第七章 鞅和鞅表示

则 ( A) 是停时。
证
从 ( A) 的定义直接得到
{ ( A)n} (Y0 ,, Yn )
1 若Y j A, j 0,, n 1, Yn A 0 其他 即 ( A) 是停时。
注 若令 ( A) 为最后进入A的时刻，则 ( A) 不是停时。 原因是要确定 ( A) n ，不仅要看 Y0 ,, Yn 是否 取值在A中，还需知道全i 1 j i 1 | j i | 1
pi p ， qi q ，0 p 1 ，p q 1
{ X n ， n 0,1,2, }是下鞅的充要条件是p q { X n ， n 0,1,2, }是上鞅的充要条件是p q
则
（1）
（2）
（3） { X n ， n 0,1,2, }是鞅的充要条件是p
{ X n } 下鞅
证明
E( X m | Y0 ,, Yn ) X n
同定理1类似。用数学归纳法
性质6
{ X n } 上鞅
EX0 EXk EXn
0k n
EX0 EXk EXn 0k n
{ X n } 下鞅
证 由性质5得
{ X n } 上鞅
E( X n | Y0 ,, Yk ) X k
>0 <0 =0
下鞅 上鞅
鞅
三、停时 定义5
设{Yn } （ n 0,1,2, ）是一随机序列，
的一个随机变量， 是取值 0，1，„，
若对任意n 0 ， 事件{ n} 由Y ,, Y 决定， 0 n
n 与否， 意即只从Y0 ,, Yn 的知识判别
也即
{ n} { n} (Y0 ,, Yn )
第二节 连续时间鞅
一、定义 设 St , t [0, ]表示观测由时间t为连续时间随机过程，
It , t [0, ]表示随时间流逝可得到的一系列信息集，
若s t T
信息集满足
I s I t IT
则称集合I t , t [0, T ] 为 过滤。
如果St 的值在每一 t 0 时包含于信息集 I t 中， 则称St , t [0, ] 适应于
E( X nk | Y0 ,, Yn ) X n 即当 m n k 1 时（1）成立。
性质1 证 性质2
常数序列 {cn } 为鞅。 其中 cn c
E(cn1 | Y0 ,, Yn ) E(c | Y0 ,, Yn ) c cn
n 0 ，有 若{X n } 为鞅，则对任意
It , t [0, ]
即表示
给出信息集 I t ，就会知道价值 St 。
从而 使用不同的信息集I t 就会产生顺序 St 的不同 的预期。可用条件期望表示成：
Et [ST ] E[ST I t ],t T
鞅 设 St , t [0, ] 是一个随机过程， 信息集为 I t 和概率为P， 如果对所有t
定义2
设{X n } 及{Yn } ， n 0,1,2, ，为两个随机序列，
对任意n 0 ，有
（1） （2） （3）
E | X n |
X n 是Y0， ，Yn 的函数；
E( X n1 | Y0 ,, Yn ) X n
则称{X n } 关于{Yn } 为鞅， 简称 { X n }为鞅
关于{Yn } 为停时， 则称
简称
为停时
停时的直观背景解释： 设想赌徒在前n+1次赌博的赌本为 Y0 ,, Yn ， 那么停时就是这个赌徒决定何时停止赌博的策略。 停时的性质表示 { n} 这一事件只依赖于n时刻以 前（包括n时刻）的赌本，而与将来的赌本 Yn 1 , 无关，即赌徒在时刻n是否停止赌博，只依赖于他过 去的经历，而与尚未见到的将来情况无关。 定理2
n
n 0 有 EYn 0
则{X n } 关于{Yn } 是鞅
令 X n Yk
k 0
证
由条件期望的性质可得
E | X n | E | Yk |
且
n
E( X n1 | Y0 ,, Yn ) E[( X n Yn1 ) | Y0 ,, Yn ]
E( X n | Y0 ,, Yn ) E(Yn1 | Y0 ,, Yn )
（1）与（2）的等价性
{ n} { m} { m} (Y0 ,, Ym )
m 0 m 0
n
n
{ n} { n} { n1}
（2）与（3）的等价性由如下两个等式关系即得
{ n} 1 { n}
{ n} 1 { n}
简称为鞅(martingale)。
则称{X n } 为 离散鞅序列，
注
如果{X n } 为鞅，则它有某种 无后效性 即当已知时刻 n 以及它以前的值X 0 ,, X n ， 那么 n+1 时刻的值 X n1 对X 0 ,, X n 的条件期望 与时刻 n 以前的值X 0 ,, X n1 无关，并且等于 Xn
| E( X m | Y0 ,, Yn ) | | X n |
例3
n 0,1,2, }是在直线上整数点上的贝 设{X n ， } 努利随机游动，即它是一个以 I {0,1,2, 为状态空间的时齐的马尔可夫链，它的转移矩阵
P ( pij ) 满足
pi , pij qi , 0,
所以
P( n 1) p
n 1
E( X n1 | X n , X n1,, X 0 )
E( n1 | X n , X n1,, X 0 ) E( X n | X n , X n1,, X 0 ) E( n1 ) X n p q X n
故
E( X n1 | X n , X n1 ,, X 0 ) X n p q
q
证
设
其中
X n X 0 1 2 n
X 0 表示初始位置 { n }与 X 0 独立
{ n ， n 0,1,2, }相互独立，且具有同分布：
P( n 1) q n1 与{ X 0 ， X 1 ，„， X n }独立 由 X n 的定义知，
鞅的直观背景解释 设想赌徒在从事赌博过程中，他在第n年的赌本为 X n
