频域中各谐波的傅立叶系数保持不变. 但基波频率变为 a0
周期为4,脉宽为2的周期信号
0 / 2
X
(
jn0 )
/
TSa(
n0 2
)
1/
2Sa(
n 2
)
周期为2,脉宽为1的周期信号
0
X
(
2.范数、赋范空间
范数是矢量长度的度量方法，也用于表示信号能量
a) RN 的范数
x
p
N 1
1/ p
xi
p
max
1i N
xi
1 p p
常见的有
.
1
，. 2
，.
。. 2
称为欧氏距离
a) L和 l 范数
t 1/ p sup x(t)
则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)}之外，不存在
函数φ(t)(≠0）满足
t2 t1
(t)i
(t)
d
t
0
则称此函数集为完备正交函数集。
3、正交函数集实例
例1：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 例2:虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…} 是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
给出了范数的概念可构成线性赋范空间，如 L1 L2 L l 等
3.内积,内积空间
范数与信号自身的能量、强度等特征相对应，而内 积与信号之间的相关密切相连。
x (x1, x2), y ( y1, y2)
两矢量夹角 1 2
x1 y1 x2 y2
x 2
y 2 cos(1 2 )
三维矢量内积运算 x1 y1 x2 y2 x3 y3 ，当夹角为90度时， 结果为零；夹角为0时，结果最大。
L空间两信号的内积：
x, y x(t) y (t)dt
x, x x(t) 2dt x 2
2
x, y x(n) y * (n) nZ
二.信号的正交分解
Wal(3,t) Sgncos2tSgncost Wal(1,t)Wal(2,t)
Wal(4,t) Sgncos4t
Wal(5,t) Wal(4,t)Wal(1,t)
Wal(6,t) Wal(4,t)Wal(2,t)
Wal(7,t) Wal(4,t)Wal(2,t)Wal(1,t) Wal(6,t)Wal(1,t)
三. 正交基
1、正交变换
n 是空间H的一组向量,它们线性无关且构成完备函数集,
为H 的一组正交基
N
x nn
分解系数 1, 2 , N 是唯一的 1
将信号经正交变换后得到一组离散系数 1, 2 , N ,具有减少
各分量的相关性的作用,即将信号能量集中于少数系数上.相关性去处的 程度及能量集中的程度取决于选择的基函数的性质.
时域的定位 功能,既频域和时域最好是紧支撑的 • 具有好的去相关性和能量集中的性能
正交小波正是朝这一目标努力得出的可喜成果.
2.2信号的傅立叶分析
一.周期信号的傅立叶级数：
1.三角型傅立叶级数：
x(t)
a0 2
an
n1
cos(n0t)
bn
n1
s in(n 0 t )
x(t)
(2k t n, k, n N
f (t)
d
k n
(2k
t
n
k ,n
• MATLAB有各种小波基函数库,信号分解为正交函数和是信号分析的一个 重要内容,傅立叶级数、傅立叶变换、离散傅立叶变换、离散余弦变换、 小波变换等。
E , P 0
4、正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2)构成一个 正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来 近似，可表示为
例3:沃尔什函数(walah)是区间（0，1）的完备正交函数集
p1
Wal (k,t) Sgn cos(kr 2r t)
r0
Wal(0,t) Sgncos0t 1
0t 1
Wal(1,t) SgncostSgncos0t Sgncost
Wal(2,t) Sgncos2t
1、矢量正交与正交分解
矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：
其内积为0。即
3
VxVyT vxivyi 0
i 1
由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集
例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量 集{ vx，vy，vz}分量的线性组合表示。即
第二章 连续信 号傅立叶分析
2.1信号的正交分解
概念
• 信号与多维矢量之间的相似关系
•空间感念
数学定义:把具有某种特性的集合称为“空间” 线性矢量空间：引入线性运算的矢量空间 范数:矢量长度类似 线性赋范空间 内积空间
•信号能量与矢量长度的相似
信号相关性类似于矢量之间的夹角 内积空间的正交性 内积空间信号的正交展开 帕塞瓦尔公式揭示了信号正交分解能量不变性的物理本质,
2 i
(t
)
d
t
0
所以系数
Ci
t2 t1
f
(t)i (t) d t
1
t2 t1
2 i
(t
)
d
t
Ki
t2 t1
f
(t)i (t) d t
最小均方误差
2 1 [
t2 t1
