浙江省杭州市萧山区2016届高三高考命题比赛数学试卷22

试卷命题双向细目表
说明：题型及考点分布按照《2016浙江高考考试说明》参考试卷。

2016年高考模拟试卷 数学卷（理科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共40分） 注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷上无效。

参考公式：
球的表面积公式 2
4R S π= 棱柱的体积公式 sh V =
球的体积公式 3
3
4R V π=
其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 其中R 表示球的半径 棱台的体积公式 )(3
1
2211s s s s h V ++=
棱锥的体积公式 sh V 3
1
= 其中21,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，
其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 h 表示棱台的高
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（原创）对于数列{n a }，“1+n a >|n a |(n ＝1，2，…)”是“{n a }为递增数列”的 ( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．必要条件
D ．既不充分也不必要条件 （命题意图：考查不等式及数列性质中充要条件的判断，属容易题）
2．（原创）给出下列四个命题：
① 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行.
② 若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行. ③ 若两条直线都与第三条直线平行，则这条直线互相平行.
④ 若两条直线都与同一平面平行，则这条直线互相平行.
其中正确的命题的个数是： （ ） （A ）．1个 （B ）．2个 （C ）．3个 （D ）．4个 （命题意图：考查空间点线面位置关系的判断，属容易题）
3．（原创）在ABC ∆中，AB ＝3，AC ＝5，且O 是ABC ∆的外心，则⋅的值是 （ ） (A) .－8 (B). －1 (C). 1 (D). 8 （命题意图：考查平面向量概念及数量积运算，属中档题）
4. （原创）已知点),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，
PB PA ,是圆C ：022
2=-+y y x
的两条切线，B A ,为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ） A ．4 B ．22 C ．2 D ．2 （命题意图：考查直线与圆的位置关系，属中档题）
5．（原创）关于函数31
)2
1
2()(x x f x x
-=和实数n m 、的下列结论中正确的是（ ）
（A ）．若n m <<-3，则)()(n f m f < （B ）．若0<<n m ，则)()(n f m f < （C ）．若)()(n f m f <，则2
2
n m < （ D ）．若)()(n f m f <，则3
3n m < （命题意图：考查函数的奇偶性与单调性，属中档题）
6．（原创）如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1
的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）
A 1
C
A B
（A ）. 直线 （B ）. 圆 （C ）. 双曲线 （D ）. 抛物线
（命题意图：考查双曲线的定义及几何性质，中等较难题）
8.（根据2014年湖北高考模拟卷第17题改编）已知定义域为),0(+∞的函数)(x f 满足：（1）对
),0(+∞∈∀x ，恒有)(2)2(x f x f =成立；（2）当]2,1(∈x 时，x x f -=2)(.给出如下结论：①对
任意Z m ∈，有0)2(=m
f ；②函数)(x f 的值域为),0[+∞；③存在Z n ∈，使得9)12(=+n
f ；
④“函数)(x f 在区间),(b a 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得)2,2(),(1
+⊆k k b a ”.
其中所有正确结论的序号是 （ ）
(A). ① (B). ①② (C).①②③ (D). ①②④ （命题意图：考查函数图像与性质的综合应用，属较难题）
非选择题部分（共110分） 注意事项：
1.用黑色的字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题：（本大题共7小题，第9——12题每题6分，13——15每题4分，共36分。

） 9．（原创）已知集合{}
1-==x y y A ，{
}
62-+=
=x x y x B ，{}a x x C <=，
则 =⋂B A , B C A R ⋂= 若 R =⋃C B ，实数a 的取值范围是 （命题意图：考查集合的含义及运算，属容易题）
10．（原创）已知直线01:1=-+y ax l ，直线03:2=--y x l ，若21l l ⊥，则a= ；
11．（根据2014年浙江绍兴高考模拟卷第5题改编）一个几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是 ；表面积是 。