E( X n1 | X 0 ,, X n ) 表示在已知前n年的赌本 X 0 ,, X n
的条件下，第n+1年的平均赌本。
而鞅 E( X n1 | X 0 ,, X n ) X n 则表示这种赌博使第n+1年的 平均赌本仍为第n年的赌本， 这种赌博称为公平赌博。
{ X n } {Yn } 上鞅
X n Yn
性质8
{ X n } 上鞅 { X n } 下鞅
{Yn } 下鞅 {Yn } 上鞅
{X n Yn } {X n Yn }
上鞅
下鞅
证
由性质4及性质7立即可得结果
性质9
{X n } 鞅
证明
{| X n |} 下鞅
对m n 有
E(| X m || Y0 ,, Yn )
例4 设 k （k 为一常数） ，则 为停时。
证
对任意随机序列{Yn } ，有
1 { n} (Y0 ,, Yn ) 0
所以
nk nk

为停时。
例5
设 A 为{Yn } 的状态空间 T 的一个子集，
令 即 ( A)为首次进入A的时刻，
( A) min{ n：Yn A}
EX n E[ E( X n | Y0 ,, Yk )] EX k
性质7
{ X n }、{Yn } 上鞅 { X n }、{Yn } 下鞅
证
{X n Yn } 上鞅 {X n Yn } 下鞅
对m n 有
E[( X m Ym ) | Y0 ,, Yn )]
E( X m | Y0 ,, Yn ) E(Ym | Y0 ,, Yn )
第六章 鞅和鞅表示
第一节 离散鞅
第二节
第三节 第四节 第五节
连续时间鞅
鞅轨迹的特征 鞅举例 鞅表示
第一节 离散鞅
一、离散鞅的定义及性质
定义1 设若随机序列 {X n }, n 0,1,2, 对任意n 0 ，有 （1）
E | X n |
（2）
E( X n1 | X 0 ,, X n ) X n
{ X n }为鞅的充分必要条件是， { X n }既为上鞅
也为下鞅。
性质4
{ X n } 上鞅 { X n } 下鞅
{ X n } 下鞅 { X n } 上鞅
性质5
{ X n } 上鞅
E( X m | Y0 ,, Yn ) X n
m 0, n 0 m n m 0, n 0 m n
的一个随机变量， 设 是取值 0，1，„，
{Yn } 是随机序列
下列命题等价：
n0
（1） （2）
关于{Yn } 为停时
1 n { n} { n} (Y0 ,, Yn ) 0 其它
（3） 证明 一方面 另一方面
1 n { n} { n} (Y0 ,, Yn ) 0 其它
定理1
{X n } 关于{Yn } 是鞅的充要条件为，
对任意非负整数 m，n（m n ）有
E( X m | Y0 ,, Yn ) X n
证 充分性显然 由假设知
（1）
必要性用归纳法来证
当 m n 1 时（1）成立。
设当 m n k （k 1 ）时（1）成立， 则有
E( X nk 1 | Y0 ,, Yn ) E[ E( X nk 1 | Y0 ,, Ynk ) | Y0 ,, Yn ]
E( X n1 | Y0 ,, Yn ) E[ E( X | Y0 ,, Yn1 ) | Y0 ,, Yn ] E[ E( X | Y0 ,, Yn ) | Y0 ,, Yn1 ] E( X | Y0 ,, Yn ) X n
所以
{X n } 关于{Yn } 是鞅。
二、上、下鞅的定义及性质 定义3 设{X n } 及{Yn } ， n 0,1,2, ，为两个随机序列，
（1）给出I t ，St 就可知
0 ，有
（2）非条件期望是有限的，即E[St ]
（3）并且如果 Et [ST ] St ，对于所有 t T 有概率 1 即未被观测的未来价值的最好预测是 St 的最近观测，
称过程 St , t [0, ] 是鞅。
鞅过程的 基本特征 例如
鞅是在给定当前信息集时，未来变化完全 不可测的随机变量。 设 St 是一个鞅
EXn EX0
即 X n 的数学期望 EX n 是一常数EX 0 证
EXn1 E[ E( X n1 | Y0 ,, Yn )] EX n
依次递推，可得
EX n EX n1 EX0
例1
设{Yn } （ n 0,1,2, ）为独立随机序列，
Y0 0
且对任意
对任意n 0 ，有
（1） （2）
E | X n |
X n 是Y0， ，Yn 的函数；
E( X n1 | Y0 ,, Yn ) X n
简称 { X n }为上鞅
（3）
则称{X n } 关于{Yn } 为上鞅
类似
下鞅
E( X n1 | Y0 ,, Yn ) X n
关于上、下鞅的的直观解释： 上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第n年的赌本， 即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博； 下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n年的赌本， 即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。 性质3
k 0
X n EYn1 X n
所以
{X n } 关于{Yn } 是鞅
例2 设{Yn } 是任一随机序列，X 为满足 E | X | 的任一随机变量 令
X n E( X | Y0 ,, Yn )
n0
则{X n } 关于{Yn } 是鞅
证
（1） （2）
E | X n | E | E( X | Y0 ,, Yn ) | E[ E(| X || Y0 ,, Yn )] E | X |