2023-2024学年浙江强基联盟高三上学期10月联考数学试题及答案

绝密★启用前
浙江强基联盟2023学年第一学期高三年级
10月联考数学学科试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生须知：1.答题前，务必核对答题卡上条形码中信息是否与本人一致. 2.选择题用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案编号.
3.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写，在试卷上作答无效.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}
{}2680,13A x x x B x x =−+<=−≤≤，下列属于A B 的元素是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.若复数22ai
z i
−=+是纯虚数，则实数a = ( )
A. B. C.2−
D.4−
4.已知向量()()2,4,1,a b x ==，若()()
//2a b a b +−，则a b ⋅=( )
A.10
C.8
D.5.若函数()36,2
,2x ax x f x a a x +≤⎧=⎨+>⎩
是单调递增函数，则实数a 可取的一个值是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
6.近期浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学报名，每位同学只能选一所大学，每所大学至少有一名同学报名，且甲同学不报南京大学，则不同的报名方法共有( )
A ．,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．5π
12,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
8.定义{},max ,,a a b
a b b a b
≥⎧=⎨<⎩.若数列{}n a 的前n 项和为()()2*20n S n n n λλλ=++∈∈R,N ，数列{}
n b 满足()11112,2n n n n n b b b b b +++=−=，令{}max ,n n n c a b =，且3n c c ≥恒成立，则实数λ的取值范围是( )
A.[]4,3−−
B.[]3,2−−
C.21,32⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦
D.23,3⎡
⎤−−⎢⎥⎣
⎦
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是( ) A.若//,//,//,//m m n n αβαβ，则//αβ B.若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥ C.若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥ D.若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ 10.下列说法正确的是( ) A.若随机变量X 服从二项分布()6,B p ，且()2E X =，则()23
D X =
B.随机事件A ，B 相互独立，满足()59P AB =
，()
29P AB =，则()2
5
P B = C.若()()()21,32P A B P B A P A ===，则()1
2
P B =
D.设随机变量X 服从正态分布()()3,,50.8N P X σ<=，则()130.3P X <<=
11.已知抛物线2:4E y x =上的两个不同的点()()1122,,,A x y B x y 关于直线4x ky =+对称，直线AB 与x 轴交于点()0,0C x ，下列说法正确的是( )
A.E 的焦点坐标为()1,0
B.12x x +是定值
C.12x x 是定值
D.()02,2x ∈−
12.已知定义在R 上的函数()22f x −的图象关于直线1x =对称，函数112f x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的图象关于点
()2,0中心对称，则下列说法正确的是( )
A.()()f x f x =−
B.8是函数()f x 的一个周期
C.()20f =
D.()()110f x f x ++−=
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.过圆221x y +=
上点22P ⎛ ⎝⎭的切线方程为 14.8
12x x ⎛⎫
− ⎪⎝⎭
展开式中含2x 项的系数是 15.已知()1sin ,0,43x x ππ⎛
⎫+=∈ ⎪⎝
⎭，则sin 2x =
16.设,,a b c 为正数，a b >，且,a b 为一元二次方程230ax bx c −+=的两个实根，则
()
41
c b b a b +
−的最小值为
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 17.(10分)已知锐角ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，且满足sin sin b C c B += (Ⅰ)求C ;
(Ⅱ)若2c =,ABC △
ABC △的周长.
18.(12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()4583132,32S a a a a =+=+，n ∈*N . (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若1
12n n b −⎛⎫
=− ⎪
⎝⎭
，令n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围.
19.(12分)如图，已知四棱锥P ABCD −，PAD △是边长为4的等边三角形，满足24AB BC ==，AB BC ⊥，//BC AD . (Ⅰ)求证：PC AD ⊥;
(Ⅱ)若PD 与平面ABCD 所成的角为
4
π
，求二面角P CD A −−的余弦值.
20.(12分)已知函数()()()2ln 12.R f x x ax a x a =−+−∈ (Ⅰ)若1a =时，求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)当1
02
a <≤时，求证：()112f x a a ≤−−.
21.(12分)如图所示，已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>
过点(M ，且满足2a b =，O 为坐标
原点，平行于OM 的直线交椭圆E 于两个不同的点,A B .
