北京市高三数学一模分类汇编7 圆锥曲线 文

2012北京市高三一模数学理分类汇编：圆锥曲线
【2012北京市门头沟区一模文】14. 过抛物线2
2
1x y =
焦点的直线与抛物线交于B A 、两点，O 是坐标原点．则=⋅ ；若该抛物线上有两点M 、N ，满足ON OM ⊥，
则直线MN 必过定点 ． 【答案】4
3
-
,（0,2） 【2012北京市海淀区一模文】（4）过双曲线
22
1916
x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是
（A ）34150x y +-= （B ）34150x y --= （C ）43200x y -+= （D ）43200x y --= 【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为)0,5(，经过一、三象限的渐近线方程为x y 4
3
=
，所以平行于x y 43=
的直线可以设为c x y +=4
3
，将点)0,5(代入，解得415-=c ，所以所求方程为
4
15
43-=x y ，整理得34150x y --=，选B.
【2012北京市房山区一模文】7．已知双曲线12
2
=-m
y x 与抛物线x y 82=的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5=PF ，则双曲线的渐近线方程为
（ ）
（A ）02=±y x （B ）02=±y x
（C ）03=±y x （D ）03=±y x
【答案】C
【2012北京市东城区一模文】(12)双曲线2
2
2x y -=的离心率为 ；若抛物线2
y ax =的焦
点恰好为该双曲线的右焦点，则a 的值为 .
8
【2012北京市朝阳区一模文】6. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率2
e =
，
其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为
A ．2212x y -=
B ．22123
x y -= C. 2214x y -= D. 221x y -=
【答案】A
【2012北京市丰台区一模文】10．已知抛物线28y x =上一点P 到焦点的距离是6，则点
P 的坐标是________。

【答案】
【2012年北京市西城区高三一模文】18.（本小题满分14分）
已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>
F ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线5
:2
l y kx =-交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 都在以点(0,3)M 为圆心
的圆上，求k 的值．
【答案】（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c
，则c = ……1分
由c e a =
=
， 得
a = 从而2224
b a
c =-=． …………4分 所以，椭圆C 的方程为
14
122
2=+y x ． …………5分 （Ⅱ）解：设),(),,(2211y x B y x A ．
将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，
消去y 得 22
4(13)60270k x kx +-+=． ……………7分
由22
360016(13)270k k ∆=-+⨯>，得2316k >
，且122
1513k x x k +=+．…9分
设线段AB 的中点为D ，则21526D k x k =
+，2
55226D D y kx k
-=-=+． …10分由点A ，B 都在以点(0,3)为圆心的圆上，得1MD k k ⋅=-， ……11分
即
2
5
32611526k k k k
+
+⋅=--+， 解得 229
k =，符合题意． …………13分
所以
3
k =±
． ………14分 【2012北京市门头沟区一模文】19. （本小题满分14分）
已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点(2,1)A
，离心率为2
，过点(3,0)B 的直线l 与
椭圆交于不同的两点,M N ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若2
2
3||=
MN ，求直线MN 的方程． 【答案】解：（Ⅰ）由题意有
11422=+b a ，2
2==a c e ，222c b a =-， 解得6=a ，3=b 3=c ，
所以椭圆方程为13
62
2=+y x
……6分
（Ⅱ）由直线MN 过点B 且与椭圆有两交点，可设直线MN 方程为)3(-=x k y ，
代入椭圆方程整理得061812)12(2
2
2
2
=-+-+k x k x k
……8分
2=24240k ∆->，得21k <
设M （x 1,y 1），N （x 2,y 2），则121222
21+=+k k x x
，1
26
182221+-=k k x x
2212221221))(1()()(||x x k y y x x MN -+=-+-=
2
2
3]4))[(1(212212=
-++=
x x x x k 解得22±
=k ，所求直线方程为)3(2
2-±=x y
……14分
【2012北京市海淀区一模文】 （19）（本小题满分13分）
已知椭圆:C 22
22 1 (0)x y a b a b
+=>>的右顶点(2,0)A
，
离心率为
2
，O为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知P（异于点A）为椭圆C上一个动点，过O作线段AP的垂线l交椭圆C于点,E D，
求DE
AP
的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）因为(2,0)
A是椭圆C的右顶点，所以2
a=.
