北京高三模拟考试圆锥曲线解析(选修2-1)

十二、圆锥曲线
10（2012年海淀一模理10）过双曲线
22
1916
x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . 答案：43200x y --=。

7．（2012年门头沟一模理7）已知点P 在抛物线2
4y x =上，则点P 到直线
1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =- 的距离之和的最小值为（ C ）
A.
37
16
B.
115
C.2
D.3
13．（2012年东城一模理13）抛物线2
y x =的准线方程为 ；此抛物线的焦点是F ，则经
过F 和点(1,1)M ，且与准线相切的圆共有 个． 答案：1
4
x =-
；2。

9．（2012年丰台一模理9）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为
3
4y x =
，则该双曲线的离心率是______． 答案：5
4.
13．（2012年密云一模理13）若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两个焦点为12,F F ，P
为
双曲线上一点，且213PF PF =，则该双曲线离心率的取值范围是________． 答案：1<e ≤2.
9.（2012年朝阳一模理9）已知双曲线的方程为2
213
x y -=，则此双曲线的离心率
为 ，其焦点到渐近线的距离为 .
；
1
13.（2012年东城11校联考理13）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且
3
4
π
απ
<
<，则双曲线的离心率的取值范围是_______.
答案：），（22。

19.（2012年海淀一模理19）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P 为椭圆G 的上顶点，且145PF O ∠=︒.（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程； （Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示.（ⅰ）证明：120m m +=;（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆G 的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>.
因为1(1,0)F -，145PF O ∠=︒，
所以1b c ==.
所以 2222a b c =+=.
所以 椭圆G 的标准方程为2
212
x y +=. （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .
（ⅰ）证明：由122
,1.2
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：222
11(12)4220k x km x m +++-=.
则22
18(21)0k m ∆=-+>，
1122
2
11224,1222.12km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
所以
||AB =
=
=
=同理
||CD =. 因为 ||||AB CD =,
所以
=.
因为 12m m ≠，
所以 120m m +=.
（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d ,则
d =
.
因为 120m m +=， 所以
d =
所以
||S AB d =⋅=
222
1121k m m -++=≤=
（或S == 所以 当2
2
1212k m +=时， 四边形ABCD 的面积S
取得最大值为.
19.（2012年西城一模理19）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b
+=>>
(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点
P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）由 2222
22
519a b b e a a -===-， 得 23
b a =. 依题意△12MB B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =.
所以椭圆C 的方程是22
194
x y +=. （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+.
将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，
消去x 得 2
2
(49)16200m y my ++-=. 所以 1221649m y y m -+=
+，12
22049
y y m -=+. 若PF 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，
所以0=+PB PA k k . 设(,0)P a ，则有
12
120y y x a x a
+=--. 将 112x my =+，222x my =+代入上式， 整理得
1212122(2)()
0(2)(2)
my y a y y my a my a +-+=+-+-，
所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. 将 1221649m y y m -+=
+，12
220
49
y y m -=+代入上式， 整理得 (29)0a m -+⋅=.
由于上式对任意实数m 都成立，所以 92
a =
. 综上，存在定点9(,0)2
P ，使PM 平分APB ∠.
19．（2012年东城一模理19）已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A ，
2A ，B 为短轴的端点，△12A BA
的面积为1
2
．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 是椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1A P ，2A P 与直线4x =分别交于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于点2F (2F 为椭圆C 的右焦点)．
解：
（Ⅰ）由已知1.2
ab c a ⎧=⎪
⎨=⎪
⎩
解得2a =
，b =
故所求椭圆方程为22
143
x y +=． 证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知()12,0A -，()22,0A ，设椭圆右焦点()21,0F ． 设()()00
,2P x y x
≠±，则220
03412x y +=． 于是直线1A P 方程为 ()0022y y x x =
++，令4x =，得0062
M y
y x =+； 所以(M 4,
0062y x +)，同理(N 4,0
022
y x -)． 所以2F M =(3,
0062y x +)，2F N =(3,0
022
y x -). 所以 22F M F N ⋅=(3,
