2013高考一轮数学人教A版阶段性测试题8

阶段性测试题八(平面解析几何)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2011～2012·北京四中期中)已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0垂直，则m 的值为( )
A ．－8
B ．0
C ．10
D ．2
[答案] D
[解析] 由条件知，4－m m ＋2
·(－2)＝－1，∴m ＝2.
2．(文)(2011～2012·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学联考)过点P (1,2)的直线l 平分圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋6y ＋1＝0的周长，则直线l 的斜率为( )
A.53 B ．1 C.85 D.4
3 [答案] A
[解析] ∵直线l 平分⊙C 的周长，
∴l 过圆心C (－2，－3)，∴l 的斜率为k PC ＝5
3.
(理)(2011～2012·吉林重点中学一模)过点A (3，－2)的直线l 经过
圆x 2＋y 2－2y ＝0的圆心，则直线l 的倾斜角大小为( )
A ．150°
B ．60°
C ．30°
D ．120°
[答案] D
[解析] 圆x 2＋y 2－2y ＝0的圆心C (0,1)，l 过点A (3，－2)和C ，∴其斜率k AC ＝－3，由tan α＝－3，0<α<π得，α＝120°，故选D.
3．(文)(2011～2012·青岛市期末)点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25内弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )
A ．x ＋y －1＝0
B ．2x ＋y －3＝0
C ．x －y －3＝0
D ．2x －y －5＝0 [答案] C
[解析] 圆心C (1,0)，k PC ＝－1，∴k AB ＝1，排除A 、B 、D ，选C. (理)(2011～2012·延边州质检)过(2,2)点且与曲线x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0相交所得弦长为23的直线方程是( )
A ．3x －4y ＋2＝0
B ．3x －4y ＋2＝0或x ＝2
C ．3x －4y ＋2＝0或y ＝2
D ．x ＝2或y ＝2 [答案] C
[解析] 圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝4的圆心C (－1,1)，半径r ＝2，∵弦长为23，∴C 到直线距离为1，经检验知选C.
4．(文)(2011～2012·泉州五中模拟)若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是( )
A ．4
B ．12
C ．4或12
D ．6
[答案] C
[解析] ∵a 2＝4，∴a ＝2，设左、右焦点分别为F 1、F 2，则由定义知||PF 1|－|PF 2||＝4，∴||PF 1|－8|＝4，
∴|PF 1|＝12或4.
(理)(2011～2012·淄博一模)设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(b >a >0)的半焦距为
c ，直线l 过A (a,0)，B (0，b )两点，若原点O 到l 的距离为3
4c ，则双曲线的离心率为( )
A.23
3或2 B ．2 C.2或23
3 D.23
3
[答案] B
5．(2011～2012·山东苍山县期末)设椭圆x 2m 2＋y 2
n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2
＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )
A.x 212＋y 2
16＝1 B.x 216＋y 2
12＝1 C.x 248＋y 2
64＝1 D.x 264＋y 2
48＝1
[答案] B
[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)， 由条件得⎩⎪⎨⎪
⎧
m 2－n 2＝42m ＝1
2
，∴⎩⎨⎧
m 2＝16
n 2
＝12
，故选B.
6．(文)(2011～2012·东营市期末)已知点P 是抛物线y 2＝－8x 上一
点，设P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋y －10＝0的距离是d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )
A. 3 B ．2 3 C ．6 2 D ．3
[答案] C
[解析] 抛物线y 2＝－8x 的焦点F (－2,0)，根据抛物线的定义知，d 1＋d 2＝|PF |＋d 2，显然当由点F 向直线x ＋y －10＝0作垂线与抛物线的交点为P 时，d 1＋d 2取到最小值，即|－2＋0－10|
2
＝6 2.
(理)(2011～2012·河北五校联盟模拟)直线l 的方向向量为n ＝(4,3)且过抛物线x 2＝4y 的焦点，则直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为( )
A.858
B.12524
C.12512
D.38524 [答案] B
[解析] 由条件知，k l ＝3
4，又l 过抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，∴l 的方程为y －1＝3
4x ，即3x －4y ＋4＝0，
由⎩⎨⎧
3x －4y ＋4＝0x 2
＝4y
解得l 与抛物线两交点坐标为A (－1，1
4)，B (4,4)， 故所求面积S ＝⎠⎜⎛-1
4
(34x ＋1－14x 2)d x
＝(38x 2＋x －112x 3)|4－1
＝12524.
