高中高考数学公式大全

基础知识
一、集合
元素与集合的关系:U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.A A ∅⇔≠∅
子集：一般地，,A A A ∅⊆⊆,若,A B B C ⊆⊆则A C ⊆ 真子集：一般地，A ∅⊂,若,A B B C ⊂⊂ 则A C ⊂ 交集：一般地，A A A =,A B B A =,A A ∅=∅=∅ 并集：一般地，A A A =,A B B A =,A A A ∅=∅= 集合12{,,
,}n a a a 的子集个数共有2n 个子集（包括空集）；非空子集有21n -个；即
真子集有21n -个；非空的真子集有22n -个.
充要条件：1、p q ⇒，则p 是q 的充分条件；反之（若q p ⇒），q 是p 的必要条件； 2、p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；
3、p q ⇒，且q ≠>p ，则p 是的q 充分不必要条件；
4、p ≠>q ，且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；
5、p ≠>q ，且q ≠>p ，则是p 是q 的既不充分又不必要条件。

二、指数与对数
指数性质：(1)1、1p
p
a a
-=
； （2）、0
1a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)r
s
r s
a a a a r s Q +⋅=>∈ ；(5)
、n a =（0,,a m n N *>∈，1n >）
(6)
、m n a
=0,,a m n N *>∈，且1n >）
(7)当n
a =； 当n
,0
||,0
a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
对数性质：
若0,1,0,0,a a M N n N +>≠>>∈且2n ≥则
(1)、log ()log log a a a MN M N =+; (2)、 log log log a
a a M
M N N
=- (3)、log log ()n a a M n M n R =∈; (4) 、log log m n
a a n N N m
=
(5)、 log 10a = (6)、 log a b
a
b = (7)、 log 1a a = （8）、换底：log log log m a m N
N a
= (0,1,0,1,0)a a m m N >≠>≠>
(9)、推论：log log 1a b b a •=
; 22
log log a a N N ==
指数与对数的关系: log b a N b a N =⇔= (0,1,0)a a N >≠>
三、数列：
等差数列：
通项公式：（1）1(1)n a a n d =+-；（2）()n k a a n k d =+- （其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 末项）；（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用） 前n 项和：（1）1()
2
n n n a a S +=
；其中1a 为首项，n 为项数，n a 为末项。

（2）1(1)
2
n n n S na d -=+
（3）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）
常用性质：（1）、若m n p q +=+，则有 m n p q a a a a +=+
（2）、,,0p q p q a q a p a +===则 ；
（3）、若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列。

（4）、{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。

（5）、若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+⇔n 、m 、p 成等差。

注意：已知S n 求a 1和公差d ：S 1=a 1 求出a 1再S 2=a 1+a 2 求出a 2然后d=a 2-a 1
等比数列：
通项公式：（1） 1
*11()n n n a a a q
q n N q
-==
⋅∈ ；（2）n k
n k a a q -=⋅（其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比）； （3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用） 前n 项和：（1）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）
（2）1
1(1)(1)
(1)
1n n na q S a q q q =⎧⎪
=-⎨≠⎪-⎩
常用性质：（1）、若m n p q +=+，则有 m n p q a a a a ⋅=⋅ ；
（2）、若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n a b ⋅为等比数列。

（3）、若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2
m n p a a a =⋅⇔n 、m 、p 成等比。

四、三角公式：
诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
公式一： 公式二：
sin （π+α）=－sin α sin （－α）=－sin α cos （π+α）=－cos α cos （－α）=cos α
公式三： 公式四：
sin （π－α）=sin sin （2π－α）=－sin α cos （π－α）=－cos α cos （2π－α）=cos α 公式六： 公式七：
sin （π/2+α）=cos α sin （π/2－α）=cos α
cos （π/2+α）=—sin α cos （π/2－α）=sin α 公式七： 公式八：
sin （3π/2+α）=－cos α sin （3π/2－α）=－cos α cos （3π/2+α）=sin α cos （3π/2－α）=－sin α 上面这些诱导公式可以概括为：
对于k π/2±α(k ∈Z)的三角函数值，
①当k 是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin →cos; cos →sin; （奇变偶不变） （符号看象限）
例如：sin(2π－α)=sin(4·π/2－α)，k=4为偶数，所以取sin ；令α为锐角，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)<0，符号为“－”。

