指数与指数函数-PPT
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(1)求 f(x)的定义域和值域； (2)讨论 f(x)的奇偶性； (3)讨论 f(x)的单调性． 【解】 (1)f(x)的定义域是 R，令 y＝aaxx－ ＋11，
得 ax＝－yy＋ －11，∵ax＞0，∴－yy＋－11＞0，解得－1＜ y＜1，
∴f(x)的值域为{y|－1＜y＜1}． (2)∵f(－x)＝aa－ －xx－ ＋11＝11－ ＋aaxx＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
• 【答案】 B
• 2．(2013·三明模拟)当a＞0，且a≠1时， 函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点 ________．
• 【解析】 ∵a0＝1，∴x－2＝0，即x＝2， 此时，f(2)＝－2,因此必过定点(2，-2)．
• 【答案】 (2，－2)
• 3．(2013·安庆模拟)指数函数y＝(a2－1)x 在定义域内是减函数，则a的取值范围是 ________．
• 当k＜0时，直线y＝k与函数y＝|3x－ 1|的图象无交点，即方程无解；当k＝ 0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－ 1|的图象有唯一的交点，所以方程有 一解；
• 当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1| 的图象有两个不同交点，所以方程有两 解．
(2013·韶关质检)已知 f(x)＝(ax－1 1＋12)x3(a＞0
• 2．一些指数方程、不等式问题的求解，往 往利用相应指数型函数图象数形结合求 解．
• k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有 一解？有两解？
• 【解】 函数y＝|3x－1|的图象是由 函数y＝3x的图象向下平移一个单位 后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻 折到x轴上方得到的，函数图象如图 所示．
• 1．求解与指数函数有关的复合函数问 题，首先要熟知指数函数的定义域、值 域、单调性等相关性质，其次要明确复 合函数的构成，涉及值域、单调区间、 最值等问题时，都要借助“同增异减” 这一性质分析判断．
• 2．与奇、偶函数有关的问题，根据对 称性可只讨论x＞0时的情况．
ax－1 已知函数 f(x)＝ax＋1(a＞0 且 a≠1)．
∴ab 的最大值为14.
【答案】
1 4
• 【思路点拨】 将根式化为分数指数幂， 负分数指数化为正分数指数，底数为小数 的化成分数，然后运用幂的运算性质进行 运算．
• 1．这类问题的求解，首先将根式、分数 指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则 计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘， 指数才能相加；(2)运算的先后顺序．
• (3)将g(x)＝f(x)－x2的零点转化为函数f(x)与 y＝x2图象的交点问题，在同一坐标系中分 别作出函数f(x)＝|2x－1|和y＝x2的图象如图 所示，有四个交点，故g(x)有四个零点．
• 1．指数型函数的图象与性质(单调性、最 值、大小比较、零点等)的求解往往利用相 应指数函数的图象，通过平移、对称变换 得到其图象，然后数形结合使问题得解．
(2)在同一坐标系中分别作出函数 f(x)、f(x＋1) 的图象，如图所示．
由图象知，当|2x0＋1－1|＝|2x0－1|时，解得 x0 ＝log223，两图象相交，从图象可见，当 x＜log223时， f(x)＞f(x＋1)；
当 x＝log223时，f(x)＝f(x＋1)； 当 x＞log223时，f(x)＜f(x＋1)．
(3)f(x)＝（axa＋x＋1）1 －2＝1－ax＋2 1，
设 x1，x2 是 R 上任意两个实数，且 x1＜x2，
则
f(x1)
－
f(2 ax1＋1
＝
2（ax1－ax2） （ax1＋1）（ax2＋1）.
