2018届高考物理二轮复习 第九章 磁场 提能增分练(四)带电粒子在三类典型场中的运动

提能增分练(四) 带电粒子在三类典型场中的运动
[A 级——夺高分]
1.(多选)(2017·浙江嘉兴联考)如图所示，有一混合正离子束先后通过正交的电场、磁场区域Ⅰ和匀强磁场区域Ⅱ，如果正离子束在区域Ⅰ中不偏转，进入区域Ⅱ后偏转半径r 相同，则它们一定具有相同的( )
A ．速度
B ．质量
C ．电荷量
D ．电荷量与质量之比
解析：选AD 因为正离子束通过区域Ⅰ时不偏转，说明它们受到的电场力与洛伦兹力相等，即Eq ＝B 1qv ，故它们的速度相等，选项A 正确；又因为进入磁场Ⅱ后，其偏转半径相同，由公式R ＝mv Bq
可知，它们的荷质比相同，选项D 正确。

2.(多选)(2017·长春外国语学校质检)如图在x 轴上方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场，x 轴下方存在垂直纸面向外的磁感应强度为12B 的匀强磁场。

一带负电的
粒子质量为m 、电量为q ，从原点O 以与x 轴成θ＝30°角斜向上射入磁场，且在x 轴上方运动半径为R (不计重力)，则( )
A ．粒子经偏转一定能回到原点O
B ．粒子在x 轴上面的轨迹为劣弧，在x 轴下面的轨迹为优弧
C ．粒子在x 轴上方和下方两磁场中运动的半径之比为1∶2
D ．粒子第二次射入x 轴上方磁场时，沿x 轴方向前进了3R
解析：选CD 根据左手定则判断可知，粒子在第一象限沿顺时针方向旋转，而在第四象限沿逆时针方向旋转，故不可能回到原点O ，故A 错误；因第四象限中磁感应强度为第一象限中的一半，根据R ＝mv
qB
可知，第四象限中的半径为第一象限中半径的2倍；根据粒子射入磁场时与x 轴的夹角θ＝30°，由几何关系可知，负电荷在第一象限轨迹所对应的圆心角为60°，在第四象限轨迹所对应的圆心角也为60°，即粒子在x 轴上面和下面的轨迹均为劣弧，选项B 错误，C 正确；根据几何知识得：粒子第二次射入x 轴上方磁场时，沿x 轴前进距离为x ＝R ＋2R ＝3R 。

故D 正确。

3.(多选)(2017·牡丹江一中检测)如图所示，空间中存在一水平方向匀强电场和一水平方向匀强磁场，且电场方向和磁场方向相互垂直。

在电磁场正交的空间中有一足够长的固定
粗糙绝缘杆，与电场正方向成60°夹角且处于竖直平面内。

一质量为m ，带电量为＋q 的小球套在绝缘杆上。

初始，给小球一沿杆向下的初速度v 0，小球恰好做匀速运动，电量保持不变。

已知，磁感应强度大小为B ，电场强度大小为E ＝
3mg
q
，则以下说法正确的是( )
A ．小球的初速度为v 0＝2mg
qB
B ．若小球的初速度为3mg
qB
，小球将做加速度不断增大的减速运动，最后停止
C ．若小球的初速度为mg qB
，小球将做加速度不断增大的减速运动，最后停止
D ．若小球的初速度为mg qB ，则运动中克服摩擦力做功为3m 3g
2
2q 2B
2
解析：选AC 对小球进行受力分析如图，
电场力的大小：F ＝qE ＝q ×
3mg
q
＝3mg ，由于重力的方向竖直向下，电场力的方向水
平向右，二者垂直，合力：F G ＋F ＝F 2
＋mg 2
＝2mg ，由几何关系可知，重力与电场力的合
力与杆的方向垂直，所以重力与电场力的合力不会对小球做功，而洛伦兹力也不会对小球做功。