所以sin(2π－α)=－sin α 总结记忆：将α看成是锐角，奇变偶不变，符号看象限。

奇偶是针对2
k
而言的，变与不变是针对三角函数名而言。

和差公式：
22sin cos 1θθ+=； sin cos 45)45)o o a a a a +=+=-
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=
sin cos a b αα+)αϕ+； tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ±±=
(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b
a
ϕ= ).
sin sin 2sin cos 22a a a βββ+-+=sin sin 2cos sin
22a a a ββ
β+--= cos cos 2cos cos 22a a a βββ+-+= cos cos 2sin sin
22
a a a ββ
β+--= 二倍角公式：
sin 22sin cos a a a =22tan 1tan α
α
=
+
2
2
2
2
cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22
1tan 1tan α
α
-=+ 22tan tan 21tan ααα=- sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα
ααα-==+
21cos 2sin 2αα-= 2
1cos 2cos 2
αα+=
解斜三角形： 正弦定理 ：
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin a b c A B C ⇔=
余弦定理：
2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-
面积定理：
（1）111
222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高） （2）111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B ===
内角和定理 ：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+
222
C A B
π+⇔=-
222()C A B π⇔=-+ sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；sin()cos 22A B C +=；cos()sin 22
A B C
+=
五、向量：
实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：
(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;
(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ;
(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .
（4）a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ 平面向量的坐标运算：
(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y , 则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.
(4)设a =(,),x y R λ∈， 则λa =(,)x y λλ.
(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212()x x y y +是一个数值 两向量的夹角：
121
cos ||||
a b
a b x θ⋅=
=
⋅+a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).
平面两点间的距离：
,A B d =||AB AB AB =
⋅=1(x (A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).
向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则：
a ||
b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=.（交叉相乘差为零）
a ⊥
b (a ≠0)⇔ a ·b =012120x x y y ⇔+=.（对应相乘和为零）
线段定比分点：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,12PP PP λ= 则121x x x λλ+=+12
1y y y λλ
+=+
六、不等式：
（1）,a b R ∈⇒2
2
2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（2）,a b R +
∈
⇒
2
a b
+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）333
3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>
（4）b a b a b a +≤+≤-
（5
）22ab a b a b +≤≤≤
+当且仅当a ＝b 时取“=”号) （6）a =(0)0(0)(0)a a a a a a a a =>⎧⎪
==⎨⎪=-<⎩
不等式解法：
一元二次不等式2
ax bx c ++的解
○
1当2
(0,40)a b ac >∆=->时 20ax bx c ++<的解12x x x << 12()x x <
20ax bx c ++>的解12,x x x x <>或 12()x x <
○
2当2
(0,40)a b ac >∆=->时 20ax bx c ++<的解∅（无解）
20ax bx c ++>的解2b
x a
≠-
○
3当2
(0,40)a b ac >∆=->时 20ax bx c ++<的解∅（无解） 20ax bx c ++>的解全体实数
注：当0a <时，两边乘以-1即可。

解一元二次不等式的时候画出函数图像以免解错。

含有绝对值的不等式 ：当0a >时，有 22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.
22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.
七、排列组合以及概率：
分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++.
分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =⨯⨯
⨯.
排列数公式 ：m
n A =)1()1(+--m n n n =！
！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=.
组合数公式：m
n
C =m n m m
A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *
，m N ∈，
且m n ≤). 组合数的两个性质:(1)m n C =m
n n
C - ;(2) m n C +1
-m n
C =m n C 1+.规定10
=n C .
互斥事件：不可能同时发生的事件。

