2020届浙江省湖州市高三上学期期末数学试题(解析版)

2020届浙江省湖州市高三上学期期末数学试题
一、单选题
1．若集合{}|12A x x =<<，集合{}
|224x
B x =≤<，则A B =U （ ）
A ．()1,2
B ．[)1,2
C ．[)0,2
D ．()0,2
【答案】B
根据指数不等式的求解方法求出B 再求并集即可. 【详解】
易得{
}{
}{}12
|224|222
|12x
x B x x x x =≤<=≤<=≤<.故
A B =U {}|12x x ≤<.
故选：B
本题主要考查了指数不等式的求解以及并集的运算,属于基础题型. 2．已知复数4212i
z i
+=
-（i 为虚数单位），则复数z 的模z =（ ）
A ．1 B
C ．2
D ．4
【答案】C
根据复数模长的性质求解即可. 【详解】
由题
422221212i i z i i ++====--. 故选：C
本题主要考查了模长的性质与运算,属于基础题型.
3．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（ ） A ．-4 B ．-6 C ．-8 D ．-10
【答案】B
把3a ，4a 用1a 和公差2表示，根据1a ，3a ，4a 成等比数列，得到2
314a a a =
解得. 【详解】
解：因为等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，
2314a a a ∴=
即()()2
11146a a a +=+ 解得18a =- 故选：B
本题考查等差数列基本量的计算，与等比中项的性质，属于基础题.
4．实数x 、y 满足约束条件1
00
y y x y x ≤⎧⎪
-≥⎨⎪+≥⎩
，则目标函数()10y z x
x +=≠的取值范围是
（ ） A ．()2,2-
B ．()(),22,-∞-+∞U
C ．(][),22,-∞-+∞U
D ．[]22-,
【答案】C
画出可行域,再根据目标函数斜率的几何意义分析即可. 【详解】
画出可行域,易得()1
0y z x x
+=
≠的几何意义为(),x y 到()0,1-的斜率, 又(1,1),(1,1)B C --.故11121y z x ++=≥=或111
21
y z x ++=≤=-- 故()1
0y z x x
+=
≠的取值范围是(][),22,-∞-+∞U
故选：C
本题主要考查了线性规划中斜率的几何意义的方法,属于基础题型. 5．若x ∈R ，则“31x >”是“1x >”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
分别求解两个不等式再判断即可. 【详解】
因为3
y x =为增函数,故31x >解得1x >,又1x >解得1x >或1x <-,故“31x >”
是“1x >”的充分不必要条件. 故选：A
本题主要考查了幂函数与绝对值不等式的求解与充分不必要条件的判断,属于基础题型.
6．已知双曲线22
1164x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 交双曲线于P ，
Q 两点.若PQ 长为5，则1PQF ∆的周长是（ ）
A ．13
B ．18
C ．21
D ．26
【答案】D
根据双曲线的定义求解即可. 【详解】
易得1PQF ∆的周长为114101626PQ PF QF PQ PQ a ++=++=+=. 故选：D
本题主要考查了双曲线的定义运用,属于基础题型.
7．已知离散型随机变量ξ满足二项分布且()3,B p ξ:，则当p 在()0,1内增大时，（ ） A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大 C ．()D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小
【答案】D
根据()D ξ的公式关于p 的函数表达式分析即可. 【详解】
易得二项分布()3(1)D p p ξ=-为关于p 的二次函数,对称轴为1
2
p =
,故当p 在()0,1内增大时()D ξ先增大后减小.
故选：D
本题主要考查了二项分布中方差的公式运用,属于基础题型.