7．(2011～2012·大庆铁人中学期末)将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是( )
A ．(4，－2)
B ．(4，－3)
C ．(3，32)
D ．(3，－1)
[答案] A
[解析] 解法一：由条件知，点(10,0)与(－6,8)关于折线对称，故折线过点(2,4)，斜率k ＝－
18
－6－10
＝2，故折线所在直线方程为y －4＝2(x －2)，即2x －y ＝0，与点(－4，2)重合的点M 和点(－4,2)的中点
应在直线2x －y ＝0上，经检验知，只有A 适合，故选A.
解法二：设与点C (－4,2)重合的点为D ，
又A (10,0)，B (－6,8)，则必有AB ∥CD ，∴k AB ＝k CD ， ∵k AB ＝－12，∴k CD ＝－1
2，经检验知，只有A 适合．
8．(文)(2011～2012·浙江六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.x 24－y 2
5＝1 B.x 25－y 2
4＝1 C.x 23－y 2
6＝1 D.x 26－y 2
3＝1
[答案] B
[解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a x ，圆C 的圆心C (3,0)，半径r ＝2，
由条件知⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2＋
b 2＝93b
a 2＋b
2＝2，∴⎩⎨⎧
b 2＝4a 2
＝5
.
(理)(2011～2012·青岛市期末)以双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线( )
A ．相交
B ．相离
C ．相切
D ．不确定
[答案] C
[解析] 双曲线的焦点F (－c,0)到渐近线y ＝b
a x 的距离为d ＝|－bc |a 2
＋b
2
＝b ，故⊙F 与渐近线相切．
9．(2011～2012·厦门市质检)抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为( )
A ．1 B.3
2 C ．2 D.52
[答案] D
[解析] ∵点P (2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m ，
∴m ＝4，P 到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F 到准线距离为2，∴M 到抛物线准线的距离为d ＝3＋22＝52.
10．(2011～2012·北京四中期末)曲线x 2＋y |y |＝1与直线y ＝kx 有且仅有两个公共点，则k 的取值范围是( )
A ．[－1,1]
B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C ．(－1,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[答案] C
[解析] 方程x 2
＋y |y |＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝1y ≥0
或⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－y 2＝1y <0，其图形
如图，若直线y ＝kx 与此曲线有且仅有两个公共点，则－1<k <1.
11．(文)(2011～2012·重庆市期末)将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是()
A．相交B．相切
C．相离D．相交或相切
[答案] B
[解析]直线x＋y－1＝0的斜率k＝－1，∴倾斜角为135°，故直
线l的倾斜角α＝135°＋15°＝150°，斜率k l＝tanα＝－
3
3，方程为y＝
－
3
3(x－1)，即x＋3y－1＝0，
∵圆心C(－3,0)到直线l距离d＝2，∴直线与圆相切．
(理)(2011～2012·滨州市沾化一中期末)设双曲线的一个焦点为F，
虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是()
A. 2
B. 3
C.3＋1
2 D.
5＋1
2
[答案] D
[解析] 设F (c,0)，B (0，b )，则k FB ＝b
－c ，
由条件知b a ·(－b
c )＝－1，
∴b 2＝ac ，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－ac ＝0， ∴e 2
－e －1＝0，∵e >1，∴e ＝5＋12.
12．(文)(2011～2012·河北五校联盟月考)已知P 是双曲线x 24－y 2
b 2＝1(b >0)上一点，F 1、F 2是左右焦点，△PF 1F 2的三边长成等差数列，且∠F 1PF 2＝120°，则双曲线的离心率等于( )
A.357
B.352
C.27
D.72
[答案] D
[解析] 由条件知，2|PF 1|＝|PF 2|＋|F 1F 2|，a ＝2， 设|PF 2|＝t ，则|PF 1|＝4＋t ，
∴|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos120°＝t 2＋(4＋t )2－2×t (4＋t )·(－12)＝3t 2＋12t ＋16.
由2|PF 1|＝|PF 2|＋|F 1F 2|得，|F 1F 2|＝t ＋8， ∴3t 2＋12t ＋16＝(t ＋8)2， ∵t ≥0，∴t ＝6.∴|F 1F 2|＝14，∴e ＝7
2.
(理)(2011～2012·河北衡水中学一调)已知双曲线x 29－y 2
16＝1，其右焦点为F ，P 为其上一点，点M 满足|MF →|＝1，MF →·MP →＝0，则|MP →|的最小值为( )
A ．3 B. 3 C ．2 D. 2
[答案] B
[解析] ∵|MF
→|＝1，F 为定点，∴点M 在以F 为圆心，1为半径的圆上，又P 在双曲线上，设P (x 0，y 0)，则
x 209－y 2016＝1，∴y 2
0＝169x 20－16，
∵MF →·MP →＝0，∴MF ⊥MP ，∴|MP →|2＝|PF |2－|MF |2＝(x 0－5)2＋y 20
－1＝(x 0－5)2＋169x 20－17＝259x 20－10x 0＋8＝259(x 0－95)2－1，∵x 0≤－3或x 0≥3，
∴|MP →|2min ＝3，∴|MP →|min
＝ 3. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．(文)(2011～2012·泉州五中模拟)已知直线的倾斜角的余弦值是1
2，则此直线的斜率是________．
[答案]
3
[解析] 设直线的倾斜角为α，则cos α＝1
2，0<α<π，∴sin α＝
1－cos 2α＝32，∴tan α＝sin α
cos α＝ 3.