,A B 分别发生的概率的和：()()()P A B P A P B +=+
n 个互斥事件分别发生的概率的：1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A ++=++
独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响。

,A B 同时发生的概率：()()()P A B P A P B =
n 个独立事件同时发生的概率：1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =
独立重复试验：一系列的重复实验
n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k k n k
n n P k C P P -=-
八、统计：
平均数：1
(...)x x x x n =++ 方差：2222
121[()()...()]n S x x x x x x n
=-+-+-
函数与几何
一、函数基本知识
函数单调性:
增函数：设()f x 在x D ∈上，若对任意的1212,x x D x x ∈<且，都有12()()f x f x <成立，则()f x 在x D ∈上是增函数。

D 则是()f x 的递增区间。

减函数：设()f x 在x D ∈上，若对任意的1212,x x D x x ∈<且，都有12()()f x f x >成立，则()f x 在x D ∈上是减函数。

D 则是()f x 的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；
(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；
单调性解法：
（1）根据定义求解
（2）设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么
[]1212()()()0x x f x f x -->⇔
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔>--上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --<⇔
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔<--上是减函数. (3)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.（常用）
函数奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：定义：在前提条件下，若有()()f x f x -=-，则()f x 就是奇函数。

性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x >0和x <0上具有相同的单调区间； （3）、定义在R 上的奇函数，有(0)0f = .
偶函数：定义：在前提条件下，若有()()f x f x -=，则()f x 就是偶函数。

性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称；
（2）、偶函数在x >0和x <0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系：
(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；
(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也可能偶函数） (5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数 奇偶性解法：
（1）前提条件下（定义域必须关于原点对称）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． （2）定义法：()()f x f x -=-，则()f x 就是奇函数；()()f x f x -=，则()f x 就是偶函数。

函数的周期性：
定义：对函数()f x ，若存在T ≠0，使得()()f x T f x +=，则就叫()f x 是周期函数。

周期函数几种常见的表述形式：
(1)、()()f x T f x +=-，此时周期为2T ； （2）、 ()()f x m f x n +=+，此时周期为2m n - ； (3)、1
()()
f x m f x +=-
，此时周期为2m （4）、函数sin()y x ωϕ=+，或者cos()y x ωϕ=+，此时周期为2||
T πω=
函数tan()y x ωϕ=+，,2
x k k Z π
π≠+
∈，此时周期||
T π
ω=
二、直线（一次函数）
直线的方程：（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．
（2）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
斜率公式 ：tan α=21
21
y y k x x -=
-（111(,)P x y 、222(,)P x y 、α为倾斜角）.
两直线夹角：21
21
tan |
|1k k k k α-=+.
两直线平行：1k =2k 两直线垂直：1k 2*k =-1
点线距离：d =
线段A 11(,)x y ,B 22(,)x y 的中点坐标（
122x x +，12
2
y y +） 三、二次函数(特殊抛物线
2()(0)f x ax bx c a =++≠
①若2
40b ac ∆=->,则1,2x =
②若2
40b ac ∆=-=,则122b x x a
==-
③若2
40b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根
22
24()24b ac b y ax bx c a x a a
-=++=++(0)a ≠也可看成抛物线
顶点24(,)24b ac b a a -- 焦点241(,)24b ac b a a -+- 准线：2414ac b y a
--=.
(1)、 (1)x
y a a =>在定义域内是单调递增函数； （2）、 (01)x
y a a =<<在定义域内是单调递减函数。

