2020届二轮复习 三角恒等变换 教案(全国通用)

2020届二轮复习 三角恒等变换 教案（全国通用）
例1. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)22
sin 13cos 17sin13cos17︒+︒-︒︒ (2)22
sin 15cos 15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)22
sin 18cos 12sin18cos12︒+︒-︒︒ (4)22sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒ (5)22sin (25)cos 55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论. 【思路点拨】注意到（2）中可以转换为30︒的函数值，从（2）计算入手. 【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下22
13sin 15cos 15sin15cos151sin 3024
︒+︒-︒︒=-︒= Ⅱ.证明:2
2
sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-
22sin (cos30cos sin 30sin )sin (cos30cos sin 30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒
2222311
sin cos cos sin cos sin 442
αααααααα=+++--
22333
sin cos 444
αα=+= 【总结升华】例1是对公式的正用．本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想. 举一反三： 【变式1】若tan θ+
1
tan θ
=4,则sin2θ=（ ） A ．
15
B ．14
C ．13
D ．
1
2
【答案】D
【解析】因为221sin cos sin cos 1
tan 41tan cos sin sin cos sin 22
θθθθθθθθθθθ++
=+===,所以1sin 22θ=. 【变式2】已知1tan 22=α
，求sin()6
π
α+的值。

【解析】6sin
cos 6cos
sin )6sin(π
απ
απ
α+=
+
221cos
(cos sin )22222
=+-α
α
αα
22=
2
=
=例2．
不查表求22
sin 20cos 80cos80︒+︒︒︒的值.
【思路点拨】用二倍角公式进行降次后出现40︒，160︒，再将16012040︒=︒+︒，806020︒=︒+︒，运
用三角函数的和差公式变形.
【解析】2
2
sin 20cos 80cos80︒+︒+︒︒
2
11
(1cos40)(1cos160)cos(6020)2211
1cos40(cos120cos40sin120sin40)(cos60cos20sin60sin20)
22
1131cos40cos40sin 202423311cos40(1cos40)444
=-︒++︒+︒︒+︒=-︒+︒︒-︒︒+︒︒︒-︒︒=-︒-︒-︒+︒-︒
=-︒--︒=.
【总结升华】化简求值问题，要注意条件和所求式子之间的相互关系，常从“角度”“名称”及“运算结构”上进行分析，找到已知和未知之间的联系． 举一反三：
【变式】已知α
为第二象限的角，且sin α=，则sin()
4sin 2cos 21
π
ααα+++的值为 .
【答案】
【解析】2πππ
sin(α+)sin αcos +cos αsin
444=
sin2α+cos2α+12sin αcos α+2cos α
又α
为第二象限的角，且sin α=
，所以1cos α4，
所以原式 类型二：角的变换与求值
例3.已知7
7(0)()cos2sin().22
99
ππ
αβπβαβ∈∈=-+=
，，，，， （1）求cos β的值；（2）求sin α的值.
【思路点拨】（1）已知倍角的余弦值，求该角的余弦值，可以选用降幂扩角公式，但应注意角的范围；（2）使用配角技巧ααββ=+-.
【解析】(1)27
1()
1cos 219cos 229
ββ+-+==
=，又()2πβπ∈，，所以1cos 3β=-. (2)由（1
）知sin β===
3(0)()()2222
ππππ
αβπαβ∈∈+∈由，，，，得，，
所以cos()αβ+===
所以711sin sin()sin()cos cos()sin ()(.933
ααββαββαββ=+-=+-+=
⨯--= 【总结升华】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用了2()()ααβαβ=++-的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有(),βαβα=+-,1[()()]2ααβαβ=
++-,2()()βαβαβ=+--, ()424
πππ
αα+=--等. 2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用. 举一反三： 【变式1】已知324π
βαπ<<<，12cos()13αβ-=,3
sin()5
αβ+=-，求sin 2α的值. 【答案】5665
- 【解析】324π
βαπ<<<Q
,30,42
ππ
αβπαβ∴<-<<+<，
5
sin()13
αβ∴-===，
4
cos()5
αβ+===-，
sin 2sin[()()]
sin()cos()cos()sin()3124556()51351365
ααβαβαβαβαβαβ∴=++-=+-++-=-⨯+-⨯=-
【变式2
】函数)2cos(10)y x x =+-+o o
的最大值为（ ）
A
．．4 C ． 2 D ．
2+
【答案】C ；
【解析】∵7060(10)x x +=++o
o
o
，
60cos(10)cos 60sin(10)]2cos(10)cos(10))2sin(40)
x x x x x x ∴=+++-+=+++=+o o o o o o o o 原式.
所以其最大值为2，故选C.
【变式3】已知4cos()cos 2.125212
πππ
θ-
=-<θ<πθ，且，求（＋）的值
【解析】角的关系式：4
)12(212
2π
π
θπ
θ+
-
=+
（和差与倍半的综合关系）
∵4cos()1252ππθ-=-<θ<π，且，∴53
)12sin(=-πθ
∴2524
)12cos()12sin(2)12(2sin -=--=-πθπθπθ
25
7
1)12(cos 2)12(2cos 2=--=-πθπθ
∴]4
)12
(2cos[.12
2cos π
π
θπ
θ+
-
=）＋
（＝
)]12
(2sin )12(2[cos 22π
θπθ---
724()2525=
+= 【变式4】已知παπ
434<<，40πβ<<，53)4cos(=-απ，13
5
)43sin(=+βπ，求sin()αβ+的值。