(理)两平行直线x ＋ay －a －1＝0与2x ＋a 2y ＋5＝0之间的距离是________．
[答案] 72或115
10
[解析] ∵两直线平行，∴当a ≠0时，12＝a a 2≠－a －1
5，∴a ＝2，此时两直线方程为x ＋2y －3＝0与2x ＋4y ＋5＝0，∴距离为d ＝
|－6－5|22
＋4
2
＝
11510，当a ＝0时，两直线方程为x ＝1或x ＝－5
2，此时两平行直线之间的距离为d 1＝1－(－52)＝72.
14．(文)(2011～2012·浙江温州一测)已知双曲线x 24－y 2
b 2＝1(b >0)的离心率为2，则它的一焦点到其中一条渐近线的距离为________．
[答案] 2 3 [解析] 由条件知，
4＋b 2
2
＝2，∴b 2
＝12，∴b ＝23， ∴一焦点F (4,0)到一条渐近线y ＝3x 的距离d ＝2 3.
(理)(2011～2012·黄冈市期末)已知直线ax ＋y ＋2＝0与双曲线x 2－y 2
4＝1的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是________．
[答案]
255
[解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，由条件知a ＝±2，∴两平
行线2x ＋y ＋2＝0与y ＝－2x 之间的距离是d ＝
25
＝255. 15．若方程x 2sin2α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么α的取值范围是________．
[答案] ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2k π＋7π6，2k π＋3π2，k ∈Z [解析] 根据题意知，⎩⎨⎧
－1cos α>1sin2α
cos α<0
sin2α>0
，
化简得，⎩⎨
⎧
－1≤sin α<－1
2cos α<0
.
解得α∈⎝
⎛
⎭⎪⎫2k π＋76π，2k π＋32π(k ∈Z )． 16．(文)(2011～2012·山东苍山县期末)已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．
[答案] x 24－y 2
12＝1
[解析] 在⊙C 方程中，令x ＝0得y 2－4y ＋8＝0无解，令y ＝0得x 2－6x ＋8＝0，∴x ＝2或4，故双曲线方程中a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝12，
∴双曲线的标准方程为x 24－y 2
12＝1.
(理)(2011～2012·深圳一调)已知抛物线y 2＝8x 的准线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2
＝1相切，则双曲线C 的离心率e ＝________.
[答案] 5
2
[解析] 抛物线的准线l ：x ＝－2与双曲线C 相切， ∴a ＝2，∴c 2
＝a 2
＋b 2
＝5，∴e ＝c a ＝5
2.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)(文)已知圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0和直线kx －y －4k ＋3＝0.
(1)证明不论k 取何值，直线和圆总有两个不同交点；
(2)当k 取什么值时，直线被圆截得的弦最短？并求这最短弦的长． [解析] (1)证明：由kx －y －4k ＋3＝0得(x －4)k －y ＋3＝0.
∴⎩⎨
⎧
x －4＝0，－y ＋3＝0.
直线kx －y －4k ＋3过定点P (4,3)．
由x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0，即(x －3)2＋(y －4)2＝4， 又(4－3)2＋(3－4)2＝2<4，∴点P 在⊙C 内， ∴直线和圆总有两个不同的交点．
(2)k PC ＝3－4
4－3＝－1.可以证明与PC 垂直的直线被圆所截得的弦最
短，因此过P 点斜率为1的直线即为所求，
其方程为y －3＝x －4，即x －y －1＝0. |PC |＝|3－4－1|2＝2，
∴|AB |＝2
|AC |2－|PC |2＝2 2.