(Ⅰ)求椭圆E 的方程;
(Ⅱ)直线AM 与x 轴交于点C .证明BMC ∠的内角平分线所在直线与x 轴垂直.
22.(12分)甲口袋中装有2个红球和1个黑球，乙口袋中装有1个红球和2个黑球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n 次这样的操作，记甲口袋中红球个数为n X . (Ⅰ)求()11P X =;
(Ⅱ)求2X 的概率分布列并求出()2E X ;
(Ⅲ)证明：()()()*11
12,3
n n E X E X n n N +=+≥∈.
10月强基数学参考答案 1.答案：C
解析：集合{}24,{|23}A x x A B x x =<<⋂=<≤，故选C 2.答案：B 解析：4(2)5
a a i
z −−+=，由题40,4a a −==
4.答案：A 解析：
)
(3,4a b x +=+，
)
(20,42a b x −=−，因
(
)()
//2a b a b
+−，故420,2x x −==,故选A
5.答案：D
解析：由题266a a a +≥+，解得6a ≥或1a ≤−，故选D 6.答案：C
8.答案：D
解析：220n a n λ=+，111112n n n b b ++−=，12b =，由累加法得2n n b =，由23432, 3.3a b a λ⎢
⎥≥≥∈−−⎢⎥⎣
⎦且b 得
9.答案：BD
A 选项，若m n ∥，则不满足
B 选项，由面面垂直的判定定理推论1知其正确
C 选项，由线面垂直的判定定理知其错
D 选项，由线面垂直的性质定理和其正确 故答案为BD 10.答案：CD A 选项，易知()4
3
D X =
B 选项，易知()59P AB =
，()
2
9P AB =,求解易知5()7
P B =，B 错误 C 选项，由条件概率定义易知()()P A P B = D 选项，由正态分布的知识易得D 正确 故答案为CD 11.答案ABD
易得1212()8x x k y y +=++①，又
12
12
y y k x x −=−−②，又2114y x =③，2224y x =④，将③④代入②可得：12()4k y y +=−，代入①可得124x x +=.∴AB 的中点D 坐标为22,k ⎛
⎫− ⎪⎝
⎭，
则直线AB 的方程为：2(2)y k x k +=−−，令y=0得：022
2x k =−,而D 位于抛物线内部，∴22()428k −<⨯=，
可得
2
2
4k
<,则()02222,2x k =−∈−.综上，正确答案为ABD 故答案为ABD 12.答案：ABC
易得()()222f x f x −=−2，故()()f x f x =−.又1113022f x f x ⎛⎫
⎛
⎫++
−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故()f x 关于点()2,0中心对称.
综上，()f x 的最小正周期为8，显然ABC 对，D 错. 故答案为ABC 13.
答案：y x =解析：由题知，1OP k =−，则1k 切线=
，所以切线方程为y x x ⎛⎫⎛=−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 14.答案：7−
解析：2
x 的系数为()3
558
1172C ⎛⎫
−=− ⎪⎝⎭
15.答案：7
9
−
解析：由题知，)1sin cos 3x x =+，则()2
11sin cos 92x x =+，则27sin 22sin cos 199
x x x ==−=−
16.答案：8
解析：由题知3,b c a b ab a a
+==①②，，由①得23
32a b a a a =<⇒<−，，由②得
2c a b =，，则()()2224114448c a a b b a b b a b a +=+≥+≥−−，当24
123a a a b a
===−且即221a b c ===取“=”，满足题意.，注：：
本题的取等条件比较特殊，恰巧同时满足本题条件）
17.解析：注1）sin sin sin sin sin sin sin b C c B B C C B B C +=+=∴=
-----5分
注2）1sin 42S ab C ab ==== -----7分
又222222cos 4c a b ab C a b =+−∴+=2a b ∴==∴周长6a b c ++=-----------10分 18．解析:注1）()4581322S a a d a =+∴=又31113211,2a a d a a d =+∴=+∴== *21,n a n n N ∴=−∈------------6分
注2）()()1
21
111121135212222n n n n c n T n −−⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=−−∴=+⋅−+⋅−+⋅⋅⋅+−⋅− ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
-----注1）
()2
3
11111352122222n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
−=−+⋅−+⋅−+⋅⋅⋅+−⋅− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
-----(2) 由注1）-(2)得()21
31111121222222n n n T n −⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−−+−+−+⋅⋅⋅+−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