所以，当小球做匀速直线运动时，没有摩擦力，说明小球与杆之间就没有支持力的作用，则洛伦兹力大小与重力、电场力的合力大小相等，方向相反。

所以qv 0B ＝2mg ，所以v 0＝2mg qB
，
故A 正确；若小球的初速度为3mg
qB
，则洛伦兹力：F 洛＝qv 0B ＝3mg >F G ＋F ；则在垂直于杆的方
向上，小球还受到垂直于杆向下的支持力，则摩擦力：f ＝μF N ，小球将做减速运动；随速度的减小，洛伦兹力减小，则支持力逐渐减小，摩擦力减小，小球做加速度不断减小的减速运动，最后当速度减小到2mg qB 时，小球开始做匀速直线运动，故B 错误；若小球的初速度为mg
qB
，
则洛伦兹力：F
洛
＝qv 0B ＝mg <F G ＋F ，则在垂直于杆的方向上，小球还受到垂直于杆向上的支
持力，而摩擦力：f ＝μF N ，小球将做减速运动；随速度的减小，洛伦兹力减小，则支持力
逐渐增大，摩擦力逐渐增大，小球的加速度增大，所以小球将做加速度不断增大的减速运动，最后停止，故C 正确；若小球的初速度为mg
qB
，小球将做加速度不断增大的减速运动，最后停止，运动中克服摩擦力做功等于小球的动能的改变量，所以W ＝12mv 20＝m 3g
2
2q 2B
2，故D 错误。

4．(2016·北京高考)如图所示，质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，以初速度v 沿垂直磁场方向射入磁感应强度为B 的匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动。

不计带电粒子所受重力。

(1)求粒子做匀速圆周运动的半径R 和周期T ；
(2)为使该粒子做匀速直线运动，还需要同时存在一个与磁场方向垂直的匀强电场，求电场强度E 的大小。

解析：(1)洛伦兹力提供向心力，有f ＝qvB ＝m v 2
R
带电粒子做匀速圆周运动的半径R ＝mv
qB
匀速圆周运动的周期T ＝2πR v ＝2πm
qB。

(2)粒子受电场力F ＝qE ，洛伦兹力f ＝qvB 。

粒子做匀速直线运动，则qE ＝qvB 电场强度的大小E ＝vB 。

答案：(1)mv qB
2πm
qB
(2)vB
[B 级——冲满分]
5．(2017·长春外国语学校检测)如图甲所示，在直角坐标系0≤x ≤L 区域内有沿y 轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点(3L,0)为圆心、半径为L 的圆形区域，圆形区域与x 轴的交点分别为M 、N 。

现有一质量为m ，带电量为e 的电子，从y 轴上的A 点以速度v 0沿x 轴正方向射入电场，飞出电场后从M 点进入圆形区域，速度方向与x 轴夹角为30°。

此时在圆形区域加如图乙所示周期性变化的磁场，以垂直于纸面向外为磁场正方向，最后电子运动一段时间后从N 飞出，速度方向与进入磁场时的速度方向相同(与x 轴夹角也为30°)。

求：
(1)电子进入圆形磁场区域时的速度大小； (2)0≤x ≤L 区域内匀强电场场强E 的大小；
(3)写出圆形磁场区域磁感应强度B 0的大小、磁场变化周期T 各应满足的表达式。

(1)解析：电子在电场中作类平抛运动，射出电场时，如图1所示。

由已知条件可得，速度关系：v 0v
＝cos 30° 解得v ＝23
3
v 0。

(2)由速度关系得v y ＝v 0tan 30°＝
33
v 0 在竖直方向a ＝eE m ，v y ＝at ＝eE m ·L v 0
解得：E ＝3mv 2
3eL。

(3)在磁场变化的半个周期内电子的偏转角为60°(如图2)，
根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，电子在x 轴方向上的位移恰好等于R 。

电子到达N 点而且速度符合要求的空间条件是：2nR ＝2L (n ＝1、2、3、…)
电子在磁场做圆周运动的轨道半径：R ＝mv eB 0＝23mv 0
3eB 0
解得B 0＝23nmv 0
3eL
(n ＝1、2、3、…)
若电子在磁场变化的半个周期恰好转过1
6
圆周，同时MN 间运动时间是磁场变化周期的整
数倍时，可使粒子到达N 点，并且速度满足题设要求，应满足的时间条件：
2n ×1
6T 0＝nT (n ＝1、2、3、…)
由T 0＝2πm eB 0
得
T 的表达式为：T ＝
3πL
3nv 0
(n ＝1、2、3、…)。