[点评] 当点P 在⊙C 内时，过点P 的所有直线l 中，当l ⊥PC 时，l 被⊙C 截得的弦长最短．证明如下：
如图，P 在⊙C 内，直线AB 过P ，且AB ⊥PC ，直线DE 是过P 与PC 不垂直的任意一条弦(不是直径)，过C 作CM ⊥DE ，垂足为M ，则PC >CM ，∴PC 2>CM 2，∵CD 2＝CA 2，∴CD 2－CM 2>CA 2－PC 2，∴DM 2>AP 2，∴DM >AP ，∵DE ＝2DM ，AB ＝2AP ，∴DE >AB ，即过点P 的任意与PC 不垂直的弦长，总大于过点P 与PC 垂直的弦长(当DE 为⊙C 的直径时，
DE >AB 显然成立)．
(理)(2011～2012·会昌中学月考)椭圆的两焦点坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆过点M (1，－32)． (1)求椭圆方程；
(2)过点N (－6
5，0)作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于P ，Q 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠P AQ 的大小是否为定值，并说明理由．
[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，由题意
c ＝3，且椭圆过点M (1，－3
2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝31a 2＋34b 2＝1
⇒⎩⎨⎧
a 2＝4
b 2
＝1
，
∴椭圆方程为x 24＋y 2
＝1. (2)设直线PQ ：x ＝ty －6
5，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ty －65
x 2
4＋y 2＝1
消去x 得，(t 2＋4)y 2－125ty －64
25＝0，
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， ∴y 1y 2＝－
64
25(t 2＋4)，y 1＋y 2＝12t
5(t 2
＋4)， 又A (－2,0)，
∴AP →·AQ →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)
＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝(ty 1＋45)(ty 2＋4
5)＋y 1y 2 ＝(t 2
＋1)y 1y 2＋45t (y 1＋y 2)＋16
25＝0，
∴∠P AQ ＝π
2(定值)．
18．(本小题满分12分)(文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P (1，32)．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
[解析] (1)∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为1
2，且经过点P ⎝
⎛
⎭
⎪⎫1，32，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－
b 2a
＝1
21a 2
＋94b 2
＝1
，即⎩⎪⎨⎪
⎧
3a 2－4b 2＝01a 2＋9
4b 2＝1
，解得⎩⎨⎧
a 2＝4
b 2
＝3
，
∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3＝1. (2)∵a 2＝4，b 2＝3， ∴c ＝
a 2－
b 2＝1.
∴椭圆C 的左焦点坐标为(－1,0)．
以椭圆C 的长轴为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，圆心坐标是(0,0)，半径为2.
以PF 为直径的圆的方程为x 2
＋⎝
⎛⎭⎪⎫y －342＝2516，圆心坐标是⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，34，半径为5
4.
∵两圆心之间的距离为(0－0)2＋⎝
⎛⎭
⎪⎫
34－02
＝34＝2－54，
故以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切． (理)已知动圆过定点P (1,0)，且与直线x ＝－1相切． (1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；
(2)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，若OA ⊥OB ，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．
[解析] (1)设圆心M (x ，y )．
由题意知点M 到点P 的距离等于点M 到直线x ＝－1的距离， 故点M 的轨迹C 是以P (1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线． ∴轨迹C 的方程是y 2＝4x .
(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)． 代入C 的方程并整理得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4－2kb k 2，x 1x 2＝b 2k 2. 故y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b ) ＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝4b
k .
由OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2k 2＋4b
k ＝0， 解得b ＝－4k 或b ＝0(舍去)．
此时，直线AB 的方程为：y ＝kx －4k ， 即y ＝k (x －4)．
此时直线AB 过定点(4,0)．
当直线AB 的斜率不存在时，由OA ⊥OB 可知A 、B 两点的坐标分别是(4，－4)、(4,4)．
此时直线AB 也过定点(4,0)． 综上所述，直线AB 恒过定点(4,0)．
19．(本小题满分12分)(文)(2011·广东广州一模)已知直线y ＝－2
上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .
(1)求曲线C 的方程；
(2)若曲线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．
[解析] (1)设P (x ，y )，则Q (x ，－2)， ∵OP ⊥OQ ，∴k OP ·k OQ ＝－1.
当x ≠0时，得y x ·－2
x ＝－1，化简得x 2＝2y .
当x ＝0时，P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故x ≠0. ∴曲线C 的方程为x 2＝2y (x ≠0)． (2)解法一：∵直线l 2与曲线C 相切， ∴直线l 2的斜率存在． 设直线l 2的方程为y ＝kx ＋b ，
由⎩⎨⎧
y ＝kx ＋b ，x 2
＝2y ，
得x 2－2kx －2b ＝0.
∵直线l 2与曲线C 相切，∴Δ＝4k 2
＋8b ＝0，即b ＝－k 2
2.
由(0,2)到直线l 2的距离d ＝|－2＋b |k 2＋1＝12·k 2＋4
k 2＋1
＝1
2(
k 2
＋1＋
3
k 2
＋1
)
≥12×2k 2＋1·
3k 2
＋1＝ 3.