∴当 a＞1 时，ax2＞ax1＞0， 从而 ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＜0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，f(x)为 R 上的增函数． 当 0＜a＜1 时，ax1＞ax2＞0，
• 防范措施：(1)比较幂的大小时，若底数不 同，首先看能否化为同底．
• (2)不能用函数的单调性比较大小的，一般 要找中间量比较．
1．(2012·山东高考)若函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1) 在[－1，2]上的最大值为 4，最小值为 m，且函数
g(x)＝(1－4m) x在[0，＋∞)上是增函数，则 a＝
• 【解析】 原方程4x－2x＋1－3＝0化为(2x)2 －2·2x－3＝0，
• 即(2x－3)(2x＋1)＝0，由于2x＞0，x∈R，
• ∴2x－3＝0，即x＝log23. • 【答案】 log23
合求解．
• (2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x＋1)图 象，数形结合求解．
• (3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y＝ x2的图象，数形结合求解．
【 尝 试 解 答 】 (1) 由 f(x) ＝ |2x － 1| ＝
12－x－21x，，xx＜≥00.，可作出函数的图象如图．因此函数 f(x)在(－∞，0)上递减；函数 f(x)在(0，＋∞)上递增．
A．c<b<a
B．c<a<b
C．b<a<c
D．b<c<a
【解析】 b＝(12)－0.8＝20.8<21.2＝a， c＝2log52＝log522<log55＝1<20.8＝b， 故 c<b<a.
• 【答案】 A
• 易错提示：(1)对a和b没有化为同底的意识， 造成思维受阻．
• (2)不能合理的构造函数或找不到恰当的中 间量而盲目作答，造成误解．
• 2．换元时注意换元后“新元”的范围．
画指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)的图象，应 抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(－1，1a)．
思想方法之四 构造法在指数幂大小比较中的应用
(2012·天津高考)已知 a＝21.2，b＝(12)－0.8，c＝2log52，
则 a，b，c 的大小关系为( )
指数与指数函数
1．指数幂的概念与性质
(1)根式的定义： 若 xn＝a，则 x 叫做__a_的__n__次__方__根_____，其中 n＞1
且 n∈N*.式子n a叫做__根__式_____．
(2)根式的性质：①(n a)n＝____a____；
a ②n an＝ a（a≥0）
|a|＝ －a（a＜0）
【解析】 由题意知 0＜a2－1＜1， ∴1＜a2＜2，即 1＜a＜ 2或－ 2＜a＜－1.
【答案】 (－ 2，－1)∪(1， 2)
• 4．(2013·广州六校联考)已知函数g(x)＝2x， 且有g(a)g(b)＝2，若a＞0且b＞0，则ab的 最大值为________．
【解析】 由 g(a)·g(b)＝2，得 2a＋b＝2， ∴a＋b＝1，且 a＞0，b＞0， ∴ab≤(a＋2 b)2＝14，当且仅当 a＝b＝12时取等号，
________． 【解析】 若 a>1，有 a2＝4，a－1＝m，
此时 a＝2，m＝21，此时 g(x)＝－ x为减函数， 不合题意．
若 0<a<1，有 a－1＝4，a2＝m，故 a＝14，m＝116，
检验知符合题意．
【答案】
1 4
• 2．(2012·上海高考)方程4x－2x＋1－3＝0 的解是________．
且 a≠1)． ①讨论 f(x)的奇偶性； ②求 a 的取值范围，使 f(x)＞0 在定义域上恒成
立．
• 【思路点拨】 先求函数的定义域，再判 断奇偶性；对于恒成立问题，可借助函数 的奇偶性，只讨论x＞0的情况．
【尝试解答】 ①由于 ax－1≠0，则 ax≠1，得 x≠0，
所以函数 f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}． 对于定义域内任意 x，有 f(－x)＝(a－x1－1＋21)(－x)3＝(1－axax＋21)(－x)3
• 【提示】 图中直线x＝1与它 们图象交点的纵坐标为它们各 自底数的值，∴c＞d＞1＞a＞b， 即无论在y轴的左侧还是右侧， 底数按逆时针方向变大．
• 2．函数y＝ax，y＝a|x|(a＞0，a≠1)两者之 间有何关系？