又
c
a
=，所以
c=
所以222431
b a c
=-=-=.
所以椭圆C的方程为
2
21
4
x
y
+=. ………………………………………3分（Ⅱ）当直线AP的斜率为0时，||4
AP=，DE为椭圆C的短轴，则||2
DE=.
所以
||1
||2
DE
AP
=. ………………………………………5分当直线AP的斜率不为0时，
设直线AP的方程为(2)
y k x
=-，
00
(,)
P x y，
则直线DE的方程为
1
y x
k
=-. ………………………………………6分
由2
2
(2),
1
4
y k x
x
y
=-
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
得22
4[(2)]40
x k x
+--=.
即2222
(14)161640
k x k x k
+-+-=.
所以
2
02
16
2.
41
k
x
k
+=
+
所以
2
02
82
.
41
k
x
k
=
+
-
………………………………………8分所以
||
AP==
即
2
||41
AP k =+.
类似可求||DE =
所以2||||DE AP ==
………………………………………11分
设t =
则224k t =-，2t >.
2
2
||4(4)1415
(2).||DE t t t AP t t
-+-==>
令2415()(2)t g t t t -=>，则22
415
'()0t g t t +=>. 所以 ()g t 是一个增函数.
所以 2||41544151
||22
DE t AP t -⨯-=>=.
综上，
||||
DE AP 的取值范围是1
[,)2+?. ………………………………………13分
【2012北京市石景山区一模文】19．（本小题满分14分）
已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a
1，
短轴长为（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若线段AB
的长为2
， 求直线AB 的方程．
【答案】解：解：
（Ⅰ）由题意，222
1a c b a b c ⎧-=⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎩
解得1a c ==．
即：椭圆方程为.12
32
2=+y x ------------4分 （Ⅱ）当直线AB 与x
轴垂直时，
AB =
，
此时AOB S ∆=不符合题意故舍掉； -----------6分 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：)1(+=x k y ， 代入消去
y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-= ．
设1122(,),(,)A x y B x y ，则21222
12
26233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
-----------8分 所以
AB = ， ------------11分
由22AB k k =
⇒=⇒= ------------13分
所以直线0AB l y -=
或0AB l y +=． ---------14分 【2012北京市朝阳区一模文】19.（本题满分14分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>
的两个焦点分别为1(F
，2F ，点
(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN
的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值. 【答案】解:
（Ⅰ）依题意，由已知得c =
，222a b -=，由已知易得1b OM ==,
解得a =分
则椭圆的方程为2
213
x y +=. ………………………4分
(II) ①当直线l 的斜率不存在时，由221, 13x x y =⎧⎪⎨+=⎪
⎩
解得1,x y ==.
设
(1,
)3A ，(1,)
3
B -
，则1222332
22
k k +=+=为定值. ………5分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-.
将(1)y k x =-代入2
213x y +=整理化简，得2222
(31)6330k x k x k +-+-=.…6分
依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则2122631k x x k +=+，212233
31k x x k -=+. ……………………7分
又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，
所以
12
12122233y y k k x x --+=
+
-- ………………………8分
122112(2)(3)(2)(3)
(3)(3)y x y x x x --+--=
--
12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=
-++ 1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=
-++
22
12222222
336122()[246]
3131633
933131
k k x x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++ 22
12(21)
2.6(21)k k +==+ .…….………………13分
综上得12k k +为常数2. .…….………………14分 【2012北京市海淀区一模文】（19）（本小题满分13分）
已知椭圆:C 22
22 1 (0)x y a b a b
+=>>的右顶点(2,0)A ，
O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段
AP 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求
DE AP
的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =.
又
c a =，所以
c =所以 2
2
2
431b a c =-=-=.
所以 椭圆C 的方程为2
214
x y +=. ………………………………………3分 （Ⅱ）当直线AP 的斜率为0时，||4AP =，DE 为椭圆C 的短轴，则||2DE =.