当且仅当k 2＋1＝
3k 2＋1
，即k ＝±2时，等号成立，此时b ＝－
1.
∴直线l 2的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0. 解法二：由x 2＝2y ，得y ′＝x .
∵直线l 2与曲线C 相切，设切点M 的坐标为(x 1，y 1)，其中y 1＝12x 2
1，则直线l 2的方程为：y －y 1＝x 1(x －x 1)，
化简得x 1x －y －12x 2
1＝0. 点(0,2)到直线l 2的距离 d ＝|－2－1
2x 21|x 21＋1＝12·x 21＋4
x 21＋1
＝12(
x 21＋1＋
3x 21＋1
) ≥12×2x 21＋1·
3x 21＋1＝ 3.
当且仅当
x 21＋1＝
3x 21＋1
，即x 1＝±2时，等号成立．
∴直线l 2的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0.
(理)(2011～2012·包头一中期末)已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，
焦点在x 轴上，且经过点A (0,23)，离心率为1
2.
(1)求椭圆P 的方程；
(2)是否存在过点E (0，－4)的直线l 交椭圆P 于点R 、T ，且满足OR →·OT
→＝8.若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由． [解析] (1)设椭圆P 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)． 由题意得：b ＝23，e ＝
c a ＝1
2，
∴⎩⎨⎧
a 2－c 2＝12a ＝2c
，∴c ＝2，a ＝4，
故椭圆P 的方程为x 216＋y 2
12＝1.
(2)假设存在满足题意的直线l .易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，故直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为：y ＝kx －4.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －4x 216＋y 2
12＝1
可得：(3＋4k 2)x 2－32kx ＋16＝0，
则Δ＝(－32k )2
－4(3＋4k 2
)×16>0，∴k 2
>14，
设R (x 1
，y 1
)，T (x 2
，y 2
)，则⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1
＋x 2
＝32k
3＋4k 2
x 1x 2
＝16
3＋4k
2
，
∴y 1y 2＝(kx 1－4)(kx 2－4)＝k 2x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16
＝16k 2
3＋4k 2－128k 2
3＋4k 2＋16＝48－48k 2
3＋4k 2
， ∵OR →·OT →＝8，∴x 1x 2＋y 1y 2
＝8， ∴163＋4k 2＋48－48k 2
3＋4k
2＝8，∴k 2
＝12>14，∴k ＝±22， ∴直线l 的方程为：y ＝±2
2x －4， 故存在直线y ＝±2
2x －4满足题意．
20．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·山东日照模拟)设椭圆C 1
和抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：
(1)12(2)设直线l 与椭圆C 1交于不同两点M 、N ，且OM →·ON →＝0，请问是否存在直线l 过抛物线C 2的焦点F ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由题意(－2,0)，一定在椭圆C 1上， 设C 1方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1，则a ＝2， ∴椭圆C 1上任何点的横坐标|x |≤2. 所以(2，2
2)也在C 1上，从而b 2＝1，
∴C 1的方程为x 24＋y 2
＝1.
从而(3，－23)，(4，－4)一定在C 2上， 设C 2的方程为y 2＝2px (p >0)， ∴p ＝2，即C 2的方程为y 2＝4x . (2)假设直线l 过C 2的焦点F (1,0)．
当l 的斜率不存在时，则M (1，32)，N (1，－3
2)． 此时OM →·ON →＝1－34＝14
≠0，与已知矛盾． 当l 的斜率存在时设为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)代入C 1方程并整理得，(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则
x 1＋x 2＝8k
2
1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2
－41＋4k
2
. y 1y 2＝k (x 1－1)k (x 2－1)＝k 2(x 1x 2－x 1－x 2＋1) ＝－3k 2
1＋4k
2
， ∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴k 2－4＝0，k ＝±2，
∴存在符合条件的直线l 且方程为y ＝±2(x －1)．
(理)(2011～2012·襄阳市调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切，过点P (4,0)且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．
(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB
→的取值范围； (3)若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．
[解析] (1)由题意知e ＝c a ＝1
2，
∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2
＝43b 2，
又b ＝
61＋1
＝3，∴a 2＝4，b 2＝3，
故椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －4)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －4)x 24＋y 2
3＝1
得：(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.
