复变函数与积分变换五.

《复变函数与积分变换》
2019/4/15
Department of Electronic Engineering
第五节 孤立奇点的分类
• 概念 若函数 f(z) 在某点z0在不可导，而在z0的任意
邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇 点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0 以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。
• 孤立奇点的等价命题
可去奇点 lim f ( z ) l 在0 | z - z 0 | 内有界
z z0
1 m阶极点 f ( z ) ( z ), ( z )解析且 (z 0 ) 0 m ( z z0 ) lim ( z z0 ) m f ( z ) a (a 0)
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例4求
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z sin z f z z6
在
z0
处的留数.
• 解:应用规则3
z sin z Re s ,0 6 z 1 d 5 6 z sin z lim z 6 1! z 0 dz5 z6 1 5 limz sin z 5! z 0 1 lim cos z 5! z 0 1 . 5!
sin z 1 z3 z5 z z z 3! 5! z2 z4 1 3! 5!
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m级极点
• 定义3 如果 f z 的罗伦级数中只有有限多个 1 z z z z 0 • 的负幂项,且其中关于 0 的最高幂 m z z 为, 即 0
ze z
z
2
1 z 1

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Re s f z ,1 ze z 2 z z 1 e 1 . 2

z 1 z 1
2
ze z

• 因此
e e 1 ze z c z 2 1dz 2i 2 2 2ich1
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• 定理 (1) 如果 是 的 级零点,则 是 z0 f z mm 1 f z 的 级零点; m 1 z0 • (2) 如果 是 的 级极点, 则 是 1 z0 z0 f z f z m 的 级零点,反过来也成立 .
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• 孤立奇点的分类
可去奇点：主要部分不存在
m阶极点：主要部分有m项
本性奇点：主要部分有无穷多项
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z z0 z z0
lim f ( z )
本性奇点 lim f ( z )不存在且不为2019/4/15
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举例 求下列函数的孤立奇点，并指出类型
sin z f ( z) z
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可去奇点
• 定义2 如果罗伦级数中不含 z z 的负幂项, 那么孤立奇点 z0 称为f z 的可去奇点. z0 z • 这时 f 在它的孤立奇点 的去心邻域内 的罗伦级数实际上就是一个普通的幂级数
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第五章 留
数
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5.1 孤立奇点
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Department of Electronic Engineering • 孤立奇点的概念 • 定义1 如果函数 个去心邻域 的孤立奇点.
k 1
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• 一、如果
是
z0
的可去奇点,那末 f z
• 因为此时 在 的展开式是泰勒展开式, z0 f z • 所以.
c1 0
Re s f z , z 0 0,
ze z Re s f z ,1 lim z 1 2 z 1 z 1 ze z lim z 1 z 1 e , 2
• 同理
ze z Re s f z ,1 lim z 1 2 z 1 z 1 ze z lim z 1 z 1 e 1 , 《复变函数与积分变换》 2019/4/15 2
的
m
级极点.
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本性奇点
• 定义4 如果罗伦级数中含有无穷多个 zz 的负幂项,那么孤立奇点 称为 的本性 z0 f z 奇点.
0
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3 函数的零点与极点的关系
m
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例1试求
• 解 因为
e 1 z2
z
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的孤立奇点
• 其中 在 解析, 并且 似乎 是 z0 z0 0 0. 函数 z 的二级极点 ,其实是一级极点 . e 1 • 由此可见 ,我们在求函数孤立奇点时,不能 z 一看函数的表面形式就急于做出结论.
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5.2 留数
• 5.2.1 留数概念 • 5.2.2 留数定理 • 定理一(留数定理) 设函数 在区域 内 f z 除有限个孤立奇点 处处解析D . 是 z1 , z 2 ,, z k 内包含诸奇点的任意一条正向简单闭曲线C , D 则 n • c f z dz 2i Re s f z , z k (5.2.2)
P z 0 Re s f z , z 0 Qz 0
(5.2.5)
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例3计算积分
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ze z c z 2 1dz, C
为正向圆周:
z 2 • 解:根据规则1,有
z2 f ( z) 2 2 ( z 1)(z 1)
( z 1)(z 2) f ( z) (sin z ) 2
2
3
1 f ( z ) exp z
z0
是
f z 的极点
• 我们有以下三个计算留数的规则. z0 f z • 规则1 如果 是 的一级极点，那末 • （5.2.3）
Re s f z , z 0 lim z z 0 f z
z z0
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三、如果z0
• 规则2 如果
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是 f z 的极点
z f的
z0 是
级极点，那末
m
•
1 d m1 m Re s f z , z 0 lim m1 z z 0 m 1! zz0 dz

（5.2.4） f z
举例
1 1/ z 1 , e , 孤立奇点的例子 z 1 z2 1 非孤立奇点的例子 sin(1 / z ) 1


,
1 1 1 , ,0, , , 2 2
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• 孤立奇点的Laurent级数展开
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• 二、如果 是 的本性奇点,那末 f z z0 • 那就往往只能用 在 展开成罗伦级数 f z z0 的方法求
c 1
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三、如果
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0
c0 c1 z z0 c2 z z0 cn z z0
2 n
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例如
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z0
是
sin z z
的可去奇点
• 因为 sin z 在 z 0 的去心邻域内的罗伦级数 z 为
z 2
1 1 z ez 1 1 z n 1 1 z 2 2 z z z n 0 n! z 2! 3!
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例2试求
• 解: 因为
shz z3
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f z
0 z z0 R
在 处不解析,但在 内处处解析,那末
的某 称为
f z
z0
z0
z0
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• •
• • •
1.孤立奇点的分类 根据展开的罗伦级数的不同情况将孤立奇 点作如下分类: （1）可去奇点 （2）m级极点 （3）本性奇点
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• 规则3设 及 Pz f z , Pz Q z 如果
Q z
在
z0
都解析,
Pz0 0, Qz0 0, Qz0 0,
那么 是 的一级极点， z0 f z 而
在区域 0<|z-z0|<R 内的单值解析函数 f(z) 可展开成
f ( z)

n
n a ( z z ) n 0

其中正幂部分 an ( z z0 ) n 是该级数的解析部分 负幂部分 an ( z z0 ) n 是该级数的主要部分
n 1 n 0
这里a-1具有特殊的作用，被称为f(z)在点z=z0处的留数
的孤立奇点
• 其中 在 解析, 并且 似乎 是 z0 z0 0 0. z 函数shz 的三级极点 ,其实是二级极点 .
z3
shz e z e z 1 z 3 3 2 z 2z z
• 由此可见,我们在求函数孤立奇点时,不能 一看函数的表面形式就急于做出结论.
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1 ze c z 2 1dz 2i 2 2 2ich1 z
因此 e e
• 例3我们也可用规则3来求留数:
Re s f z ,1 ze z 2z z 1 e , 2
f z cm z z 0
m
c 2 z z 0 c 1 z z 0
2 2 m
1
f z z • 那么孤立奇点 0 称为
m 1, cm 0
c0 c1 z z 0 c 2 z z 0 c m z z 0