人教版初中数学九年级下册教案 26.2 第1课时 实际问题中的反比例函数

26.2 实际问题与反比例函数
第1课时 实际问题中的反比例函数
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；(重点)
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．(难点)
一、情境导入
小明和小华相约早晨一起骑自行车从A 镇出发前往相距20km 的B 镇游玩，在返回时，小明依旧以原的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回A 镇．
假设两人经过的路程一样，自行车和公交车的速度保持不变，且自行车速度小于公交车速度．你能
找出两人返回时间与所乘交通工具速度间的关系吗？
二、合作探究
探究点：实际问题与反比例函数
【类型一】 反比例函数在路程问题中的应用
v 米/分，所需时间为t
分钟．
(1)速度v 与时间t 之间有怎样的函数关系？
(2)若王强到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
(3)如果王强骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？
解析：(1)根据速度、时间和路程的关系即可写出函数的关系式；(2)把t ＝15代入函数的解析式，即可求得速度；(3)把v ＝300代入函数解析式，即可求得时间．
解：(1)速度v 与时间t 之间是反比例函数关系，由题意可得v ＝3600t
； (2)把t ＝15代入函数解析式，得v ＝360015
＝240.故他骑车的平均速度是240米/分； (3)把v ＝300代入函数解析式得3600t
＝300，解得t ＝12.故他至少需要12分钟到达单位． 方法总结：解决问题的关键要掌握路程、速度和时间的关系．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题
【类型二】 反比例函数在工程问题中的应用
在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y (天)与每天完成
的工程量x (m/天)的函数关系图象如图所示．
(1)请根据题意，求y 与x 之间的函数表达式；
(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？
(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？
解析：(1)将点(24，50)代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析式；(2)用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；(3)工作量除以工作时间即可得到工作效率．
解：(1)设y ＝k x .∵点(24，50)在其图象上，∴k ＝24×50＝1200，所求函数表达式为y ＝1200x
； (2)由图象可知共需开挖水渠24×50＝1200(m)，2台挖掘机需要工作1200÷(2×15)＝40(天)；
(3)1200÷30＝40(m)，故每天至少要完成40m.
方法总结：解决问题的关键是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题
【类型三】 利用反比例函数解决利润问题
某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x (元)与销售量y (张)之间有
如下关系：
(1)猜测并确定y 与x (2)当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？
(3)设此卡的利润为W 元，试求出W 与x 之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大利润．
解析：(1)要确定y 与x 之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x 与y 的乘积是相同的，都是60，所以可知y 与x 成反比例，用待定系数法求解即可；(2)代入x ＝10求得y 的值即可；(3)首先要知道纯利润＝(日销售单价x －2)×日销售数量y ，这样就可以确定W 与x 的函数关系式，然后根据销售单价最高不超过10元，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x .
解：(1)从表中数据可知y 与x 成反比例函数关系，设y ＝k x
(k 为常数，k ≠0)，把点(3，20)代入得k ＝60，∴y ＝60x
； (2)当x ＝10时，y ＝6010
＝6，∴日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张； (3)∵W ＝(x －2)y ＝60－120x ，又∵x ≤10，∴当x ＝10时，W 取最大值，W 最大＝60－12010
＝48(元)． 方法总结：本题考查了根据实际问题列反比例函数的关系式及求最大值，解答此类题目的关键是准确理解题意．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型四】 反比例函数的综合应用
y ℃，从加热开始计算的时
间为x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y 与时间x 成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y 与时间x 成反比例函数关系．已知第12分钟时，材料温度是14℃.
(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)；
(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？
解析：(1)首先根据题意，材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例函数关系．将题中数据代入可求得两个函数的关系式；(2)把y ＝12代入y ＝4x ＋4得x ＝2，代入y ＝168x
得x ＝14，则对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟)． 解：(1)设加热停止后反比例函数表达式为y ＝k 1x ，∵y ＝k 1x 过(12，14)，得k 1＝12×14＝168，则y ＝168x
；当y ＝28时，28＝168x
，解得x ＝6.设加热过程中一次函数表达式为y ＝k 2x ＋b ，由图象知y ＝k 2x ＋b 过点
(0，4)与(6，28)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，6k 2＋b ＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，b ＝4，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋4x （0≤x ≤6），168x
（x ＞6）；
(2)当y ＝12时，y ＝4x ＋4，解得x ＝2.由y ＝168x
，解得x ＝14，所以对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．
方法总结：现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答此类问题的关键是首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
三、板书设计
1．反比例函数在路程问题中的应用；
2．反比例函数在工程问题中的应用；
3．利用反比例函数解决利润问题；
4．反比例函数与一次函数的综合应用．
本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学
问题．将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”，使学生逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.。