由Δ＝(－32k 2)2－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0得：k 2<14， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
x 1＋x 2＝32k
2
4k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3
①
∴y 1y 2＝k (x 1－4)k (x 2－4) ＝k 2x 1x 2－4k 2(x 1＋x 2)＋16k 2，
∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)·64k 2－124k 2＋3－4k 2·32k 24k 2＋3
＋16k 2＝25－87
4k 2
＋3
∵0≤k 2
<14，∴－873≤－874k 2＋3
<－87
4，
∴OA →·OB →∈[－4，134)，
∴OA →·OB →的取值范围是[－4，134)．
(3)证明：∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E (x 2，－y 2)， 直线AE 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2
x 1－x 2(x －x 1)，
令y ＝0得，x ＝x 1－y 1(x 1－x 2)
y 1＋y 2，
又y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)， ∴x ＝2x 1x 2－4(x 1＋x 2)x 1＋x 2－8
，
由将①代入得：x ＝1，∴直线AE 与x 轴交于定点(1,0)．
21．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·南昌一模)椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12.点P (1，3
2)，A 、B 在椭圆E
上，且P A →＋PB
→＝mOP →(m ∈R )． (1)求椭圆E 的方程及直线AB 的斜率；
(2)当m ＝－3时，证明原点O 是△P AB 的重心，并求直线AB 的方程．
[解析] (1)由e 2
＝1－b 2a 2＝14及1a 2＋9
4b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3，
椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1。

设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由P A →＋PB →＝mOP →得 (x 1＋x 2－2，y 1＋y 2－3)＝m (1，3
2)，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝2＋m y 1＋y 2＝3＋32m
，
又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 22
3＝1，两式相减得 k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－34×x 1＋x 2y 1＋y 2
＝－34×2＋m 3＋32m
＝－12.
(2)由(1)知，点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝2＋m
y 1＋y 2＝3＋3
2m
，
点P 的坐标为(1，3
2)，m ＝－3，
于是x 1＋x 2＋1＝3＋m ＝0，y 1＋y 2＋32＝3＋3m 2＋3
2＝0， 因此△P AB 的重心坐标为(0,0)．
即原点是△P AB 的重心． ∵x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝－3
2， ∴AB 中点坐标为(－12，－3
4)，
又x 214＋y 213＝1，x 224＋y 2
2
3＝1，两式相减得
k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－34×x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，
∴直线AB 的方程为y ＋34＝－12(x ＋12)， 即x ＋2y ＋2＝0.
(理)已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝2 2.记动点P 的轨迹为W .
(1)求W 的方程；
(2)若A 、B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．
[解析] (1)解法1：由|PM |－|PN |＝22知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的右支；其实半轴长a ＝2，半焦距
c ＝2，虚半轴长b ＝
c 2
－a 2
＝2，所以W 的方程为x 22－y 2
2＝1，(x ≥2)．
解法2：设动点P 的坐标为(x ，y )， 则|PM |＝(x ＋2)2＋y 2，|PN |＝(x －2)2＋y 2，
由条件得
(x ＋2)2＋y 2－
(x －2)2＋y 2＝22，
化简得W 的方程为x 22－y 2
2＝1，其中x ≥ 2.
(2)解法1：设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 当AB ⊥x 轴，x 1＝x 2，y 1＝－y 2， 从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21
＝2， 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，与W 的方程联立，消去y 得
(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，
故x 1＋x 2＝2km
1－k 2
，x 1x 2＝m 2
＋2k 2－1
， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 2
1－k 2
＋m 2
＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1
， 因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0，从而OA →·OB →>2 综上，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2. 解法2：设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．
再设直线AB 方程为x ＝my ＋r ，与W 的方程联立，消去x 得(m 2
－1)y 2＋2mry ＋(r 2－2)＝0，
故y 1＋y 2＝－2mr
m 2－1，y 1y 2＝r 2－2
m 2－1
，
所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 1y 2＋(my 1＋r )(my 2＋r ) ＝(m 2＋1)y 1y 2＋mr (y 1＋y 2)＋r 2
＝(m 2＋1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫r 2
－2m 2－1＋mr ⎝ ⎛⎭⎪
⎪⎫－2mr m 2－1＋r 2
＝－2m 2－2m 2－1＝－2－4
m 2－1 .
由x 1x 2>0不难得到0≤m 2<1，
于是OA →·OB
→＝－2－4m 2－1≥－2－(－4)＝2， 当且仅当m ＝0时，上式中“＝”成立．
因此当直线AB 的方程为x ＝r ，即AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2.
22．(本小题满分14分)(文)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，左焦点为F ，点M (x 0,0)且椭圆的长半轴长是－x 0与半焦距的等比中项，OM
→＝4OF →. (1)求椭圆的离心率e ；
(2)过左焦点F 且斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，若OA →·OB →＝－2，求椭圆的方程．
[解析] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1，F (－c,0)，则由条件知，－x 0·c
＝a 2
，∴x 0＝－a 2
c ，即M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2c ，0. 由OM →＝4OF →得，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2
c ，0＝4(－c,0)． ∴a 2c ＝4c ，∴e ＝c a ＝1
2.