【答案】
5665
【解析】∵ 042<-<
-
απ
π， ∴54
)4sin(-=-απ，
∵ πβππ<+<4343， ∴13
12
)43cos(-=+βπ。

∴)](2
cos[
)sin(βαπ
βα++-=+
65
56)54(135531312)]4sin()43sin()4cos()43[cos()]
4()43cos[(=-⨯-⨯=-++-+-=--+-=απ
βπαπβπαπ
βπ
例4. 求值：
（1）cos36cos 72︒︒；（2）πππ
7
3
cos 72cos 7cos
【思路点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值.
【解析】
（1）原式=000000000sin 36cos36cos 721sin 72cos 721sin1441
sin 362sin 364sin 364
=⨯=⨯=；
（2）原式=πππππππ
74cos 72cos 7cos )74cos(72cos 7cos
-=- 24sin cos cos cos 7777sin 7
224sin cos cos 7772sin 78sin 7...8sin
7
18
πππππππππππ=-
=-
==-
=
【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是π。

三个条件缺一不可。

另外需要注意2的个数。

应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法。

举一反三： 【变式】求值：
（1）cos 20cos 40cos80︒︒︒；（2）sin10sin 30sin 50sin 70︒︒︒︒. 【答案】（1）18；（2）1
16
【解析】
（1）原式=2sin 20cos 20cos 40cos802sin 20
︒︒︒︒
︒
=0
00000020sin 880cos 80sin 220sin 2280cos 40cos 40sin 2=
⨯ =81
20
sin 8160sin 0
0= （2）000000
111sin10sin 30sin 50sin 70cos80cos 40cos 20cos 20cos 40cos802216
︒︒︒︒=⋅⋅==
类型三：三角恒等变换的综合
例5．已知1tan()2αβ-=，1
tan 7
β=-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值. 【思路点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑2αβ-正切值的计算，同时通过估算2αβ-的区间
求出正确的值.
【解析】tan()tan 1
tan tan()1tan()tan 3
αββααββαββ-+=-+==--，
而(0,)απ∈，故(0,)2
π
α∈，
又1tan 7β=-
，(0,)βπ∈，故(,)2
π
βπ∈， 从而0παβ-<-<，
而1tan()02αβ-=>，2ππαβ∴-<-<-，而02
π
α<<，
2(,0)αβααβπ∴-=+-∈-，
又tan tan()
tan(2)tan[()]11tan tan()
ααβαβααβααβ+--=+-==--，
324
π
αβ∴-=-
【总结升华】对给值求角问题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值，再考虑角的范围，然后得出满足条件的角．本例就是给值求角，关键是估算2αβ-的区间，给值求角一定要将所求角限制在某个单值区间内，这是关键点也是难点．在本例中使用了配角技巧，ααββ=-+，
2αβαβα-=-+，这些都要予以注意.
举一反三：
【变式1】已知11
tan ,tan 73
αβ==，,αβ为锐角，则2αβ+的值是（ ） A. 4π B. 54π C. 4π或54
π D. π
【答案】A
【变式2】已知32)sin(=
+βα，51)sin(=-βα，求tan tan α
β。

【解析】∵32
sin cos cos sin )sin(=+=+βαβαβα，
5
1
sin cos cos sin )sin(=-=-βαβαβα，
解得3013cos sin =βα, 30
7
sin cos =βα，
∴tan sin cos 13tan cos sin 7
ααββαβ==.
例6.已知A B C 、、是ABC ∆的三个内角，向量(1(cos sin )A A ==m n u u r r ，, ，，且1.⋅=-m n u u r r
（1）求角A 的大小； （2）若
sin cos 3sin cos B B
B B
+=-，求tan C 的值.
【思路点拨】（1）先利用向量的数量积公式转化为三角方程再求角A ；（2）先解方程求出tan B ，再利用内角和定理及正切公式求得tan C 的值.
【解析】（1）因为(1(cos sin )A A =-=m n u u r r ，, ，，1.⋅=-m n u u r r
所以cos 1A A -
=-，
即1
sin()62
A π-= 又5666
A ππ
π
-<-<
，所以6
6
A π
π
-
=
，
故.3
A π
=
（2）因为
sin cos 3sin cos B B
B B +=-，cos 0B ≠，所以tan 13tan 1
B B +=-，
即tan 2B =， 所以()()tan tan tan tan[]tan 1tan tan A B
C A B A B A B
π+=-+=-+=--
-
==
【总结升华】三角问题常和向量知识综合在一起，求解的关键是“脱去”向量包装，将其转化为相应
的三角问题进行求解；倍角公式及其变形课实现三角函数的升、降幂变化，也可以实现角的形式的转化；关于正余弦的齐次式，一般化为正切来处理.
举一反三：
【高清课堂：三角恒等变换397881例2】
【变式】在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1cos 24
C =- (I)求sinC 的值；
(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长． 【答案】
(I) sin C =(Ⅱ
) 4,c b ==。