所以
||1
||2
DE AP =. ………………………………………5分 当直线AP 的斜率不为0时，
设直线AP 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ，
则直线DE 的方程为1
y x k
=-
. ………………………………………6分 由 22
(2),14
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22
4[(2)]40x k x +--=. 即2
2
2
2
(14)161640k x k x k +-+-=. 所以
2
02162.
41k x k +=+
所以
2
0282
.
41k x k =
+-
………………………………………8分
所以
||AP =
=即
||AP =.
类似可求||DE =
所以2||||DE AP ==
………………………………………11分
设t =
则224k t =-，2t >.
2
2
||4(4)1415
(2).||DE t t t AP t t
-+-==>
令2415()(2)t g t t t -=>，则22
415
'()0t g t t
+=>. 所以 ()g t 是一个增函数.
所以 2||41544151
||22
DE t AP t -⨯-=>=.
综上，
||||
DE AP 的取值范围是1
[,)2+?. ………………………………………13分
【2012北京市房山区一模文】19.（本小题共14分）
已知椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 的长轴长为24，点P （2，1）在椭圆上，平行于OP
（O 为坐标原点）的直线l 交椭圆于B A ,两点，l 在y 轴上的截距为m . （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m 的取值范围；
（Ⅲ）设直线PB PA ,的斜率分别为1k ，2k ，那么1k +2k 是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由.
【答案】解：（I ）由已知可知22=a …………………………………1分
设椭圆方程为
1822
2=+b y x ，将点)1,2(P 代入解得22=b …………………………3分 ∴椭圆方程为1282
2=+y x
………………………4分 （II ）∵直线l 平行于OP ，且在y 轴上的截距为m ,又2
1
=
op k m x y l +=
∴2
1
的方程为： （0≠m ） …………………………………6分 由0422128
2
1222
2
=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m m x x y x m x y ① ………………………………7分 ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，
222)4(24)0m m ∴∆=-->（
解得 22m -<<，且m ≠0.
所以m 的取值范围是()()2,00,2 -. …………………………………9分 （III ）1k +02=k
设()()2211,,,y x B y x A ，由①得42,22
2121-=-=+m x x m x x .…………………10分
∵12
121211
,22
y y k k x x --=
=-- ∴12122112121211(1)(2)(1)(2)
22(2)(2)
y y y x y x k k x x x x ----+--+=
+=
---- )
2)(2()1(4)2)(2(42)
2)(2()
1(4))(2()2)(2()
2)(121
()2)(12
1(212212*********------+-=
----+++=
----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x
= 22122424440(2)(2)
m m m m x x --+-+=--
120k k ∴+= ……………………………………………14分
【2012北京市东城区一模文】（19）（本小题共13分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()0,1
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）12,A A 为椭圆C
的左、右顶点，直线:l x =x 轴交于点
D ，点P 是椭圆C 上异于12,A A 的动点，
直线12,A P A P 分别交直线l 于,E F 两点.证明：DE DF ⋅恒为定值.
【答案】（Ⅰ）解：由题意可知，1b =
，c a =， 解得2a =. …………4分 所以椭圆的方程为2
214
x y +=. …………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,1(2,0)A -，2(2,0)A .设00(,)P x y ，依题意022x -<<，
于是直线1A P 的方程为00(2)2y y x x =++
，令x =
002)2
y y x =+.
即0
02)2y DE x =+. …………7分
又直线2A P 的方程为00(2)2y y x x =
--
，令x =
002)2y y x =-，
即002)
2
y DF x =-. …………9分 所
以220000220000442)2)2244y y y y DE DF x x x x ⋅=⋅==+---
，………11分 又00(,)P x y 在2214x y +=上，所以220014
x y +=,即220044y x =-，代入上式， 得202
0414x DE DF x -⋅==-,所以||||DE DF ⋅为定值1. …13分 【2012北京市丰台区一模文】19．（本小题共14分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率为2，且经过点M （一2，0）．
（I ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）设斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，连接,MA MB 并延
长交直线x=4于P ，Q 两点，设,P Q y y 分别为点P ，Q 的纵坐标，且121111P Q
y y y y +=+，求△ABM 的面积．
【答案】。