• 【提示】 函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者 是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当 x≥0时两函数图象相同．
• 2．当底数是负数时，先确定符号，再把 底数化为正数．
• 3．运算结果不能同时含有根号和分数指 数，也不能既有分母又含有负指数．
• 已知f(x)＝|2x－1|，
• (1)求f(x)的单调区间；
• (2)比较f(x＋1)与f(x)的大小；
• (3)试确定函数g(x)＝f(x)－x2零点的个数． • 【思路点拨】 (1)作出f(x)的图象，数形结
n为奇数， n为偶数；
• (3)有理数指数幂的运算性质： • ①ar·as＝ _a_r_＋_s ___(a＞0，r、s∈Q)； • ②(ar)s＝ __ar_s___(a＞0，r、s∈Q)； • ③(ab)r＝ __a_rb_r___(a＞0，b＞0，r∈Q)．
• 2．指数函数的图象与性质
• 1．如图2－5－1是指数函数(1)y ＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y ＝dx的图象，底数a，b，c，d 与1之间的大小关系如何？你能 得到什么规律？
从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＞0， ∴f(x1)＞f(x2)，f(x)为R上的减函数．
• 分数指数幂与根式的关系：根式与分数指 数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式 可以相互转化，通常利用分数指数幂进行 根式的化简运算．
• 1.指数函数的单调性取决于底数a的大小， 因此解题时通常分0＜a＜1和a＞1进行分类 讨论．
＝(－1－ax－1 1＋21)(－x)3＝(ax－1 1＋12)x3＝f(x)． ∴f(x)是偶函数． ②由①知 f(x)为偶函数， ∴只需讨论 x＞0 时的情况．
当 x＞0 时，要使 f(x)＞0，即(ax－1 1＋12)x3＞0，
即ax－1 1＋12＞0，即2（aaxx＋－11）＞0，
即 ax－1＞0，ax＞1，ax＞a0， 又∵x＞0，∴a＞1. 因此 a＞1 时，f(x)＞0.
得 ax＝－yy＋ －11，∵ax＞0，∴－yy＋－11＞0，解得－1＜ y＜1，
∴f(x)的值域为{y|－1＜y＜1}． (2)∵f(－x)＝aa－ －xx－ ＋11＝11－ ＋aaxx＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
• 【答案】 B
• 2．(2013·三明模拟)当a＞0，且a≠1时， 函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点 ________．
• 【解析】 ∵a0＝1，∴x－2＝0，即x＝2， 此时，f(2)＝－2,因此必过定点(2，-2)．
• 【答案】 (2，－2)
• 3．(2013·安庆模拟)指数函数y＝(a2－1)x 在定义域内是减函数，则a的取值范围是 ________．
• 当k＜0时，直线y＝k与函数y＝|3x－ 1|的图象无交点，即方程无解；当k＝ 0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－ 1|的图象有唯一的交点，所以方程有 一解；
• 当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1| 的图象有两个不同交点，所以方程有两 解．
(2013·韶关质检)已知 f(x)＝(ax－1 1＋12)x3(a＞0
• 2．一些指数方程、不等式问题的求解，往 往利用相应指数型函数图象数形结合求 解．
• k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有 一解？有两解？
• 【解】 函数y＝|3x－1|的图象是由 函数y＝3x的图象向下平移一个单位 后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻 折到x轴上方得到的，函数图象如图 所示．
• 1．求解与指数函数有关的复合函数问 题，首先要熟知指数函数的定义域、值 域、单调性等相关性质，其次要明确复 合函数的构成，涉及值域、单调区间、 最值等问题时，都要借助“同增异减” 这一性质分析判断．
• 2．与奇、偶函数有关的问题，根据对 称性可只讨论x＞0时的情况．
ax－1 已知函数 f(x)＝ax＋1(a＞0 且 a≠1)．
∴ab 的最大值为14.