(2)设直线AB 的方程为y ＝2(x ＋c )，直线AB 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由(1)可得a 2＝4c 2，b 2＝3c 2.
由⎩⎨
⎧
3x 2＋4y 2＝12c 2y ＝2(x ＋c )
，消去y 得，11x 2＋16cx －4c 2＝0.
x 1＋x 2＝－16c 11，x 1x 2＝－411c 2
.
OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2，
且y 1·y 2＝2(x 1＋c )(x 2＋c )＝2x 1x 2＋2c (x 1＋x 2)＋2c 2. ∴3x 1x 2＋2c (x 1＋x 2)＋2c 2＝－2. 即－1211c 2－3211c 2
＋2c 2＝－2.∴c 2＝1. 则a 2
＝4，b 2
＝3.椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(理)(2011～2012·南通市调研)设A 1、A 2与B 分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0)的左、右顶点与上顶点，直线A 2B 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切．
(1)求证：1a 2＋1
b 2＝1；
(2)P 是椭圆E 上异于A 1，A 2的一点，直线P A 1，P A 2的斜率之积为
－1
3，求椭圆E 的方程；
(3)直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，且OM →·ON →＝0，试判断直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由．
[解析] (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，A 1，A 2与B 分别为椭圆E 的左右顶点与上顶点，
所以A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B (0，b )，直线A 2B 的方程是x a ＋y
b ＝1. 因为A 2B 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切， 所以
11a 2＋1b 2
＝1，即1a 2＋1
b 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)，则直线P A 1，P A 2的斜率之积为
k P A 1·k P A 2＝y 0x 0＋a ·y 0
x 0－a ＝y 20
x 20－a
2
＝－13⇒x 20a 2＋3y 20a 2＝1，而x 20
a 2＋y 2
0b 2＝1，所以b 2
＝13a 2
.
结合1a 2＋1b 2＝1，得a 2＝4，b 2
＝43. 所以，椭圆E 的方程为x 24＋3y 2
4＝1. (3)设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
①若直线l 的斜率存在，设直线l 为y ＝kx ＋m ，
将y ＝kx ＋m 代入x 2
a 2＋y 2
b 2＝1得，x
2
a 2＋(kx ＋m )2
b 2＝1.
化简得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0(Δ>0)． ∴x 1x 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，x 1＋x 2＝－2a 2km
b 2＋a 2k 2，
y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2
＝a 2k 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2
＋km (－2a 2km b 2＋a 2k 2)＋m 2
＝b 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k
2. 因为OM →·ON →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0. 代入得(a 2＋b 2)m 2－a 2b 2(1＋k 2)＝0. 结合(1)的1a 2＋1
b 2＝1，得m 2＝1＋k 2. 圆心到直线l 的距离为d ＝
|m |1＋k
2
＝1，
所以直线l 与圆C 相切．
②若直线l 的斜率不存在，设直线l ：x ＝n . 代入x 2a 2＋y 2
b 2＝1，得y ＝±b 1－n 2
a 2.
∴|n |＝b
1－n 2
a 2，∴a 2n 2＝
b 2(a 2－n 2)．
解得n ＝±1，所以直线l 与圆C 相切．
1．(2011～2012·绥化市一模)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是
( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
[答案] C
[解析] ⊙C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，圆心C (－1,2)在直线2ax ＋by ＋6＝0上，∴a －b －3＝0，由点P (a ，b )向圆引切线，设切线长为l ，则l 2＝|PC |2－r 2＝(a ＋1)2＋(b －2)2－2＝(b ＋4)2＋(b －2)2－2＝2b 2＋4b ＋18＝2(b ＋1)2＋16≥16，∴l ≥4，当b ＝－1，a ＝2时，l min ＝4.
2．(2011～2012·吉林省延吉市质检)若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成7:5的两段，则此双曲线的离心率为( )
A.9
8 B.63737 C.324 D.31010
[答案] C
[解析] 由条件知，b
2＋c c －b 2＝7
5，∴c ＝3b ，
∵c 2
＝a 2
＋b 2
，∴c 2
＝9(c 2
－a 2
)，∴e 2
＝98，∴e ＝32
4.
3．(2011～2012·重庆模拟)双曲线y 2－3x 2＝1的渐近线方程是( )
A ．y ＝±3x
B ．y ＝±1
3x
C ．y ＝±3x
D ．y ＝±3
3x
[答案] C
4．设F 是椭圆x 27＋y 2
6＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1,2,3，…)使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为________．
[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－110，0∪⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，110
[解析] 易知7－1≤|FP n |≤7＋1，若a 1＝7－1，a n ＝7＋1，则a n ＝a 1＋(n －1)d ⇒d ＝a n －a 1n －1＝(7＋1)－(7－1)n －1≤220＝1
10(n ≥21)，
即0<d ≤110，当d <0时，－1
10≤d <0，故有d ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－110，0∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，110. 5．(2011～2012·广东韶关调研)设抛物线C 的方程为x 2＝4y ，M (x 0，y 0)为直线l ：y ＝－m (m >0)上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B .