0062y x +)⋅(3,0022y x -)00
0062922
y y x x =+⨯+-
()2200
22003123129944x y x x -=+=+-- ()202
09499904
x x -=-=-=-． 所以 22F M F N ⊥，点2F 在以MN 为直径的圆上．
设MN 的中点为E ，则(4,
E 00204(1)
4
y x x --)．
又2F E =(3,
00204(1)
4
y x x --)，()2001,,F P x y =-
所以22F E F P ⋅=(3,00204(1)4y x x --)()()()2000002
0411,314
y x x y x x -⋅-=-+-
()
()()
()()2
0020123131313104
x x x x x x --=-+
=---=-．
所以 22F E F P ⊥．
因为2F E 是以MN 为直径的圆的半径，E 为圆心，22F E F P ⊥， 故以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于右焦点．
19. （2012年丰台一模理19）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>
的离心率为2，且经
过点(2,0)M -．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，连接MA ，MB 并延长交直线x=4于P ，Q 两点，设y P ，y Q 分别为点P ，Q 的纵坐标，且
121111
P Q
y y y y +=+．求证：直线l 过定点． 解：（Ⅰ）依题意2a =
，
2
c a =
，所以c = …2分 因为2
2
2
a b c =+，
所以b =3分
椭圆方程为22
142
x y +=． …5分
（Ⅱ）
22
24
x y
y kx m
⎧+=
⎨
=+
⎩
消y得222
(21)4240
k x k m x m
+++-=，0
∆>．…6分
因为
11
(,)
A x y，
22
(,)
B x y，
所以
122
4
21
km
x x
k
+=-
+
，
2
122
24
21
m
x x
k
-
=
+
．…7分
设直线MA：1
1
(2)
2
y
y x
x
=+
+
，则1
1
6
2
P
y
y
x
=
+
；同理2
2
6
2
Q
y
y
x
=
+
…9分
因为
12
1111
P Q
y y y y
+=+，
所以12
1212
22
66
6666
x x
y y y y
++
+=+，即12
12
44
66
x x
y y
--
+=．…10分
所以
1221
(4)(4)0
x y x y
-+-=，
所以
1221
(4)()(4)()0
x kx m x kx m
-++-+=，
121212
2()4()80
kx x m x x k x x m
++-+-=，
2
222
2444
2()4()80
212121
m km km
k m k m
k k k
-
+----=
+++
，
所以
2
88
21
k m
k
--
=
+
，得m k
=-．……13分
则y kx k
=-，故l过定点(1,0)．…14分
19.（2012年朝阳一模理19）已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>
的两个焦点分别为1
(
F
，
2
F.点(1,0)
M与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点N的坐标为(3,2)，点P的坐标为(,)(3)
m n m≠.过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为1k，2k，3k，若1322
k k k
+=，试求,m n满足的关系式.
解:
（Ⅰ）依题意，c =
1b =，
所以a == 故椭圆C 的方程为2
213
x y +=. ……4分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由22
1,
1
3
x x y =⎧⎪
⎨+=⎪⎩
解得1,x y ==.
不妨设(1,
3A ，(1,)3
B -，
因为132233222
k k -
++=
+=，又132
2k k k +=，所以21k =，
所以,m n 的关系式为
2
13
n m -=-，即10m n --=. …7分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.
将(1)y k x =-代入2
213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,2122
33
31
k x x k -=+. …9分 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-. 所以12122113121222(2)(3)(2)(3)
33(3)(3)
y y y x y x k k x x x x ----+--+=
+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)
3()9k x x k x x x x x x ---+---=
-++
121212122(42)()612
3()9
kx x k x x k x x x x -++++=
-++
22
222
2
223362(42)612
3131336393131
k k k k k k k k k k k -⨯-+⨯++++=--⨯+++
222(126) 2.126k k +==+
12分
所以222k =，所以22
13
n k m -=
=-，所以,m n 的关系式为10m n --=.……13分 综上所述，,m n 的关系式为10m n --=. …14分
19.（2012年东城11校联考理19）已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴的抛物线上有
一点1
()2
A m ，，A 点到抛物线焦点的距离为1.（1）求该抛物线的方程；（2）设00(,)
M x y 为抛物线上的一个定点，过M 作抛物线的两条互相垂直的弦MP ,MQ ,求证：PQ 恒过定点00(2,)x y +-.（3）直线01=++my x 与抛物线交于E ,F 两点，在抛物线上是否存在点N ，使得△NEF 为以EF 为斜边的直角三角形.
解：（1）由题意可设抛物线的方程为2
2y px =，则由抛物线的定义可得
12
1
2=+p ，
即1=p ， 所以抛物线的方程为 x y 22
=.
……4分
（2）由题意知直线PQ 与x 轴不平行，设PQ 所在直线方程为
中代入x y n my x 2,2=+=得 2220.y my n --=
1212,2,y y m y y n +==-所以其中12,,y y P Q 分别是的纵坐标,
1.MP MQ MP MQ k k ⊥⋅=-因为，所以
即
1020
1020
1,y y y y x x x x --⋅=--- 所以1020()() 4.y y y y ++=-
,04)(2
00212
1=++++⋅y y y y y y
0000(2)2240, 2.n my x n my x -+++==++即
所以直线PQ 的方程为,200+++=x my my x
即0000()2,(2,x m y y x x y =++++-它一定过定点）.