（命题意图：考查三视图，直观图，属容易题）
12. （原创）已知定义在R 上的函数R ，且⎪⎩⎪
⎨⎧≥+≤-22
2222b b
，则方程
⎩⎨⎧≤-+-≥+-=--=a
x x a x a x x a x x a x x x f ,)2(,)2(2)(2
2在区间[]1,5-上的所有实根之和为 ；
若)0)(2()(<-=k x k x f 恰有三个根，则k 的范围为 。

（命题意图：考查数形结合在分段函数的图像，方程的根中的运用，中档题）
13．（原创）若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤-+≤+-002553034a x y x y x ，且目标函数y x z 24⋅=的最小值是2，
则实数a 的值是 。

（命题意图：考查线性规划中的最值及数形结合的思想方法，中等偏难题）
14．（引用：2012年浙江省高中数学竞赛）已知实数d c b a ,,,满足122=+=d c ab ，则
22)()(d b c a -+-的最小值为 。

（命题意图：考查圆与双曲线几何性质的应用，属较难题）
15．（根据2013年浙江高考模拟卷第17题改编）对于定义域为D 的函数)(x f ，若同时满足下列条件：①)(x f 在D 内有单调性；②存在区间D b a ⊆],[，使)(x f 在区间],[b a 上的值域也为],[b a ，则称)(x f 为D 上的“和谐”函数，],[b a 为函数)(x f 的“和谐”区间。

若函数m
x x g ++=4)(是“和谐”函数，则实数m 的取值范围是 。

（命题意图：考查新定义的理解，属较难题）
三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题满分14分）
（原创）已知ABC ∆中的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且B 为锐角，定义向量
)3,sin 2(-=B ,)12
cos 2,2(cos 2-=B B ，且//． （Ⅰ）求函数B x B x x f sin 2cos cos 2sin )(-=的单调递增区间； （Ⅱ）如果b=2，求ABC ∆的面积的最大值。

（命题意图：考查三角函数的图象与性质、三角变换等基础知识，同时考查运算求解能力，属容易题）
17．（本题满分15分）
（根据2013年浙江高考模拟卷第20题改编）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形. (Ⅰ)证明：BN⊥平面C 1B 1N ；
(Ⅱ)设直线C 1N 与平面CNB 1所成的角为θ，求θsin 的值；
(Ⅲ)M 为AB 中点，在CB 上是否存在一点P ，使得MP∥平面CNB 1，若存在，求出BP 的长;若不存在，请说明理由.
（命题意图：考查把三视图还原成直观图，从而对线面平行，线面垂直的判断定理与性质定理的证明，同时还考查用几何方法找线面角或者用向量方法求线面角，并考查在平面内找满足条件的动点，属中档题）
18．（本题满分15分）
（根据2014年浙江高考模拟卷第21题改编）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为
21,F F ，短轴两个端点为B A ,，且四边形B AF F 21是边长为2的正方形。

（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若D C ,分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足CD MD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P 。

证明：→
→⋅OP OM 为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线MQ DP ,的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

（命题意图：考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的定值定点，及解析几何的基本思想方法，属中等偏难题）
19、（本题满分15分）
（根据湖州期末卷第18题改编）已知数列}{n a 满足)()1(2,1*
11N n a a a n
n n ∈-+==+. （Ⅰ）若3
1
12-
=-n n a b ，求证：数列}{n b 是等比数列并求其通项公式； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求证：
311121 n
a a a +++
.
正视图
俯视图
N
1
B 1
A
（命题意图：考查数列的通项及非特殊数列利用放缩法求和，属较难题）
20、（本小题满分15分）
（根据嘉兴期末卷第20题改编）已知二次函数()b ax x x f ++=2
2为偶数,()m x x g +-=)13(，
()()()212
≠+=c x c x h .关于x 的方程()()x h x f =有且仅有一根
2
1. (Ⅰ)求c b a ,,的值; (Ⅱ)若对任意的[]1,1-∈x ,()()x g x f ≤恒成立, 求实数m 的取值范围;
(Ⅲ)令()()()x f x f x -+=1ϕ,若存在[]1,0,21∈x x 使得()()()m g x x ≥-21ϕϕ,求实数m 的取值
范围.
（命题意图：考查绝对值不等式，函数图像与性质的综合应用，属较难题）
2016年高考模拟试卷 数学卷（理科）
答题卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
二、填空题：（本大题共7小题，第9——12题每题6分，13——15每题4分，共36分。

