高考数学一轮同步训练(文科)131坐标系曲线的极坐标方程

第十三章 坐标系与参数方程
第一节 坐标系、曲线的极坐标方程
强加训练当堂巩固
1.已知点P 的极坐标是(1,π),则过点P 且垂直于极轴的直线方程是( )
A.1ρ=
B.ρ=cos θ
C.1
cos ρθ=- D.1cos ρθ
= 答案:C
2.极坐标方程ρ=cos θ化为直角坐标方程为 … ( )
A.220x x y ++=
B.220x x y -+=
C.220x x y +-=
D.220x x y --=
答案:B
解析:由ρ=cos θ,得2ρρ=cos θ,
∴22x y x +=.
3.极坐标方程分别为2ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距为( )
C.答案:B
解析:两圆方程分别为22222x y x x y y +=,+=, 知两圆圆心121(10)(0)2
C C ,,,,
∴|12C C |==
4.在极坐标系中,已知圆C 的圆心坐标为(2)3
C π,,半径R =则圆C 的极坐标方程为.
答案:24ρρ-cos 3()10π
θ--=
解析:方法一:设()P ρθ,是圆C 上的任意一点,则|PC|R ==.
由余弦定理,得22222ρρ+-⨯⨯cos ()53
πθ-=.
化简,得24ρρ-cos ()103
πθ--=, 此即为所求圆C 的极坐标方程.
方法二:将圆心(2)3
C π,化成直角坐标为(1,
半径R =
故圆C 的方程为22(1)(5x y -+-=.
再将圆C 化成极坐标方程,得
(ρcos 21)(θρ-+sin 25θ-=.
化简得24ρρ-cos ()103
πθ--=, 此即为所求圆C 的极坐标方程.
5.已知圆的极坐标方程为ρ=cos 5θ-sin θ,求它的半径和圆心的极坐标.
解:ρ=cos 5θ-sin θ可变化为2ρ=cos 5θρ-sin θ,
化为直角坐标方程为2250x y y +-+=,
即225(()252
x y -++=,
因此该圆的半径为5,圆心的直角坐标为5)2, 所以圆的半径为5,圆心的极坐标为(5)6
π,-. 课后作业巩固提升
见课后作业A
题组一 平面直角坐标中的伸缩变换
1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 53x x y y '=,⎧⎨'=⎩
后,曲线C 变为曲线x′2y +′21=,则曲线C 的方程为.
答案:222591x y +=
解析:∵x′=5x,y′=3y,
又x′2y +′21=,
∴22(5)(3)1x y +=,
即222591x y +=.
2.在同一平面直角坐标系中,将直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4,则满足图象变换的伸缩变换为.
答案: 4x x y y
'=,⎧⎨'=⎩ 解析:设变换为(0)(0)x x y y λλμμ'=⋅>,⎧⎨'=⋅>,⎩
则 24x y λμ-=,即22x y μ
λ-=. 又∵x-2y=2,
∴14λμ=,=,
即 4x x y y '=,⎧⎨'=.
⎩题组二 极坐标与直角坐标的互化
3.在极坐标系()(02ρθθ,≤<π)中,曲线(ρcos θ+sin )1θ=与(ρsin θ-cos )θ=1的交点的极坐标为
. 答案:(1)2
π, 解析:(ρcos θ+sin )1θ=化为直角坐标系下的方程为x+y=1,
(ρsin θ-cos )1θ=化为直角坐标系下的方程为y-x=1,
故交点满足 11x y y x +=,⎧⎨-=,⎩
解之,得x=0,y=1. 即 sin 1cos 0ρθρθ=,⎧⎨=,
⎩∵02θ≤<π,故12πρθ=,=. 4.在极坐标系中,已知圆2ρ=cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求实数a 的值.
解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为222x y x +=,
即22(1)1x y -+=,直线方程为3x+4y+a=0.
由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,即有22134=,+
解得a=-8,或a=2.故a 的值为-8或2.
5.极坐标方程25ρ=cos θ化为直角坐标方程为.
答案:22525()416x y -+= 解析:由25ρ=cos θ,
得225ρρ=cos θ,
即22225x y x +=,
故22525()416x y -+=.
6.在极坐标系中,方程ρsin 4()2π
θ-=的直角坐标方程为.
答案:x-y+2=0
解析:ρsin ()4πθρ-=sin θcos 4πρ-cos θsin 24π=,
∴22
222y x -=,即x-y+2=0.
7.在极坐标系中,圆心在(2,π)且过极点的圆的方程为.
答案:22ρ=-cos θ
解析:如图,
O 为极点,OB 为直径,圆上任意一点()A ρθ,,
则90ABO θ∠=-22sin(90)OB ρ
θ,==,-化简得22ρ=-cos θ.
题组三
极坐标的应用
8.极坐标方程分别为4ρ=cos θ和3ρ=-sin θ的两个圆的圆心距为.
答案:52
解析:两圆方程分别为222243x y x x y y +=,+=-,
知两圆圆心123(20)(0)2C C ,,,-,
∴|12C C |22352()22=+=. 9.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4ρ=cos θ于A 、B 两点,则|AB|=.
答案:23
解析:曲线的直角坐标方程是224x y x +=,
直线的直角坐标方程是x=3,
圆心到直线的距离为1,
圆的半径为2,
故直线被圆所截得的弦长为2222123-=.
10.两直线ρsin ()4πθ+=2 008ρ,sin ()24
πθ-= 009的位置关系是(判断垂直或平行或斜交).
答案:垂直
解析:两直线方程可化为x+y=20082y x ,-=20092,故两直线垂直.
11.在极坐标系中,直线l 的方程为ρsin 3θ=,则点(2)6
π,到直线l 的距离为. 答案:2
解析:直线l 的极坐标方程为ρsin 3θ=,化为直线方程得y=3;点(2)6
π,化为直角坐标即为(31),,于是点(2)6
π,到直线l 的距离为2. 12.直线l:ρsin 2()42
πθ+=与圆r ρ=相切,则r 的值是. 答案:22
解析:化ρsin 2()42
πθ+=为直角坐标方程得x+y=1,圆r ρ=化为直角坐标方程得222x y r +=,依题意得圆心(0,0)到直线的距离为2212211d r |-|==
=,+得22r =.。