t2 t1
f
2 (t) d t
n
C
2 j
K
j
]
j 1
0
正交函数近似f(t)时，n越大，均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。
Ci Ci
t2 [ f (t)
t1
n
C j j (t)]2
j 1
dt
0
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为
Ci
t2 t1
[2Ci
f
(t ) i
(t)
Ci2
2 i
(t)] d t
0
2
t2 t1
f
(t)i (t) d t
2Ci
t2 t1
A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干
个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它 们的线性组合。
2、正交函数集
定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足
t2 t1
i
(t)
j* (t) d t
提取了反映信号全貌的三个基本特征,即基波频率、各 谐波的幅度和相位——频谱图
频谱图与时域波形的变化规律有着密切的关系：频率 的高低相应于波形变化的快慢；谐波幅度的大小反映 了时域波形幅值得大小；相位的变化关系到波形在时 域出现的不同时刻
3.傅里叶级数的性质
性质一 线性
x1(t) X ( jn1) x2 (t) X ( jn2 )
Ki
0,
0,
i j i j
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集，当这些 函数在区间(t1，t2)内满足
t2 t1
1
(t
)
2
*
(t
)
d
t
0
i (t), j (t) 0 i (t),i (t) Ki
1 2
A e e jn jn0t n n1
x(t)
1 2
An
n
e
e jn
jnt
X ( jn0 ) e jn0t n
X ( jn0 ) X ( jn0 e j(n0 ) x(t) X ( jn0 )
任意波形的周期信号都可以用反映信号频率特性的 X ( jn0 ) 复函数描述
若 1 2 0
a1x1(t) a2 x2 (t) F a1X1( j0 ) a2 X 2 ( j0 )
若 1 2 只要T1/T2为有理数
a1x1(t) a2x2 (t) Fa1X1( j1) a2 X 2 ( j2 )
性质二 时移特性 x(t t0 ) F e jn0t0 X ( jn0 )
相当于矢量范数不变性(内积不变性)的体现
一. 信号矢量空间
1.线性空间 其中任意两元素相加构成集合内的另一个元素,任一元素
与任一数相趁乘后得到集合内的另一元素.
n维实数空间 RN
连续时间信号空间L
离散时间信号空间 l
在线性空间利用线性运算研究线性相关、基、维数等线性结构
n维实数空间为有限维空间，连续、离散时间信号空间为 无穷维空间
jn
0
)
1
/
2Sa(
n
2
)
性质四 时域微积分性质
x(t) F X ( jn0 ) x'(t) F jn0 X ( jn0 ) x(1) (t) F X ( jn0 )
jn0
4.傅里叶级数的应用
谐波分析
信号重构与Gibbs效应
对于带突变的信号, 不可能有完美的重构,当 有限项叠加时,在每个突 变位置上显示出过冲和下 冲 现 象 ( 突 变 约 9%). 没 有 突变的信号,不存在Gibbs 效应
2.指数型傅立叶级数：
x(t)
A0 2
n1
An
cos(n0t
n )
A0
A [e e ] n j(n0tn )
j (n0t n )
2 n1 2
A0 2
1 2
A e e jn jn0t n n 1
2、正交基选择
在一个N维空间中,如同有无数组N个线性无关的向量一 样,也可以找到无穷多个正交基,如何选择一组好的正交基? 一般考虑如下几个因素:
• 具有所希望的物理意义或实际含义,有些物理解释虽然不 甚明朗,但有较强的实际价值
• 正交基应尽量简单,尽量减少正反变换时的计算量 • 为了研究局部频率或局部时间性质,希望基函数有频域和
1 0.5
0 0
ck / (2A /T)
1 0.5
0 0
pi
0
5
10
15
20
0
k ( k1 )
周期脉冲信号的频谱
c1k / (2A /T)
5
10
15
20
k ( k k1 )
5
10
15
20
k ( k1 )
5.周期信号频谱的特点:
1 基本特点—离散性和谐波性
2 常见周期信号频谱的衰减性和无限带宽特点
A0 2
n1
An
cos(n0t n )
表明:周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量； A1cos(0t+1)称为基波，它的角频率与原周期信号相同； A2cos(20t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(n0t+n)称为n次谐波。
• 上述波形也称为“小波”。小：具有衰减性、局部非零的的函数; 波:指具有波动性,振幅呈正负之间的震荡形式
• 利用所给的小波能否派生更多\更适用的小波函数?
