小学,初中,高中,大学数学知识体系概要 知乎

小学,初中,高中,大学数学知识体系概要知乎
小学数学涉及的是生活中的一些简单的数学现象，对应的数学知识则是最基本的数学对象及其关系，主要包括正整数间的四则运算和序关系，小学数学也就是我们常说的算术。

小学数学是学科的起始阶段，是依赖于生活经验的阶段，此时知识体系还不完备成熟。

初中数学中数的范围已经扩展到了实数，作为实数的几何模型，数轴的引入也使得几何中对直线的研究变得自然，这也就导致了平面几何中对直线型的研究。

用字母表示数的思想方法，建立了数学的抽象语言体系，使得方程的思想和函数的思想成为可能，并且得到了重要的应用。

方程思想的引入使得小学中那些通过归纳总结得出的解答常见应用问题的重要公式成为了平凡的结果，因为现在对于那些问题只需要通过设元、列方程、解方程即可水到渠成的得到解答，而不再需要按不同的问题使用不同的公式来求解，换言之，方程思想成为了解那些常见应用问题的通用方法。

另外函数思想的引入则又将方程和不等式的思想方法推到了高潮，这时可以通过函数的变化情况以及在函数图像的辅助下从整体上将问题分析的明白无误。

函数思想所体现的以运动变化的观点看待世界，使得我们可以用点的轨迹来描述曲线，于是“到
定点的距离等于定长的点的轨迹”这一简单而又非凡的曲线——圆进入了几何的世界，直线型与圆一起就构成了平面几何的基本内容，平面几何是建立在以生活经验为依据的欧几里德关于几何的几条公理之下。

平面几何的引入加强了数学的逻辑推理，摆脱了数学当中纯粹的简单运算的局面。

初中数学的内容还是紧密联系现实生活的。

比如解方程的结果还基本上处于生活实际中数的范畴，几何中“三角形的两边之和大于第三边”以及平行四边形的不稳定性等也是以生活经验为依据的。

尤其是欧几里德关于平面几何的第五公设，认为“过直线外一点有一条直线与已知直线平行”更是以生活经验为依据做出的假设，后来，数学家们发现在这公设之外，仍然存在其它的可能，这导致了球面几何和双曲几何的诞生。

所以在这方面初中数学和小学数学一样，在很大程度上是沿着生活经验前行的，它们都属于经验数学这一阶段。

高中数学中数的范围进一步扩大到复数域，但基本还是在实数域的范围内考虑问题，引入了集合的语言，对函数的研究进入了正轨，三角函数是在初中
锐角三角函数的基础上延拓到任意角的，指数函数是在初中整数指数幂的基础上延拓到任意指数幂的，再由反函数的定义方式就得到了反三角函数和对数函数。

而作为特殊的函数。

定义在正整数集合上的数列因为其特殊性也占据了重要的角色。

向量是一种新的处理几何问题的方式，它的引入使得用代数方法解决几何问题成为了趋势。

解析几何表明可以用代数的方法处理几何问题，从而减少了依赖于几何直观的直接处理，而进一步增强了代数演绎推理的作用。

平面解析几何方面仍然考虑的是一次曲线和二次曲线的范畴，但增加了圆锥曲线的内容，使得对二次曲线的学习更加完备。

立体几何强调了公理化的系统，同时作为平面几何的推广，也可以归结到用向量方法进而通过解析几何的方法代数化处理的情况。

另外任意角的三角函数的引入和向量方法的应用，使得解任意三角形得到完满的结果，而初中平面几何尚只能解直角三角形。

导数的引入使得确定函数的大致图像和整体性质变得简单可操作，这也是对初中数学中函数内容的深化。

高中数学是初中数学的进一步发展，高中的数学不再有明显的经验数学的痕迹，更多的是理论层面的内容。

初中用字母表示数的代数语言和高中引入的集合语言基本奠定了数学的语言体系，它们使得数学能处理一般性的问题，也使得数学表现得更加的抽象。

当然，数学的学习和研究都是连续的积累的过程，大学数学也是在中学数学内容的基础之上的。

除了对数系的公理化定义构造，使得数学分析中的极限过程得以严格处理之外，线性代数中的想法也基本是向量方法的推广和发展，抽象代数的幺半群，群，环，域可以看成是各种数系抽象化的结果，伽罗华理论则是解一次和二次方程向解高次代数方程的进一步发展，微分几何和微分方程则是用分析方法处理问题的后续等等。

大学数学与中小学数学在学科体系上有着明显的区别，大学数学正式明确提出公理化的定义，强调数学本身的严密性，强调数学本身的独立性。

大学的数学不再尝试去直接描述生活中的事物导致的数学
现象，而是试图通过数学的语言体系构建出一个模型来契合这种现象。

所以，大学的数学才已经是一门严密成熟的学科了。

例如在大学以前对于正整数集，我们知道它里面的抽象符号系统1，2，3，…但是当问到这些数字本身是什么时？我们就无能为力了，必须将这些数字还原到生活实际中，然后结合实例来解释它们的含义，但是大学数学中则可以完全通过公理化来定义出正整数集，使得它与从生活实际中产生的我们称之为正整数集的系统拥有同样的性质。

这样每个正整数真正成为数学的对象，拥有数学本身的严格含义。

这个例子中正整数集的构造就是通过所谓的皮亚诺公理进行的，有了正整数集，再通过代数运算的封闭性，就可以得到整数集，继而得到有理数集，然后通过戴德金分割法或者康托数列收敛法，就能构造出我们在数学分析中需要的实数集。

最后，无论是哪一阶段的数学，它们都是建立在公理假设和逻辑推理的基础之上的，所以，我们知道科学是可以证伪的，但是数学就不会出现这样的问题，数学从来就是标准的，它是所有学科的典范。

正如亨利·戴维·梭罗所说，“对于任何真理，如果想要用
最明确、最优美的语句来表述它，就得借助数学的语言。

”。