） 9. ； ； 10 . ；
11. ； 12 . ；
13. 14. 15.
三、解答题: 本大题共5小题
, 共74分。

解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

学 班级 姓名 考号
2016年高考模拟试卷 数学（理科）
参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。

9 . __[)+∞,2__ _[)2,1-___ _[)+∞,2______ 10 ___1____ _____22
11 .___80_____ _542886++____ 12 ____7-____ __⎥
⎦⎤
⎝⎛--73,53__
13 .____1
9___ 14 ____223-_______ 15 _____4
417-≤<-m _________
三、解答题（本大题有5小题, 共74分） 16．（本题满分14分）
解：（Ⅰ）// ，B B
B 2cos 3)12
cos
2(sin 22
-=-∴ ………………1分 B B 2cos 32sin -=∴ 即 32tan -=B
又B 为锐角 B 2∴),0(π∈ 322π=
∴B 3
π
=∴B ………………3分
)
32sin(sin 2cos cos 2sin )(π
-=-=x B x B x x f ………………5分
2
23
22
2π
ππ
π
π+
≤-
≤-
k x k ∴函数的单调递增区间是⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
-
125,12
πππ
πk k … 7分 （Ⅱ）2,3
==b B π
，有余弦定理ac b c a B 2cos 2
22-+=
得042
2=--+ac c a ………………………………9分
又ac c a 22
2
≥+ 代入上式得：4≤ac （当且仅当2==c a 时等号成立．）…12分 34
3
sin 21≤==∆ac B ac S （当且仅当 2==c a 时等号成立．）…14分
17. （本题满分15分）
解：(Ⅰ)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴BA,BC,BB 1两两垂直.
以BA, BB 1,BC 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则N(4,4,0),B 1(0,8,0),C 1(0,8,4),C(0,0,4) ∵=⋅1NB (4,4,0)·(-4,4,0)=-16+16=0
=⋅11C B (4,4,0)·(0,0,4)=0
∴B N⊥NB 1, B N⊥B 1C 1且NB 1与B 1C 1相交于B 1,
∴B N⊥平面C 1B 1N; ……5分 (Ⅱ)设1n =(x,y,z)为平面NCB 1的一个法向量,
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111NB n n ⇒⎩⎨⎧=-=-+00y x z y x ，取1n =(1,1,2),
)4,4,4(1--=C 则
32
4
11161616)2,1,1()4,4,4(cos =
++⋅++⋅--=
θ; ……10分
(Ⅲ)∵M(2,0,0).设P(0,0,a)为BC 上一点,则=(-2,0,a)，∵M P∥平面CNB 1, ∴⊥1n ⇒.1n =(-2,0,a) .(1,1,2)=-2+2 a =0⇒ a =1. 又MP ⊄平面CNB 1, ∴M P∥平面CNB 1, ∴当BP=1时M P∥平面CNB 1. (15)
分 （注：其它解法看情况给分）
18. （本题满分15分）
解：(Ⅰ)2
2
2
,,2c b a c b a +===，22
=∴b ，∴椭圆方程为12
422=+y x 。

…………………………………………………………4分
(Ⅱ))0,2(),0,2(D C -，设),(),,2(110y x P y M ，则),2(),,(011y OM y x OP ==→
→。

直线CM ：
0042y y y x -=-，即002
1
4y x y y +=，……………………………6分 代入椭圆
422
2=+y x 得 0
42121)81(2
02022
0=-+++y x y x y 。

……………………………………………8分
8)
8(2,8)8(4)2(2
02
0120201+--=∴+-=-y y x y y x ，88200
1+=
∴y y y 。