(t) (2t) (2t 1) (t) (2t) (2t 1)
• 小波函数的重要价值在于通过平移和伸缩生成 L2(R) 中的一组正交基
t2 t1
f 2 (t) d t
C
2 j
K
j
j 1
称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量 恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t) C j j (t) j 1
f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2) 内为最小。
通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为
2 1
t2 t1
t2 [ f (t)
t1
n
C j j (t)]2 d t
j 1
为使上式最小
2
1 p p
.x
p
x(n)
p 1/ p
sup x(n)
1 p p
.x x(t)dt 1
.x x(t) 2dt 1/ 2
2
2
.x
x(t) 2dt
2
二阶范数的平方表示信号能量， x 表示信号可测得的蜂值
性质三 尺度变换
x(t) F X ( jn0 )
信号在时域尺度变换,频域中各谐波的傅立叶系数保持不变. 但基波频率变为 a0
周期为4,脉宽为2的周期信号
0 / 2
X
(
jn0 )
/
TSa(
n0 2
)
1/
2Sa(
n 2
)
周期为2,脉宽为1的周期信号
0
X
(
2.范数、赋范空间
范数是矢量长度的度量方法，也用于表示信号能量
a) RN 的范数
x
p
N 1
1/ p
xi
p
max
1i N
xi
1 p p
常见的有
.
1
，. 2
，.
。. 2
称为欧氏距离
a) L和 l 范数
t 1/ p sup x(t)
则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)}之外，不存在
函数φ(t)(≠0）满足
t2 t1
(t)i
(t)
d
t
0
则称此函数集为完备正交函数集。
3、正交函数集实例
例1：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 例2:虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…} 是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
给出了范数的概念可构成线性赋范空间，如 L1 L2 L l 等
3.内积,内积空间
范数与信号自身的能量、强度等特征相对应，而内 积与信号之间的相关密切相连。
x (x1, x2), y ( y1, y2)
两矢量夹角 1 2
x1 y1 x2 y2
x 2
y 2 cos(1 2 )
三维矢量内积运算 x1 y1 x2 y2 x3 y3 ，当夹角为90度时， 结果为零；夹角为0时，结果最大。
L空间两信号的内积：
x, y x(t) y (t)dt
x, x x(t) 2dt x 2
2
x, y x(n) y * (n) nZ
二.信号的正交分解
Wal(3,t) Sgncos2tSgncost Wal(1,t)Wal(2,t)
Wal(4,t) Sgncos4t
Wal(5,t) Wal(4,t)Wal(1,t)
Wal(6,t) Wal(4,t)Wal(2,t)
Wal(7,t) Wal(4,t)Wal(2,t)Wal(1,t) Wal(6,t)Wal(1,t)
三. 正交基
1、正交变换
n 是空间H的一组向量,它们线性无关且构成完备函数集,
为H 的一组正交基
N
x nn
分解系数 1, 2 , N 是唯一的 1
将信号经正交变换后得到一组离散系数 1, 2 , N ,具有减少
各分量的相关性的作用,即将信号能量集中于少数系数上.相关性去处的 程度及能量集中的程度取决于选择的基函数的性质.
时域的定位 功能,既频域和时域最好是紧支撑的 • 具有好的去相关性和能量集中的性能
正交小波正是朝这一目标努力得出的可喜成果.