【答案】
1 4
• 【思路点拨】 将根式化为分数指数幂， 负分数指数化为正分数指数，底数为小数 的化成分数，然后运用幂的运算性质进行 运算．
• 1．这类问题的求解，首先将根式、分数 指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则 计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘， 指数才能相加；(2)运算的先后顺序．
• (3)将g(x)＝f(x)－x2的零点转化为函数f(x)与 y＝x2图象的交点问题，在同一坐标系中分 别作出函数f(x)＝|2x－1|和y＝x2的图象如图 所示，有四个交点，故g(x)有四个零点．
• 1．指数型函数的图象与性质(单调性、最 值、大小比较、零点等)的求解往往利用相 应指数函数的图象，通过平移、对称变换 得到其图象，然后数形结合使问题得解．
(2)在同一坐标系中分别作出函数 f(x)、f(x＋1) 的图象，如图所示．
由图象知，当|2x0＋1－1|＝|2x0－1|时，解得 x0 ＝log223，两图象相交，从图象可见，当 x＜log223时， f(x)＞f(x＋1)；
当 x＝log223时，f(x)＝f(x＋1)； 当 x＞log223时，f(x)＜f(x＋1)．
(3)f(x)＝（axa＋x＋1）1 －2＝1－ax＋2 1，
设 x1，x2 是 R 上任意两个实数，且 x1＜x2，
则
f(x1)
－
f(2 ax1＋1
＝
2（ax1－ax2） （ax1＋1）（ax2＋1）.
∴当 a＞1 时，ax2＞ax1＞0， 从而 ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＜0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，f(x)为 R 上的增函数． 当 0＜a＜1 时，ax1＞ax2＞0，
• 防范措施：(1)比较幂的大小时，若底数不 同，首先看能否化为同底．
• (2)不能用函数的单调性比较大小的，一般 要找中间量比较．
1．(2012·山东高考)若函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1) 在[－1，2]上的最大值为 4，最小值为 m，且函数
g(x)＝(1－4m) x在[0，＋∞)上是增函数，则 a＝
• 【解析】 原方程4x－2x＋1－3＝0化为(2x)2 －2·2x－3＝0，
• 即(2x－3)(2x＋1)＝0，由于2x＞0，x∈R，
• ∴2x－3＝0，即x＝log23. • 【答案】 log23
合求解．
• (2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x＋1)图 象，数形结合求解．
• (3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y＝ x2的图象，数形结合求解．
【 尝 试 解 答 】 (1) 由 f(x) ＝ |2x － 1| ＝
12－x－21x，，xx＜≥00.，可作出函数的图象如图．因此函数 f(x)在(－∞，0)上递减；函数 f(x)在(0，＋∞)上递增．
A．c<b<a
B．c<a<b
C．b<a<c
D．b<c<a
【解析】 b＝(12)－0.8＝20.8<21.2＝a， c＝2log52＝log522<log55＝1<20.8＝b， 故 c<b<a.
• 【答案】 A
• 易错提示：(1)对a和b没有化为同底的意识， 造成思维受阻．
• (2)不能合理的构造函数或找不到恰当的中 间量而盲目作答，造成误解．
• 2．换元时注意换元后“新元”的范围．
画指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)的图象，应 抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(－1，1a)．
思想方法之四 构造法在指数幂大小比较中的应用
(2012·天津高考)已知 a＝21.2，b＝(12)－0.8，c＝2log52，
则 a，b，c 的大小关系为( )
指数与指数函数
1．指数幂的概念与性质
(1)根式的定义： 若 xn＝a，则 x 叫做__a_的__n__次__方__根_____，其中 n＞1
且 n∈N*.式子n a叫做__根__式_____．
(2)根式的性质：①(n a)n＝____a____；
a ②n an＝ a（a≥0）
|a|＝ －a（a＜0）
【解析】 由题意知 0＜a2－1＜1， ∴1＜a2＜2，即 1＜a＜ 2或－ 2＜a＜－1.
