甘肃省临泽一中2017_2018学年高二数学下学期期末质量检测试题理20180727015

临泽一中 2017——2018学年度第二学期期末质量检测
高二年级数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.
1
1．在复平面内，复数
的共轭复数对应的点位于（
）
1
i
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2．已知非空集合 A,B ，全集U
A B ，集合 M A B , 集合 N
(C B ) (C A ) 则
U
U
（
）
A ． M N M
B ． M N
C ． M N
D ． M
N
3．已知{ }为等差数列，其前 n 项和为 s ，若 a
， S
，则公差 d 等于(
)
a
3
6
3
12 n
n
5
A.1
B. C.2
D.3
3
4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为 0.6，乙被录取的概率为 0.7, 两人 是否被录取互不影响, 则其中至少有一人被录取的概率为( )
A. 0.12
B. 0.42
C. 0.46
D. 0.88
5． (x
3y )6 的二项展开式中， x 2 y 4 项的系数是（
）
开始
A ．90
B ． 45
C ．135
D ．270 k =0
1
6．
（
）
x e dx
x
3
1
3 1
A.
B.
C.
e D.
e e
2
2
2
2
e
s =0
s ＜100?
是
s =s +2s
否
输
出
k
7．执行如图所示的程序框图，则输出的 k 的值为( )
k =k ＋1
结束
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
8．设a∈R ，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y＝0与直线l2: x＋(a＋1)y＋4＝0平行的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
- 1 -
9．点 P 是曲线 y x 2 ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y
x 2的距离的最小值是（ ）
A. １
B. 2
C. ２
D. 2 2
10.岳阳高铁站 B1进站口有 3个闸机检票通道口，高考完后某班 3个同学从该进站口检票进 站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通 道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这 3个同学的不同进站方式有（ ）种。

A. 24
B. 36
C. 42
D. 60
x
y
2 2 2
2
1( 0) F F
1
2 2
a b
1
,
2
PF
PF
11．在椭圆
中，
分别是其左右焦点，若
，则该椭
a b
圆离心率的取值范围是 （
）
1
1
1
1
A ．
B ．
C ．
D
．
,1 ,1 0,
0,
3
3
3
3
12.已 知 函 数 f
x x ax ， 若 f
x
恰 有 两 个 不 同 的 零 点 ， 则 a 的 取 值 范 围 为
ln
2
（ ）
1 1 1
A.
B.
C.
D.
,
0,
,
2e
2e
2e
1 0, 2e
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题 5分） 13．已知函数 f
x 2 f 1ln x x ，则 f x
的极大值为__________．
y x
14.已知变量 x , y 满足约束条件 2 8
x y ,则目标函数 z 6x 2y 的最小值为 __________．
2x y
3
1
15．若A ABC内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则A ABC的面积
，根
S
r a b c
2
据类比思想，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S，S，S，S，则四面体的
1234
体积为_______________________
16.
若52345，则__________ 12x a a x a x a x a x a x a a a
012345024
三、解答题
17．（本小题12分）已知向量x x x
m n 2
(3sin,1),(cos,
cos)
444
．
- 2 -
2
（Ⅰ）若m n 1,求
cos(x)
3
的值；
（Ⅱ）记
f(x)m n，在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足
(，求函数f（A）的取值范围．
2a c)cos B b cos C
3 18．（本小题12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为和
4
3
，现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品，设甲、乙两组的研发相互独立.
A B
5
（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利万元的分布列.
19.（12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正
三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是3，D是AC的中点。

（1）求证：B1C∥平面A1BD；
（2）求二面角A1-BD-A的大小；
x y
22
20.（本小题12分）已知椭圆
C:1(a b0)
过点
0,1，且离心
率为
a b
22
3
2
.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）A A为椭圆C的左、右顶点，直线l:x 22与x轴交于点D，点P是椭圆C上异
1,2
于A A的动点，直线
1,2
A P A P分别交直线l于E,F两点.证明：DE DF恒为定
值.
1,2
21.（本小题12分）已知函数f x ln x ax1.
（1）求函数f x的单调区间；
（2）若a0,1，求证：f x e x ax a（e为自然对数的底数）
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
- 3 -
22.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题10分）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取
16
相同的长度单位.曲线C的极坐标方程是2.
13cos2
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C与x轴正半轴及y轴正半轴交于点M,N，在第一象限内曲线C上任取一点P，求四边形OMPN面积的最大值.
23. 证明下列不等式：（本小题10分）
（Ⅰ）用分析法证明：67225；
（Ⅱ）已知a,b,c是正实数，且a b c1.求证：2221
a b c
3
高二年级学业水平质量检测理科数学参考答案
1-12 DBCD CAAA BDBB
13. 2ln22, 14 . 4
, 15 . 1
3
R S S S S 16 . 121
1234
- 4 -
x
1
x
x
x
17．解：（Ⅰ） m n 3 sin
cos cos 2 sin(
)
4
4
4
2 6 2
∵ m n 1
∴sin(x
) 1
2 6 2
1 x
1 cos(x ) 1
2sin (
) 2
2
3
2 6
2
2 1 cos(
x )
cos(x
)
3
3 2
（Ⅱ）∵（2a-c ）cosB=bcosC
由正弦定理得（2sinA-sinC ）cosB=sinBcosC
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin （B+C ） ∵ A B C
∴sin(B C ) sin A
0 ，
1
∴ cos B ,B ∴ 0 2 3
A
2 3
∴
A A 1
,sin( ) ( ,1)
6 2 6 2 2 6 2
18．试题解析：（1）
3 2 1 3 9 P
...............................4分
4 5 4 5 20
（2
）
90, 50, 80, 220.
1 2 2
3 2 6
1 3 3
90 , 80 ,
50 ,
4 5 20 4 5 20 4 5 20
P
P
P
3 3
9 220 P
，所以分布列为
4 5 20
.............................................................................. ............................................
.12分
19、解法一：（1）设 AB 1 与 A 1B 相交于点 P ，连接 PD ，则 P 为 AB 1 中点， D 为 AC 中点，
PD//B 1C 。