2.2信号的傅立叶分析
一.周期信号的傅立叶级数：
1.三角型傅立叶级数：
x(t)
a0 2
an
n1
cos(n0t)
bn
n1
s in(n 0 t )
x(t)
(2k t n, k, n N
f (t)
d
k n
(2k
t
n
k ,n
• MATLAB有各种小波基函数库,信号分解为正交函数和是信号分析的一个 重要内容,傅立叶级数、傅立叶变换、离散傅立叶变换、离散余弦变换、 小波变换等。
E , P 0
4、正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2)构成一个 正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来 近似，可表示为
例3:沃尔什函数(walah)是区间（0，1）的完备正交函数集
p1
Wal (k,t) Sgn cos(kr 2r t)
r0
Wal(0,t) Sgncos0t 1
0t 1
Wal(1,t) SgncostSgncos0t Sgncost
Wal(2,t) Sgncos2t
1、矢量正交与正交分解
矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：
其内积为0。即
3
VxVyT vxivyi 0
i 1
由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集
例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量 集{ vx，vy，vz}分量的线性组合表示。即
第二章 连续信 号傅立叶分析
2.1信号的正交分解
概念
• 信号与多维矢量之间的相似关系
•空间感念
数学定义:把具有某种特性的集合称为“空间” 线性矢量空间：引入线性运算的矢量空间 范数:矢量长度类似 线性赋范空间 内积空间
•信号能量与矢量长度的相似
信号相关性类似于矢量之间的夹角 内积空间的正交性 内积空间信号的正交展开 帕塞瓦尔公式揭示了信号正交分解能量不变性的物理本质,
2 i
(t
)
d
t
0
所以系数
Ci
t2 t1
f
(t)i (t) d t
1
t2 t1
2 i
(t
)
d
t
Ki
t2 t1
f
(t)i (t) d t
最小均方误差
2 1 [
t2 t1
t2 t1
f
2 (t) d t
n
C
2 j
K
j
]
j 1
0
正交函数近似f(t)时，n越大，均方误差越小。当n→∞时（为完 备正交函数集），均方误差为零。
Ci Ci
t2 [ f (t)
t1
n
C j j (t)]2
j 1
dt
0
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为
Ci
t2 t1
[2Ci
f
(t ) i
(t)
Ci2
2 i
(t)] d t
0
2
t2 t1
f
(t)i (t) d t
2Ci
t2 t1
A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干
个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它 们的线性组合。
2、正交函数集
定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足
t2 t1
i
(t)
j* (t) d t
提取了反映信号全貌的三个基本特征,即基波频率、各 谐波的幅度和相位——频谱图
频谱图与时域波形的变化规律有着密切的关系：频率 的高低相应于波形变化的快慢；谐波幅度的大小反映 了时域波形幅值得大小；相位的变化关系到波形在时 域出现的不同时刻
3.傅里叶级数的性质
性质一 线性
x1(t) X ( jn1) x2 (t) X ( jn2 )
Ki
0,
0,
i j i j
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集，当这些 函数在区间(t1，t2)内满足
t2 t1
1
(t
)
2
*
(t
)
d
t
0
i (t), j (t) 0 i (t),i (t) Ki
1 2
A e e jn jn0t n n1
x(t)
1 2
An
n
e
e jn
jnt
X ( jn0 ) e jn0t n
X ( jn0 ) X ( jn0 e j(n0 ) x(t) X ( jn0 )
任意波形的周期信号都可以用反映信号频率特性的 X ( jn0 ) 复函数描述
若 1 2 0
a1x1(t) a2 x2 (t) F a1X1( j0 ) a2 X 2 ( j0 )
若 1 2 只要T1/T2为有理数
a1x1(t) a2x2 (t) Fa1X1( j1) a2 X 2 ( j2 )
性质二 时移特性 x(t t0 ) F e jn0t0 X ( jn0 )
相当于矢量范数不变性(内积不变性)的体现
一. 信号矢量空间
1.线性空间 其中任意两元素相加构成集合内的另一个元素,任一元素
与任一数相趁乘后得到集合内的另一元素.
n维实数空间 RN
连续时间信号空间L
离散时间信号空间 l
在线性空间利用线性运算研究线性相关、基、维数等线性结构
n维实数空间为有限维空间，连续、离散时间信号空间为 无穷维空间
jn
0
)
1
/
2Sa(
n
2
)
性质四 时域微积分性质
x(t) F X ( jn0 ) x'(t) F jn0 X ( jn0 ) x(1) (t) F X ( jn0 )
jn0
4.傅里叶级数的应用
谐波分析
信号重构与Gibbs效应
对于带突变的信号, 不可能有完美的重构,当 有限项叠加时,在每个突 变位置上显示出过冲和下 冲 现 象 ( 突 变 约 9%). 没 有 突变的信号,不存在Gibbs 效应