【答案】 (－ 2，－1)∪(1， 2)
• 4．(2013·广州六校联考)已知函数g(x)＝2x， 且有g(a)g(b)＝2，若a＞0且b＞0，则ab的 最大值为________．
【解析】 由 g(a)·g(b)＝2，得 2a＋b＝2， ∴a＋b＝1，且 a＞0，b＞0， ∴ab≤(a＋2 b)2＝14，当且仅当 a＝b＝12时取等号，
________． 【解析】 若 a>1，有 a2＝4，a－1＝m，
此时 a＝2，m＝21，此时 g(x)＝－ x为减函数， 不合题意．
若 0<a<1，有 a－1＝4，a2＝m，故 a＝14，m＝116，
检验知符合题意．
【答案】
1 4
• 2．(2012·上海高考)方程4x－2x＋1－3＝0 的解是________．
且 a≠1)． ①讨论 f(x)的奇偶性； ②求 a 的取值范围，使 f(x)＞0 在定义域上恒成
立．
• 【思路点拨】 先求函数的定义域，再判 断奇偶性；对于恒成立问题，可借助函数 的奇偶性，只讨论x＞0的情况．
【尝试解答】 ①由于 ax－1≠0，则 ax≠1，得 x≠0，
所以函数 f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}． 对于定义域内任意 x，有 f(－x)＝(a－x1－1＋21)(－x)3＝(1－axax＋21)(－x)3
• 【提示】 图中直线x＝1与它 们图象交点的纵坐标为它们各 自底数的值，∴c＞d＞1＞a＞b， 即无论在y轴的左侧还是右侧， 底数按逆时针方向变大．
• 2．函数y＝ax，y＝a|x|(a＞0，a≠1)两者之 间有何关系？
• 【提示】 函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者 是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当 x≥0时两函数图象相同．
• 2．当底数是负数时，先确定符号，再把 底数化为正数．
• 3．运算结果不能同时含有根号和分数指 数，也不能既有分母又含有负指数．
• 已知f(x)＝|2x－1|，
• (1)求f(x)的单调区间；
• (2)比较f(x＋1)与f(x)的大小；
• (3)试确定函数g(x)＝f(x)－x2零点的个数． • 【思路点拨】 (1)作出f(x)的图象，数形结
n为奇数， n为偶数；
• (3)有理数指数幂的运算性质： • ①ar·as＝ _a_r_＋_s ___(a＞0，r、s∈Q)； • ②(ar)s＝ __ar_s___(a＞0，r、s∈Q)； • ③(ab)r＝ __a_rb_r___(a＞0，b＞0，r∈Q)．
• 2．指数函数的图象与性质
• 1．如图2－5－1是指数函数(1)y ＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y ＝dx的图象，底数a，b，c，d 与1之间的大小关系如何？你能 得到什么规律？
从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＞0， ∴f(x1)＞f(x2)，f(x)为R上的减函数．
• 分数指数幂与根式的关系：根式与分数指 数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式 可以相互转化，通常利用分数指数幂进行 根式的化简运算．
• 1.指数函数的单调性取决于底数a的大小， 因此解题时通常分0＜a＜1和a＞1进行分类 讨论．
＝(－1－ax－1 1＋21)(－x)3＝(ax－1 1＋12)x3＝f(x)． ∴f(x)是偶函数． ②由①知 f(x)为偶函数， ∴只需讨论 x＞0 时的情况．
当 x＞0 时，要使 f(x)＞0，即(ax－1 1＋12)x3＞0，
即ax－1 1＋12＞0，即2（aaxx＋－11）＞0，
即 ax－1＞0，ax＞1，ax＞a0， 又∵x＞0，∴a＞1. 因此 a＞1 时，f(x)＞0.