)88,8)8(2(200
202
0++--=∴→
y y y y OP ，………………………………………………10分
4
832
4888)8(4202020202020=++=+++--=⋅∴→
→
y y y y y y OM OP （定值）。

(Ⅲ)设存在)0,(m Q 满足条件，则DP MQ ⊥。

),2(0y m MQ --=→
，)88,84(200202
0++-=→
y y
y y DP ，…………………………14分
则由0=⋅→
→
DP MQ 得 08
8)2(842020
2020=+--+-y y m y y ，从而得0=m 。

∴存在)0,0(Q 满足条件。

…………………………………………………………15分
（注：其它解法相应给分）
19、（本题满分15分）
（Ⅰ）22122(1)n n n a a +=+-= 2121212[2(1)]141,n n n a a ---+-+=-
21211212114
4334,1133
n n n n n n a a b b a a +-+---
-
===--又11
12.33b a =-= 所以{}n b 是首项为23，公比为4的等比数列，且12
4.3
n n b -=⨯ (5分)
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知121211211
4(21)3333n n n n a b ---=+=⨯+=+，
21212221212(1)(21)1(21).33n n n n n a a ---=+-=+-=-所以11
(2(1))3
n n n a +=+- (10分)
(Ⅲ) ∴2212211121
2,2.3333
n n n n a a --=⋅-=⋅+
21221222121222122122121221
21211332121
3(22)222213(22)3(22)222122n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n
a a ----------+=++-⨯+=⋅+--⨯+⨯+=≤⋅+-⋅
2121
132
2n n
-⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
(12分) 当n ＝2k 时，
1234212111111k k a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
223211
(1)11112
2331222212
k k -⎛⎫≤+++
+=⨯ ⎪⎝⎭-23
332
k =-
< 当n ＝2k －1时，
12342322211111111k k k a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
<123421
2111111k k a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<3
∴ (15分)
20. （本题满分15分）
解 (Ⅰ) 由()()x f x f -=⇒0=a
由()()x h x f =可得：
()0222
=-++-b c cx x c 代入21=x 得：2
149-=c b ① ()()b c c c --=⇒=∆202 ②
联立方程①②解得：32,1=
=c b ∴0=a ，3
2,1==c b .—————3分 (Ⅱ)m x x +-≤+)13(122
当0=x 时，1≥m ————————4分
当1=m 时，[](
)()
=---=+--+x x x x 1321321)13()12(2
22
2
()
()0
1132≤--x x
∴1)13(122+-≤+x x ∴1≥m ——————————7分
(Ⅲ)由题意可知
()()m
x x 3max 21≥-ϕϕ——————————9分
由0=a ，32,1=
=c b 易证明()()2
13
2+≥x x f 在[]1,0∈x 上恒成立， ∴()13
6
122+≥
+x x 在[]1,0∈x 上恒成立； 由(Ⅱ)知1)13(122+-≤+x x 在[]1,0∈x 上恒成立
∴()()1)13(13
6+-≤≤
+x x f x 在[]1,0∈x 上恒成立.
又因为当[]1,0∈x 时, []1,01∈-x ∴
()()1)1)(13(1113
6
+--≤-≤+-x x f x
∴()()()()11)13(1)13(113
6136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ
即()136+≤
≤x ϕ 621min
=⎪⎭⎫
⎝⎛ϕ, ()()1310max max +==ϕϕ
∴()()
613max
21-+=-x x ϕϕm 3≥∴23
31-+≤m .——————15分 另解：
]21)1(21[21)1(212)(2222+-++
=+-++=x x x x x ϕ，
设
)22
,1(),22,
0(),0,(-B A x P ，显然()PB PA x +=2)(ϕ，由下图易知：
()
,
3
min
==+AB PB PA
()
26
22max
+=+=+OB OA PB PA ，
∴
31)(,6)(max min +==x x ϕϕ，
∴()()
613max
21-+=-x x ϕϕm 3≥
∴
233
1-+
≤m .。