(1)当M 的坐标为(0，－1)时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；
(2)求证：直线AB 恒过定点(0，m )．
[解析] (1)当M 的坐标为(0，－1)时，设过M 点的切线方程为y ＝kx －1，代入x 2＝4y ，整理得x 2－4kx ＋4＝0，
令Δ＝(4k )2－4×4＝0，解得k ＝±1， 代入方程得x ＝±2，故得A (2,1)，B (－2,1)， 因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2，
从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝4. 易知此圆与直线l ：y ＝－1相切．
(2)证法一：设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过抛物线上点A (x 1，y 1)的切线方程为(y －y 1)＝k (x －x 1)，代入x 2＝4y ，整理得x 2－4kx ＋4(kx 1－y 1)＝0，
Δ＝(4k )2－4×4(kx 1－y 1)＝0， 又因为
x 2
1＝4y 1，所以
k ＝x 1
2.
从而过抛物线上点A (x 1，y 1)的切线方程为y －y 1＝x 1
2(x －x 1)，即y
＝x 12x －x 2
14，
又切线过点M (x 0，y 0)，所以得y 0＝x 12x 0－x 21
4 ① 即y 0＝x 1
2x 0－y 1，
同理可得过点B (x 2，y 2)的切线为y ＝x 22x －x 2
2
4，
又切线过点M (x 0，y 0)，所以得y 0＝x 22x 0－x 22
4 ② 即y 0＝x 2
2x 0－y 2，
即点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均满足y 0＝x
2x 0－y ， 即x 0x ＝2(y 0＋y )，
故直线AB 的方程为x 0x ＝2(y 0＋y )，
又M (x 0，y 0)为直线l ：y ＝－m (m >0)上任意一点，故x 0x ＝2(y －m )对任何x 0成立，所以x ＝0，y ＝m ，从而直线AB 恒过定点(0，m )．
证法二：设过M (x 0，y 0)的抛物线的切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)(k ≠0)，代入x 2＝4y ，消去y 得，x 2－4kx －4(y 0－kx 0)＝0，
Δ＝(4k )2＋4×4(y 0－kx 0)＝0， 即k 2＋x 0k ＋y 0＝0，
从而k 1＝－x 0＋x 20－4y 02，k 2＝－x 0－x 20－4y 0
2， 此时x 1＝2k 1，x 2＝2k 2
，
所以切点A ，B 的坐标分别为A (2k 1，1k 21)，B (2k 2，1
k 22
)，
因为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝x 02，x 1＋x 22＝2k 1＋2
k 22＝k 1＋k 2
k 1k 2＝x 0，
y 1＋y 22＝1k 21＋1
k 22
2＝(k 1＋k 2)2－2k 1k 22(k 1k 2)2
＝x 20－2y 02， 所以AB 的中点坐标为(x 0，x 20－2y 0
2)，
故直线AB 的方程为y －x 20－2y 02＝x 0
2(x －x 0)，即x 0x ＝2(y 0＋y )，
又M (x 0，y 0)为直线l ：y ＝－m (m >0)上任意一点，故x 0x ＝2(y －m )对任意x 0成立，所以x ＝0，y ＝m ，从而直线AB 恒过定点(0，m )．
证法三：由已知得y ＝x 24，求导得y ＝x
2，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
故过点A (x 1，y 1)的切线斜率为k ＝x 12，
从而切线方程为(y －y 1)＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 2
1
4，
又切线过点M (x 0，y 0)，所以得y 0＝x 12x 0－x 21
4 ① 即y 0＝x 1
2x 0－y 1，
同理可得经过点B (x 2，y 2)的切线为y ＝x 22x －x 2
2
4，
又切线过点M (x 0，y 0)，所以得y 0＝x 22x 0－x 22
4 ② 即y 0＝x 2
2x 0－y 2，
即点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均满足y 0＝x
2x 0－y ， 即x 0x ＝2(y 0＋y )，故直线AB 的方程为x 0x ＝2(y 0＋y )，
又M (x 0，y 0)为直线l ：y ＝－m (m >0)上任意一点，故x 0x ＝2(y －m )对任意x 0成立，
所以x ＝0，y ＝m ，从而直线AB 恒过定点(0，m )．。