电路方程的矩阵形式

1
①
2 5 4
④ ③
3 6 3 0 0 1 -1 4 -1 0 0 1
支 节 1 Aa= 2 3 4
1 1 -1 0 0
2 3 4 5 6 0 0 -1 0 1 -1 0 0 1 0 1 1 0 0 -1 0 -1 1 -1 0
支 节 1 1 1 Aa= 2 -1 3 0 4 0
2 0 -1 1 0
为树， 选 4、5、6为树，连支顺序为 、2、3。 、 、 为树 连支顺序为1、 、 。
４ ５
2
２
３3 ６ 1
1
支 回 4 5 6 1 1 -1 0 B = 2 1 -1 1 3 0 1 -1 Bt = [ Bt 1 ]
1
1 0 0
2
0 1 0 Bl
3
0 0 1
设
[ u] = [ u4 u5 u6 u1 u2 u3 ]T 123 123 4 4 4 4
② ② ②
1
①
2 5 4 3
④ ③ ①
1 5 4
2
③ ①
1 5 4
2
③
3
④
3
④
6 Q1: { 2 , 3 , 6 }
6 Q2: { 3 , 5 , 4}
6 Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
单树支割集 单树支割集 1
独立割集 独立割集 3
2 {1，2，3，4} 1 2 3
4 割集 三个分离部分
设
[i ] = [ i4 i5 i6 i1 i2 i3 ]T
矩阵形式的KCL： Qi ： 矩阵形式的
ut=[ u4 u5 u6 ]T
=0
矩阵形式的KCL的另一种形式 的另一种形式 矩阵形式的
it = −Q l il
Qi =0 可写成
[Q t it it Q l ] = [1 Q l ] = 0 il il
4
4 保留4支路，图不连通的。 保留 支路，图不连通的。 支路
{1，2，3，4} 割集
关联矩阵、回路矩阵、 §15- 2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
关联矩阵A 一. 关联矩阵 一条支路连接于某两个结点， 一条支路连接于某两个结点，则称该支路与这两 个结点相关联。 个结点相关联。 用矩阵形式描述节点和支路的关联性质 用矩阵形式描述节点和支路的关联性质 节点 关联矩阵
４ ３ ２ 1 ６ ５
Q = { q i j } n-1 × b
基本割集数 支路数
割集方向与树支方向相同。 约定 (1) 割集方向与树支方向相同。 (2)支路排列顺序先树 连)支, 后连 树)支。 支路排列顺序先树(连 支 后连(树 支 支路排列顺序先树 1 j支路在割集 中且与割集 方向一致 支路在割集i中且与割集 支路在割集 中且与割集i方向一致
5 0 1 0 -1
6 1 0 -1 0
支 节 1 A= 2 3
1 1 -1 0
2 3 4 5 6 0 0 -1 0 1 -1 0 0 1 0 1 1 0 0 -1
每一支路， 每一支路，连接在两个节 点上， 点上，必然要背离一个节 指向另一节点。 点，指向另一节点。 设④为参考节点
称A为降阶关联矩阵 (n-1)×b ， 为降阶关联矩阵 × 表征独立节点与支路的关联性质
i1 i2 i3
连通图 图 不连通图 + 抽象 不连通图
+ 二 . 名词和定义 1. 图 G={支路，节点 支路， 支路 节点}
抽象 连通图 ① １ 允许孤立节点存在 ②
2.子图 子图
路径：从图 的一个节点出发沿着一些支路 路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路 连续移动到达另一节点所经过的支路构成路经。 连续移动到达另一节点所经过的支路构成路经。 3. 连通图 图G的任意两节点间至少有 的任意两节点间至少有 一条路经时称G为连通图 为连通图。 一条路经时称 为连通图。 4.有向图 有向图 图中的方向表示原电路中支路电压和 电流关联参考方向 关联参考方向。 电流关联参考方向。
矩阵形式KVL 矩阵形式
u1 u2 u3 u4 u5 u6
支路电压
A un = u
T
结点电压
基本回路矩阵B 二. 基本回路矩阵 用矩阵形式描述基本回路 支路的关联性质 基本回路和 用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质