注：指数函数图象都恒过点（0，1）
(1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数； （2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数 (3)、 log 0,(0,1),(1,)a x a x a x >⇔∈∈+∞或
(4)、log 0(0,1)(1,)a x a x <⇔∈∈+∞则 或 (1,)(0,1)a x ∈+∞∈则 注： 对数函数图象都恒过点（1，0）
()sin f x x = 定义域R ，值域[1,1]-，
单调性：[2,2]22x k k ππ
ππ∈-
+()k z ∈单增 3[2,2]22
x k k ππ
ππ∈++()k z ∈单减
奇偶性：奇函数 周期：2||
T π
ω=
最小正周期为2π
()cos f x x = 定义域R ，值域[1,1]-，
单调性：[(21),2]x k k ππ∈-()k z ∈单增 [2,(21)]x k k ππ∈+()k z ∈单减 奇偶性：偶函数 周期：2||
T π
ω=
最小正周期为2π 最值（值域）问题：1、当()sin cos f x a x b x =+类型要化为()sin()f x A x θ=+或者
()cos()f x A x θ=+的形式，sin cos 和的值域是[1,1]-即可求的最值（以及周期）。

2、当2
()sin sin f x a x b x =+或者2
()sin cos f x a x b x =+时，化
为顶点式的二次函数即可求得最值（若出现的是()sin cos 2f x a x b x =+，把cos2x 升幂为2
2cos 1x -即可）
总之，不管一个三角函数式子有多复杂，借助公式化为单个同名三角函数即可求得最值（值域）、周期、奇偶性。

奇偶性一般直接用()()f x f x -=-和()()f x f x -=求解。

七、圆：
圆的方程：
1、圆的标准方程 2
2
2
()()x a y b r -+-=.（圆心（a ，b ）半径r ） 2、圆的一般方程 2
2
0x y Dx Ey F ++++=(圆心为（
2D -,2
E
-），半径2242
D E F
r +-=
)
3、两点式：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(已知圆上两点求圆的方程) 圆与点：点00(,)P x y 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种： 若2
2
00()()d a x b y =-+-d r >⇔点P 在圆外;
d r =⇔点P 在圆上; d r <⇔点P 在圆内.
圆与直线：1、在222
x y r +=（圆心在原点）的圆上一点11(,)P x y 引一条直线的方程
是2
11xx yy r +=
2、在222
()()x a y b r -+-=（圆心不在原点）外面的一点11(,)P x y 引出的切线有2条，解法：令直线方程为：11()y y k x x -=-化为一般式后为110kx y y kx -+-=， 圆心（a ，b ）到该直线的距离等于半径：11
2
2
1
ka b y kx d r k -+-=
=+即
22111d ka b y kx k =-+-=+两边平方解得2个解即为此2切线。

d
d
d
相离外切相交
内切内含r 1+r 2
r 2-r 1
o
d
直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(2
2
B
A C
Bb Aa d +++=
):
0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .
两圆位置关系:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，则：
条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;
条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;
八、椭圆：
定义一：12122||2MF MF a F F c +=>=
标准方程：22
221(0)x y a b a b
+=>> 长轴长2a 短轴长2b
定义二：M 到同边焦点的距离与M 到准线距离的比等于c
e a
= (01)e <<
离心率：c e a
= 关系：222
a b c =+ 准线：2()a x y c =±
九、双曲线：
定义一：1212||2||2MF MF a F F c -=<=
标准方程：22
221(0)x y a b a b
-=>> 长轴长2a 短轴长2b
定义二：M 到同边焦点的距离与M 到准线距离的比等于c
e a = (1)e >
离心率：c e a = 关系：222
c a b =+ 准线：2()a x y c =± 渐近线：x a
b y ±=
若渐近线方程为x a b
y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-22
22b y a x
若双曲线与122
22=-b
y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x
任何情况下，焦点到渐近线的距离等于b
十、抛物线：
定义：M 到焦点的距离与M 到准线距离相等
方程：右开口：px y 22
= 左开口：2
2y px =- 上开口：2
2x py =下开口：2
2x py =- 离心率：1e = (右开口)焦点：(
,0)2p 准线：()2
p
x y =± 注：直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221212()()AB x x y y =
-+-（弦端点
1122(,),(,)A x y B x y ，由方程(,)0
y kx b F x y =+⎧⎨=⎩圆锥 消去y 得到02
=++c bx ax 方程的解
是的,A B 横坐标.再带入直线方程解得,A B 纵坐标即可解得弦长。