又
PD
平面 A B
1
D ，
B 1
C //平面 A B
1 D ……………………(6分)
（2）（2）如图建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，0，3），B（0，3，0），B（0，3，
1
5 -
3）A B=（-1，3，- 3），A D=（-1，0，- 3）
11
设平面A BD
1的法向量为n=（x，y，z）
则n A1B
x 3y 3z
n A1D
x 3z
x
则有
y
3z
0，得n=（3，0，
1）
由题意，知AA1=（0，0，3）是平面ABD的一个法向量。

设n与AA1所成角为，则
cos
n
n
A A
A A
1
1
1
2
，3
二面角A BD A
1的大小是3
………………. 12分
20.（Ⅰ）：由题意可知b 1，
c
a
3
解得a 2.
2
所以椭圆的方程为
x
2
4
y2
1
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知, A ，
1(2,0)
A.设
2(2,0)
P(x,y)，依题意2x 2，于是
直
000
线
y(222)y
A P的方程为y 0(x 2)，令x 22，则y 0
1
x2x2
00
.即
DE (22
2)
y
x
2
.
又直线
y
A P的方程为y 0(x 2)
2
x 2
(222)y
，令x 22，则y 0
x 2
，
即
DF (22
2)
y
x
2
. 所以
y y4y4y
22
DE DF (222)(222)
0000
x 2x 2x 44x
22
0000
，
又P(x,y)在
00x
2
4
y21上，
所以
x
2
4
2,即4y24x2，代入上
式，
y01
00
- 6 -
得
4 x
2 DE DF
1,所以| DE || DF |为定值
1.
4 x
2 0
1 1 ax f ' x a (x
0) ，
x x
21.试题解析：（1）
当 a 0 时， f '
x
0 ，函数 f
x ln x ax 1
在
0,
单调递增，
当 a
0 时， x
0, 1
a
时 f 'x
0 ， x 1 ,
时 f 'x 0 ，
a
f x
x ax 在 0, 1
1
单调递增，在
ln
1
单调递减
.
a a
综上所述，当 a 0 时， f x
只有增区间为
0,
.
当 a
0 时， f x
的增区间为
0, 1
1 ,
......................5分
，减区间为
a
a f x
e ax a 等价于 e x
ln x a 1
0.
(6)
（2）
x
分
g x e
x a ， 令
ln
1
x
1
而 在0,
单调递增，且
g '1 e 1 0 ， g ' x e x
x
g
1
e '
2 0
1 .
2
2
令 g '
t
0 ，即
1(0 1) e t t
， ln t
t ， t 则
x 0,t
时 g 'x g '
t 0 ，
x
t
,
时
g 'x g '
t 0 ，
故 g
x 在0,t
单调递减，在
t
,
单调递增，
g x g t e t a
1 t a 1
2 a 1 1 a 0
.
所以
t
ln
1
t
即 f
x
e x
ax a .
............12分
22.解：（Ⅰ）由题可变形为 2
32
cos 2
16，
∵
2
x
2
y
2 ， cos
x ，∴ x 2
y 2
3x
2
16 ，∴
x y
. 5
分
2
2
1
4 16
（Ⅱ）由已知有 M
2, 0
，
N 0, 4
，设
P 2cos , 4sin
，
0,
2
. - 7 -
于是由S S S
OMPN A OMP A ONP
4sin 4cos
1
2
1
24sin
42cos
2
42sin
4
，
由0,
2
得,
3
,
444
，于是42sin 4
2
4
，
∴四边形OMPN最大值42. 10分
23.（Ⅰ）证明：要证67225成立，
只需证，即证，
只需证，即证显然为真，
故原式成立.
（Ⅱ）证明：∵212,212,212
a b c
a b c
，
939393
21
21
21
2222
222
21
a b c
∴
a b c a b c，a b
c
999333333
- 8 -。