４ ３ ２ 1 ６ ５
三. 回路 回路L是连通图 的一个子图 回路 是连通图G的一个子图。 是连通图 的一个子图。 具有下述性质 (1)连通； 连通； 连通 (2)每个节点关联支路数恰好为 。 每个节点关联支路数恰好为2。 每个节点关联支路数恰好为
1 7 6
2 5 8
3 4
2
3
1 7
2 5 8 4
5 回路
不是回路
四 . 树 (Tree)
②
1
①
2 5 4
④ ③
3 6
支 节 1 A= 2 3
1 1 -1 0
2 3 4 5 6 0 0 -1 0 1 -1 0 0 1 0 1 1 0 0 -1
设:
i1 i 支路电流 2 i3 [i ] = i4 i5 i6
u1 u 支路电压 2 u3 [u ] = u4 u5 u6
B = { b ij} l×b
基本回路数 支路数 约定： 约定： 1. 回路的绕行方向取连支电流方向。 回路的绕行方向取连支电流方向。 2. 支路排列顺序为先连 树)支后树 连)支。 支路排列顺序为先连(树 支后树 支后树(连 支
bij=
1 支路 在回路 中且与回路 关联，方向一致 支路j在回路 中且与回路i关联 在回路i中且与回路 关联， -1 支路 在回路 中且与回路 关联，方向相反 支路j在回路 中且与回路i关联 在回路i中且与回路 关联， 0 支路j 不在回路i中 支路 不在回路 中
Aa={aij}n × b
节点数 支路数
aij
aij = 1 有向支路 j 与节点 i 关联且背离节点 i 有向支路 关联且背离 背离节点 指向节点 aij= -1 有向支路 j与节点 i 关联且指向节点 i 有向支路 与节点 关联且指向 aij =0 j 支路与i节点无关 支路与 节点无关 节点
②
②
2 2 1
③
②
1
①
5 4 6 3
④
5 4 6 Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
①
③
3
④
②
②
②
1
①
2 5 4 3
④ ③ ①
1 5 4
2
③ ①
1 5 4 6
2
③
3
④
3
④
6 Q2: { 2 , 3 , 6 }
6
Q3: { 1 , 5 , 4}
Q4: { 1 , 5 , 2 }
由于KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说， 适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说， 由于 适用于任何一个闭合面 组成割集的所有支路的电流应满足KCL。 组成割集的所有支路的电流应满足 。 对于一个连通图，可有多个割集， 对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数相等 方程。 的KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。 方程 这些方程彼此之间并不独立。 借助于“ 借助于“树”来确定独立割 集
第15章 电路方程的矩阵形式 章
本章重点 （1）图的矩阵表示 ） 关联矩阵A 单连支回路矩阵 单树支割集矩阵 单连支回路矩阵B 单树支割集矩阵Q 关联矩阵 （2）矩阵形式的 KCL、KVL ） 、 （3）节点电压方程、回路电流方程的矩阵形式 ）节点电压方程、
图的基本概念
抽象 i1 i2 i3 i1 i2 i3 + 抽象 一. 图的基本概念 L uS R1 抽象 R2 C 抽象 无 向 图 有 向 图 支路 Σi = 0
是连通图G的一个子图 树T是连通图 的一个子图，具有下述性质： 是连通图 的一个子图，具有下述性质： (1)连通； 连通； 连通 (2)包含 的所有节点和部分支路； 包含G的所有节点和部分支路； 包含 (3)不包含回路。 不包含回路。 不包含回路
16个 个 树支： 树支：组成树的支路 连支：属于 而不属于 而不属于T的支路 连支：属于G] = n 2 un3
②
1
①
2 5 4
④ ③
Ai =
3 6
1 0 0 -1 0 1 -1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1