答案：(1)233v 0 (2)3mv 2
3eL
(3)B 0＝23nmv 0
3eL
(n ＝1、2、3、…)
T ＝
3πL
3nv 0
(n ＝1、2、3、…) 6.(2016·浙江高考)为了进一步提高回旋加速器的能量，科学家建造了“扇形聚焦回旋加速器”。

在扇形聚焦过程中，离子能以不变的速率在闭合平衡轨道上周期性旋转。

扇形聚焦磁场分布的简化图如图所示，圆心为O 的圆形区域等分成六个扇形区域，其中三个为峰区，三个为谷区，峰区和谷区相间分布。

峰区内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，谷区内没有磁场。

质量为m ，电荷量为q 的正离子，以不变的速率v 旋转，其闭合平衡轨道如图中虚线所示。

(1)求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r ，并判断离子旋转的方向是顺时针还是逆时针；
(2)求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ，及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T ； (3)在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ′，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心角θ变为90°，求B ′和B 的关系。

已知：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos α＝1－2sin 2
α2
解析：(1)峰区内圆弧半径r ＝mv qB
旋转方向为逆时针方向。

(2)由对称性，峰区内圆弧的圆心角θ＝2π3
每个圆弧的长度l ＝2πr 3＝2πmv
3qB
每段直线长度L ＝2r cos π6＝3r ＝3mv
qB
周期T ＝l ＋L v
代入得T ＝
π＋33m
qB。

(3)谷区内的圆心角θ′＝120°－90°＝30° 谷区内的轨道圆弧半径r ′＝
mv qB ′
由几何关系r sin θ2＝r ′sin θ′
2
由三角关系
sin 30°2＝sin 15°＝6－2
4
代入得B ′＝
3－1
2
B 。

答案：(1)mv qB 逆时针方向 (2)2π
3
π＋33m
qB
(3)B ′＝
3－1
2
B 7．(2014·四川高考)在如图所示的竖直平面内，水平轨道CD 和倾斜轨道GH 与半径r ＝9
44 m 的光滑圆弧轨道分别相切于D 点和G 点，GH 与水平面的夹角θ＝37°。

过G 点、垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度B ＝1.25 T ；过D 点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场，电场方向水平向右，电场强度E ＝1×104
N/C 。

小物体P 1质量m ＝2×10－3
kg 、电荷量q ＝＋8×10－6
C ，受到水平向右的推力F ＝9.98×10
－3
N 的作用，沿CD 向右做匀速直线运动，到达D 点后撤去推力。

当P 1到达倾斜轨道底端G
点时，不带电的小物体P 2在GH 顶端静止释放，经过时间t ＝0.1 s 与P 1相遇。

P 1和P 2与轨道CD 、GH 间的动摩擦因数均为μ＝0.5，取g ＝10 m/s 2
，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，物体电荷量保持不变，不计空气阻力。

求：
(1)小物体P 1在水平轨道CD 上运动速度v 的大小； (2)倾斜轨道GH 的长度s 。

解析：(1)设小物体P 1在匀强磁场中运动的速度为v ，受到向上的洛伦兹力为F 1，受到的摩擦力为f ，则
F 1＝qvB f ＝μ(mg －F 1)
由题意，水平方向合力为零
F －f ＝0
联立以上各式，代入数据解得
v ＝4 m/s 。

(2)设P 1在G 点的速度大小为v G ，由于洛伦兹力不做功，根据动能定理
qEr sin θ－mgr (1－cos θ)＝1
2mv 2G －12
mv 2
P 1在GH 上运动，受到重力、电场力和摩擦力的作用，设加速度为a 1，根据牛顿第二定
律
qE cos θ－mg sin θ－μ(mg cos θ＋qE sin θ)＝ma 1 P 1与P 2在GH 上相遇时，设P 1在GH 上运动的距离为s 1，则 s 1＝v G t ＋12
a 1t 2
设P 2质量为m 2，在GH 上运动的加速度为a 2，则
m 2g sin θ－μm 2g cos θ＝m 2a 2
P 1与P 2在GH 上相遇时，设P 2在GH 上运动的距离为s 2，则 s 2＝12
a 2t 2
联立以上各式，代入数据得
s ＝s 1＋s 2 s ＝0.56 m 。

答案：(1)4 m/s (2)0.56 m。