八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.1矩形19.1.1矩形的性质第1课时矩形的性质课堂练习新

第19章矩形、菱形与正方形
19.1.1.1 矩形的性质
1．下列说法错误的是( )
A．矩形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2．如图是一张矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝4.若用剪刀沿∠ABC的平分线BE剪下，则DE的长等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
3．如图，在矩形ABCD中，AB<BC，AC、BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是____．
4．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，点E为AD的中点，CE＝5，则AD＝____．
5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AB＝AO. 求∠ABD的度数．
6．[xx·洛宁县期末]如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD＝15 cm，求AC、AB的长．
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点M、N分别为OA、OD的中点．求证：BM＝CN.
8．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，连结AF、CE.求证：
(1)△BEC≌△DFA；
(2)四边形AECF是平行四边形．
9．[xx·九台区期末]如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF＝90°，AD＋CD＝10，AE＝2.求AD的长．
10．[xx·渝北区期末]如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC 交BC于点E，连结OE，且∠ODE＝15°.
(1)求证：CO＝CE；
(2)求∠OED的度数．
11．柳北区校级模拟]如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC的延长线上，AE＝BF.
(1)求证：四边形ABFE是平行四边形；
(2)若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．
参考答案
1． C 2． C 3． 4 4． 6
5．解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AO ＝BO . 又∵AB ＝AO ， ∴AB ＝AO ＝BO ， ∴△ABO 为等边三角形， ∴∠ABD ＝60°.
6．解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD ＝15 cm ， ∵OA ＝12AC ，OB ＝1
2BD ，
∴OA ＝OB ＝7.5 cm. ∵AE 垂直且平分线段BO ， ∴AB ＝OA ＝7.5 cm.
7．证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ， ∴OA ＝OC ＝OD ＝OB .
∵点M 、N 分别是OA 、OD 的中点，即AM ＝OM ，ON ＝DN ， ∴OM ＝ON .
在△BOM 和△CON 中，⎩⎨⎧OM ＝ON ，
∠MOB ＝∠NOC ，BO ＝CO ，
∴△BOM ≌△CON ，∴BM ＝CN . 8．证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠EBC ＝∠FDA ＝90°. 又∵E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，
∴BE＝DF.
在Rt△BEC 和Rt△DFA 中，⎩
⎨⎧BC ＝DA ，
BE ＝DF ，
∴△BEC ≌△DFA .
(2)∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD . ∵点E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴AE ＝12AB ，CF ＝1
2CD ，∴AE ＝CF .
∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形． 9．解：设AD ＝x .∵△DEF 为等腰三角形， ∴DE ＝EF ，∠FEB ＋∠DEA ＝90°. 又∵∠AED ＋∠ADE ＝90°. ∴∠FEB ＝∠EDA .
又∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠A ＝90°， ∴△ADE ≌△BEF (AAS )， ∴AD ＝BE ，
∴AD ＋CD ＝AD ＋AB ＝x ＋x ＋2＝10. 解得x ＝4.即AD ＝4.
10．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，DE 平分∠ADC ， ∴∠CDE ＝∠CED ＝45°， ∴EC ＝DC .
又∵∠BDE ＝15°， ∴∠CDO ＝60°.
又∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴OD ＝OC ，
∴△OCD 是等边三角形， ∴OC ＝CD ， ∴CO ＝CE .
(2)∵△COD 是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，∠OCB＝90°－∠DCO＝30°.∵∠CDE＝∠CED＝45°，
又∵CD ＝CE ＝CO ， ∴∠COE ＝∠CEO ，
∴∠CEO ＝(180°－30°)÷2＝75°， ∴∠OED ＝∠CEO －∠CED ＝30°. 11．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，∠D ＝∠BCD ＝90°.
∴∠BCF ＝180°－∠BCD ＝180°－90°＝90°. ∴∠D ＝∠BCF .
在Rt△ADE 和Rt△BCF 中，⎩
⎨⎧AE ＝BF ，
AD ＝BC .
∴Rt△ADE ≌Rt△BCF ， ∴∠1＝∠F ， ∴AE ∥BF . ∵AE ＝BF ，
∴四边形ABFE 是平行四边形． (2)∵∠D ＝90°，∴∠DAE ＋∠1＝90°. ∵∠BEF ＝∠DAE ，∴∠BEF ＋∠1＝90°. ∵∠BEF ＋∠1＋∠AEB ＝180°， ∴∠AEB ＝90°.
在Rt△AEB 中，AE ＝3，BE ＝4， ∴AB ＝AE 2＋BE 2＝32＋42＝5. ∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴EF ＝AB ＝5.
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