i1 − i4 + i6 = − i1 − i2 + i5 i 2 + i 3 − i6
矩阵形式的KCL 矩阵形式的 B=[ Bt 1 ]
BT il = i
B T BT = t 1
B T it t il = il 1
it = B i
T t l
KCL的另一种形式 用连支电流表示树支电流 的另一种形式
基本割集矩阵Q 三. 基本割集矩阵 用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质 用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质 基本割集
树支数 bt= n-1 连支数 bl=b-(n-1) 单连支回路（基本回路） 单连支回路（基本回路） 4 1 3 2 7 单连支回路 独立回路 5 6 树支数 4 连支数 3 1 5 4
§15-1. 割集
一、割集定义
割集Q是连通图 中一个支路的集合，具有下述性质： 割集 是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质： 是连通图 中一个支路的集合 (1) 把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分； 中全部支路移去，将图分成两个分离部分； 两个分离部分 (2)保留 中的一条支路，其余都移去， G还是连通的。 保留Q 中的一条支路，其余都移去， 还是连通的 还是连通的。 保留
=0
i1 i2 i3 i4 i5 i6
矩阵形式的KCL 矩阵形式的
Ai= 0
②
1
①
2 5 4
④ ③
3 6
支 节 1 A= 2 3
1 1 -1 0
2 3 4 5 6 0 0 -1 0 1 -1 0 0 1 0 1 1 0 0 -1
un1 − un 2 1 −1 0 − u + u 0 −1 1 n3 u n2 un 3 n1 0 0 1 = un 2 = − u 0 n1 − 1 0 un 3 un 2 0 1 0 un1 − un 3 0 − 1 1
qij=
-1 j支路在割集 中且与割集 方向相反 支路在割集i中且与割集 支路在割集 中且与割集i方向相反 0 j 支路不在割集 中 支路不在割集i中
４ ３ ２ 1
５
Q1:{1,2,4} 割集 Q1 Q= Q2 Q3 支4 1 0 0
Q2:{1,2,3,5}
Q3:{2,3,6}
5
6
1
2
3
６
0 0 -1 -1 0 1 0 1 1 -1 0 1 0 -1 1 Qt Ql
用连支电流表示树支电流
it = −Q l il
回路矩阵表示时
it = B i
T t l
回路矩阵和割集矩阵的关系
Q l = −BT t
４ ３ ２ 1
５
６
u4 0 0 u4 1 u 0 u5 1 0 5 u4 u6 0 1 u6 0 − 1 1 u5 = − u + u = u 0 4 5 1 u6 − u4 + u5 − u6 u2 − 1 1 − 1 − u + u u 0 −1 1 3 5 6
ut ul
矩阵形式的KVL 矩阵形式的
[ i ] = [ i4 i5 i6 i1 i2 i3 ]T
Bu=0
４ ３ ２ 1
５
６
1 0 i1 + i2 i4 1 − i − i + i i5 − 1 − 1 1 i1 1 2 3 1 − 1 i2 − i3 i6 0 i2 = = 1 0 0 i1 i1 i3 1 0 i2 i2 0 i 0 0 1 i3 3
二、单树支割集（基本割集） 单树支割集（基本割集） 连支集合不能构成割集。即使所有连支都去掉， 连支集合不能构成割集。即使所有连支都去掉，剩下 的树支仍然构成连通图，与割集的定义矛盾。 的树支仍然构成连通图，与割集的定义矛盾。 由一条树支和部分连支可以构成割集。对于一个有 个 由一条树支和部分连支可以构成割集。对于一个有n个 节点和b条支路组成的电路，树支数有（n-1）个，因此可 节点和 条支路组成的电路，树支数有（ ） 条支路组成的电路 基本割集组。 以构成（ ）单树支割集。称之为基本割集组 以构成（n-1）单树支割集。称之为基本割集组。