数学奥林匹克冬令营测试题F

2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题F （熊斌供题）
学校
姓名 营员证号
一．设,,a b c R +∈，求证：
()1
2224
ab bc ca a b c a b c b c a c a b ++≤++++++++
二．在ABC 中，,AB AC ≠分别以,AB AC 为边，向外作两个三角形：ABD
和,ACE 使得 ,ABD ACE ∠=∠,BAD CAE ∠=∠设CD 与AB 交于点P ，BE 与
AC 交于点Q ，求证：AP AQ =的充要条件是：
2ABC ABD ACE S S S =⋅
三．对任意两个正整数x 与y ，有唯一的正整数(),f x y 与之对应，且函数
(),f x y 具有性质：
()1对任意正整数x 与y ，()(),,f x y f y x =； ()2对任意正整数x ，(),f x x x =； ()3对任意正整数x 与y ，当y x >时，
()()().,,y x f x y yf x y x -=-
求证：恰有一个函数(),f x y 满足上述三个性质，并求出这个函数.
四. 设012,,,a a a 为任意无穷正实数数列，求证：不等式
1n n a a -+> 对无穷多个正整数n 成立.
2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题F 解答（熊斌供题）
一．设,,a b c R +∈，求证：
()1
2224
ab bc ca a b c a b c b c a c a b ++≤++++++++
证：因为
()()1124ab ab ab a b c a c b c a c b c ⎛⎫
=≤+ ⎪+++++++⎝⎭
同理
1124bc bc b c a a b a c ⎛⎫
≤+ ⎪++++⎝⎭
1124ac ca c a b a b b c ⎛⎫
≤+ ⎪++++⎝⎭
所
以
()11
22244
ab bc ca bc ca ab ca ab bc a b c a b c b c a c a b a b b c c a +++⎛⎫++≤++=++ ⎪+++++++++⎝⎭
二．在ABC 中，,AB AC ≠分别以,AB AC 为边，向外作两个三角形：ABD
和,ACE 使得 ,ABD ACE ∠=∠,BAD CAE ∠=∠设CD 与AB 交于点P ，BE 与
AC 交于点Q ，求证：AP AQ =的充要条件是：2ABC
ABD ACE S S S =⋅
证：AP AQ =⇔
AP AQ AB AC AB AC =⇔ADC ABE DBC ECB
S S
AB AC S S ∆∆∆∆= ⇔
11
sin sin 22ABC ABD ABC ACE
ADAC DAC ABAE BAE AB AC S S S S ∆∆∆∆∠∠=++ ① 由题设条件知ABD ∆∽ACE ∆，故
AD AB
AE AC
=即AD ·AC AD AC AB AE ⋅=⋅ 且DAC DAB BAC CAE BAC BAE ∠=∠+∠=∠+∠=∠
从而①等价于ABC ABD ABC ACE AB AC S S S S ∆∆∆∆=++⇔
22
22
()()ABC ABD ABC ACE AB AC S S S S ∆∆∆∆=++ ②
记12,,,ABC ABD ACE S S S S S S ∆∆∆===由于ABD ∆∽ACE ∆，所以21
2
2
S AB AC S =从而②等价于
12
22
12()()S S S S S S =
++⇔
()()
22
2212221122S S S SS S S S SS ++=++⇔
22
22112212S S S S S S S S +=+
⇔()21212()0S S S S S --=
因为AB AC ≠，所以12S S ≠，从而212S S S =
即2
ABC ABD ACE AP AQ S S S ∆∆∆=⇔=
三．对任意两个正整数x 与y ，有唯一的正整数(),f x y 与之对应，且函数
(),f x y 具有性质：
()1对任意正整数x 与y ，()(),,f x y f y x =； ()2对任意正整数x ，(),f x x x =； ()3对任意正整数x 与y ，当y x >时，
()()().,,y x f x y yf x y x -=-
求证：恰有一个函数(),f x y 满足上述三个性质，并求出这个函数. 解：取(),f x y 为,x y 的最小公倍数[,]x y
显然(),f x y =[,]x y 满足性质（1），（2）。

下证它也满足（3）
若[,],.x y M y x =>设, b M M
a x y
=
=则a 与b 互质，()M M M a b y x b a ab --=-= 故()
M a b a a b x
-=-，
()M a b a b y x -=- 由
(),1
a b =知
(),1
a b b -=故
()
[,]M a b x y x a
--=
从而
()()2(),M M a b M y x f x y M b a ab -⎛⎫
-=-=
⎪⎝⎭
()2
()(),M M a b a b M yf x y x b a ab
---=⋅=
即函数(),f x y =[,]x y 也满足（3）
下证唯一性。

用反证法：若有两个函数()12(,),,f x y f x y 同时满足命题给出的三个
性质，
则存在正整数,x y ，使得()12(,),f x y f x y ≠，设其中s ,t 是使12(,)(,)f s t f s t ≠， 且st 取最小值的一对正整数， 由性质（2），s t ≠,故2st ≥。

由性质（1）不妨设s t <由性质（3）
()11(),(,)t s f s t tf s t s -=- ()22(),(,)t s f s t tf s t s -=-
故()12(,),f s t s f s t s -≠-.但()s t s st -<与,s t 之最小性选择矛盾。

四. 设012,,,a a a 为任意无穷正实数数列，求证：不等式1n n a a -+>对
无穷多个正整数n 成立.
证：用反证法.假设不等式1n n a a -+>数中最大的一个为M ，则对任意的正整数n M >，上述不等式均不成立，既有
1n n a a n M -+≤>
也既1,n n a a n M -≤> ①
由贝努利不等式，有
()1
11
111,n n n n
+=+≤+=（正整数2n ≥） ②
结合①，②可得, 11
1, n n n a a n M n
-+≤-> ③ 下面用数学归纳法证明：11
(1)()121
M M n a a M n M M m n +≤++-
--++++ 其中n 是非负整数 ④
当0n =时,④式左边为M a ，右边也为M a ,故④式成立. 设
当
,(
{n k k N +
=∈ 时，④式成立，既有
11
(1)(
)121
M M k a a M k M M m k +≤++---++++ ⑤ 在③中取1n M k =++，并利用⑤，可得
1211M k M k M k a a M k +++++≤-++211
(1)()11121
M a M k M k M k M M m k ++≤++----++++++
11
(2)()1121M a M k M M m k =++----++++
11
(2)(
)122
M a M k M M m k =++---++++ 故④式在1n k =+时也成立。

故④式得证。

由于11
lim(1)2n n
→∞+++=+∞ ，所以 1111lim[(1)(1)]221n n M →∞+++-+++
=+∞+ 即111
lim(
)23n M M n
→∞+++=+∞++ 固而存在正整数0n ，满足
0111
231
M a M M N M +++>+++ ⑥ 在④式中取01n N M =--，得0100
11
(
)12M N a a N M M N -=---++ ⑦ 结合⑥，⑦知010N a -<，这与010N a ->矛盾， 故命题得证。