…9分
（3）假设N （01),2(,)2(,),0000=++-+my x y x y x 在直线点知则由为满足条件的点
上，
的解，消去x 得
0244,06222≥-=∆=+-m my y N 所以存在点满足条件.……14分
19.（2012年石景山一模理19）已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）右顶点与右焦点的距
1，
短轴长为.Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB
AB 的方程． 解：
（Ⅰ）由题意，222
1a c b a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩
--1分
解得1a c ==. ---2分
即：椭圆方程为.12
32
2=+y x --3分 （Ⅱ）当直线AB 与x
轴垂直时，AB =，
此时AOB S ∆= ----4分
当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为：)1(+=x k y ，
代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=. ----6分
设1122(,),(,)A x y B x y ，则2
122
212262336
23k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ---7分
所以
AB = -----9分 200002,210,(,)30
y x x my x y x my ⎧=+-+=⎨-+=⎩所以是方程组
原点到直线的AB
距离d =
所以三角形的面积12S AB d ==
由224
S k k =⇒=⇒= ---12分
所以直线0AB l y -=
或0AB l y +=. ---13分
19.（2012年房山一模19）已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1A -，离心率为3
6． （I ）求椭圆G 的方程；（II ）设直线m kx y +=与椭圆相交于不同的两点,M N ．当AN AM =时，求m 的取值范围．
解：（I ）依题意可设椭圆方程为 1222=+y a x ，则离心率为==a
c e 36 故3222=a
c ，而12=b ，解得32=a ， ………4分 故所求椭圆的方程为13
22
=+y x . ………5分 （II ）设()()()P P M M N N P x y M x y N x y ，、，、，，P 为弦MN 的中点， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13
22y x m kx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k ， 直线与椭圆相交，
()()()2
226431310mk k m ∴∆=-+⨯->⇒1322+<k m ，① …7分 23231M N P x x mk x k +∴==-+，从而231P P m y kx m k =+=+，
（1）当0≠k 时
21313P AP P y m k k x mk
+++∴==- (0=m 不满足题目条件)
∵,AM AN AP MN =∴⊥，则
k
mk k m 13132-=++- ，即 1322+=k m ， ② …………9分 把②代入①得 22m m < ，解得 20<<m ， ……10分
由②得03122>-=m k ，解得21>m ．故22
1<<m ………11分 （2）当0=k 时
∵直线m y =是平行于x 轴的一条直线，
∴11<<-m ……13分
综上，求得m 的取值范围是21<<-m ． …14分
19．（2012年密云一模理19） 如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M （3，1）.平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m(m ≠0)，且交椭圆于A ，B 两不同点.（I ） 求椭圆的方程；（II ） 求m 的取值范围；（III ） 求证：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.
解：（I ） 设椭圆的方程为122
22=+b
y a x (a>b>0) 由题可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=11932
2b a b a 2,1822==∴b
a 所求椭圆的方程为12
182
2=+y x . …4分
（II ）∴直线l ∥OM 且在y 轴上的截距为m,∴直线l 方程为：y=3
1x+m. 联立⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==+m x y y x 311
2182
2 消y 化简得0189622
2=-++m mx x
∵直线l 交椭圆于A ，B 两点，
∴0)189(24)6(22>-⨯⨯-=∆m m
解得22<<-m 又因为m ≠0.
m 的取值范围为-2<m<2且m ≠0. …8分
（III ）设直线MA 、MB 的斜率分别为21,k k ，则问题只需证明021=+k k .
设A ),(11y x ,B ),(22y x
则3
1,31222111--=--=x y k x y k . 由（2）2
189,322121-=⋅-=+m x x m x x 又m x y m x y +=+=22113
1,31代入 )
3)(3()3)(1()3)(1(21122121----+--=+x x x y x y k k 整理得 0336333633363312189323363132336
32122212212121212121212121=--+-+--=--+---+-⨯=--+-+-+=--++-+-+=
+)
)(()
)(())(()
)(())(())(()()(x x m m m m x x m m m m x x m x x m x x x x y y x x y x x y k k
∴021=+k k .从而直线MA 、MB 与x 轴围成一个等腰三角形. …13分
19．（2012年门头沟一模理19）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>经过点(2,1)A ，
离心率为2
，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,M N ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求→→∙BN BM 的取值范围．
解:
（Ⅰ）由离心率为2
，可设,2c a t ==
，则b = 因为22
221(0)x y a b a b
+=>>经过点(2,1)A 所以2241142t t +=，解得232
t =，所以226,3a b == 椭圆方程为22
163
x y += ……4分
（Ⅱ）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-，
直线l 与椭圆的交点坐标为1122(,),(,)M x y N x y ……5分 由22(3)163
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消元整理得：2222
(12)121860k x k x k +-+-= ………7分 2222(12)4(12)(186)0k k k ∆=-+-> 得 201k ≤< …8分
21221212k x x k +=+，212218612k x x k
-=+…………9分 →→∙BN BM 11221212(3,)(3,)(3)(3)x y x y x x y y =--=--+ …10分
21212(1)[3()9]k x x x x =+-++223(1)12k k =+⨯+231(1)212k =++ 因为201k ≤<，所以2
312(1)3212k <
+≤+ 所以→→∙BN BM 的取值范围是(2,3]．………14分。