-------8分
化简得4
2123
929n
n T n ⎛⎫⎛⎫=−−⋅−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭------------10分
若n 为偶数时，4
21212,3
92929n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎡⎫=−−⋅+∈− ⎪ ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭-------11分
若为n 奇数时4
2122,139299n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎤=+⋅+∈ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦，因此122,,1299n T ⎡⎫⎛⎤∈−⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦------12分
19.解析：注1）取AD 中点O ，连接,PO CO ，则,,AD PO AD CO PO CO O ⊥⊥=
AD PCO AD PC ∴⊥∴⊥面-----------4分
注2）如图建立空间直角坐标系，()()4,0,0,02,0C D ，，
AD PCO PCO ABCD ⊥∴⊥面面面，， PH CO ⊥，，
则PH ABCD ⊥面PDH ∴∠为PD 与平面ABCD 所成的角.即4
PDH π∠=
---------7分
(P ∴(
)(4,2,0,CD CP =−=−设平面PCD 的法向量为
()
110
,,0
CD n n x y z CP n ⎧⋅=⎪=⎨
⋅=⎪⎩
取(1n =--------9分 平面ABCD 的法向量()20,0,1n =1212
11
cos 11
n n n n θ∂⋅∴==
-------12分 20.解析：注1）定义域()()()()1211
()212x ax f x ax a x x
+−+'∞=
−+−=，0+------2分
()()()1211x x a f x x
+−+'=∴=
，即()f
x 在10,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
递减------4分
注2）()1111ln 21ln 212424f x f a a a a a a ⎛⎫
≤=−−
+−=−+− ⎪⎝⎭
--------6分 转证：11
ln 21142a a a a −+−≤−−即证：1ln 204a a a +
−≥ 设()(]
1
ln ,0,122
h x x x x x =−∈---------8分 ()()2
22
11110222x f x x x x −−'=−−=≤，()()10f x f ≥=1()12f x a a
∴≤−−成立------12分 21.解析注1）2a b =又
22
22
1,48216a b a b +=∴==即：221x y +=164 --------4分
注2）设1:2l y x n =+，则2
22214102x x n x nx n ⎛⎫
++=⇒++−= ⎪⎝⎭
6228，()220n n ∆=−−>484即24,0n n <≠，
设()()1122,,,A x y B x y 则21212,x x n x x n +=−=−228----------6分 设直线,MA MB 的斜率分别为12,k k 则12k k =
=
1
2
2
1
12
y x y x k k −+−+=分
((((1
2
2
1
1
2
2
111
22
y x y x x n x x
n x ⎛⎛−
−+−=+−−++− ⎝⎝2
(()(2121222x x n x x n n n n n =+−+−−=−−−−−282=0---10分 则BMC ∠的角内角平分线是x =分
22．解析：注1）()1224
1339
P X ==⨯=------------3分
(2)2X 可能取0,1,2,3.则()222114
0333381P X ==⨯⨯⨯=;()221111211433333333381P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=
()2122221222212222132
1333333333333333381
P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=
()()()()222241
2101381
P X P X P X P X ==−=−=−==--------------6分
分布列为：
()214
9
E X =
-----------------------------------------8分 注3）()()()()11221221012333333n n n n P X P X P X P X +⎡⎤
===+⨯+⨯=+⨯=⎢⎥⎣⎦
()()()()12221122123333333n n n n P X P X P X P X +⎡⎤
==⨯=+⨯+⨯=+=⎢⎥⎣⎦
()()111
3233
n n P X P X +==⨯=又()()()()01231n n n n P X P X P X P X =+=+=+==
()()()()()()()()1111215
1122330122399
n n n n n n n n E X P X P X P X P X P X P X P X +++=⨯=+⨯=+⨯===+=+=+=
()()()()()1121
11231333
n n n n n E X P X P X P X E X +=+=+=+==+--------12分。