8．已知函数()22,01,0x x x f x x x
⎧-≥⎪
=⎨<⎪⎩，若函数()()g x f x x m =-+恰有三个零点，则
实数m 的取值范围是（ ）
A ．()1,2,04⎛
⎤-∞-- ⎥⎝⎦
U B ．()12,0,4⎡
⎫+∞⎪⎢⎣⎭
U C ．[)12,0,4⎛⎤--+∞ ⎥⎝
⎦
U
D ．[)1,20,4
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
U
【答案】A
()()g x f x x m =-+恰有三个零点则()f x x m =-的函数图像有三个交点,再画图
分析求解即可. 【详解】
根据()22,01,0x x x f x x x ⎧-≥⎪
=⎨<⎪⎩的图像,取绝对值可知()f x x m =-如图.当
()f x x m =-的函数图像有三个交点时分两种情况
①当直线y x m =-与抛物线部分相交于三个点时,临界条件分别为y x m =-过原点时,此时0m =,以及与抛物线相切,此时2220x x x m x x m -=-⇒--= 判别式11404m m ∆=+=⇒=-
,故1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦
②当直线y x m =-与抛物线部分相交于1个点,与1
y x
=-相交于两点,此时临界条件为直线y x m =-与1y x
=-
相切,此时2
110x m x mx x -=-⇒-+=
判别式2402m m ∆=-=⇒=±,由图得y x m =-中0m <,故2m =-为临界条件. 故此时(),2m ∈-∞-
综上所述, ()1,2,04m ⎛⎤
∈-∞-- ⎥⎝⎦
U . 故选：A
本题主要考查了数形结合求解函数零点的问题,需要画出对应的图像分析直线与曲线相切等的临界条件,属于中等题型.
9．已知实数a ，b ，c 满足22221a b c ++=，则2ab c +的最小值是（ ） A ．3
4
-
B ．98
-
C ．-1
D ．43
-
【答案】B
根据题意利用22a b +与2ab 的基本不等式,再转换为含c 的二次不等式求解即可. 【详解】
若2ab c +取最小值,显然,a b 异号且0c <.故2
2
2
1222c a b ab ab -=+≥=-,
即2221ab c ≥-,故2
2
1992212488ab c c c c ⎛⎫+≥+-=+-≥- ⎪⎝
⎭, 当且仅当1
,4
c =-,a b 分别取7
. 故选：B
本题主要考查了基本不等式以及二次不等式的综合运用,需要注意分析,,a b c 的正负再利用基本不等式,属于中等题型.
10．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆为正三角形，设二面角S AB C --，S BC A --，
S CA B --的平面角的大小分别为,,,,2παβγαβγ⎛
⎫≠ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ．111tan tan tan αβγ++的值可能是负数 B ．32
π
αβγ++<
C ．αβγπ++>
D ．111
tan tan tan αβγ
++的值恒为正数 【答案】D
作S 在底面ABC 的投影为O ,再分别作,,OM AB ON BC OP AC ⊥⊥⊥,进而分析
,,αβγ的正切值再判断即可.
【详解】
作S 在底面ABC 的投影O ,再分别作,,OM AB ON BC OP AC ⊥⊥⊥,设ABC ∆边长为a .
①当O 在ABC ∆内时,
易得,,αβγ分别为,,SMO SNO SPO ∠∠∠.由ABC ABO BCO ACO S S S S =++V V V V 可得
1110tan tan tan MO NO PO a
SO SO SO SO
αβγ++=++=>. 当S 无限接近O 时易得αβγ++接近0,故C 错误.
②当O 在ABC ∆外时,不妨设O 在,AC BC 的延长线构成的角内.
易得,,αβγ分别为,,SMO SNO SPO ππ∠-∠-∠.由ABC ABO BCO ACO S S S S =--V V V V 可得
1110tan tan tan MO NO PO a
SO SO SO SO
αβγ++=--=>. 且当S 无限接近O 时易得αβγ++接近2π,故B 错误.
综上,A也错误.
故选：D
本题主要考查了二面角的分析,需要画图理解,表达出对应的二面角的平面角,再根据平面内任一点到正三角形三边的距离关系求解分析,同时也要有极限的思想分析二面角的范围问题.属于难题.
二、填空题
cm，表11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为______3 cm.
面积为______2
【答案】567682
易得该图形为正方体截去一个三棱柱再计算体积与表面积即可.
【详解】
画出对应的直观图五棱柱1111ABEE A DCFF D -.
(1)易得体积为31
444224562
cm ⨯⨯-
⨯⨯⨯=. (2)表面积(22314424224422242276822cm ⎛⎫
⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯++=+ ⎪⎝
⎭
故答案为：56；7682+本题主要考查了根据三视图求解原几何体的体积与表面积的问题,需要画出对应的图像进行分析求解,属于中等题型.
12．二项式6
1x x ⎫⎪⎭的展开式中常数项等于______，有理项共有______项.
【答案】15 4
(1)根据二项式定理的通项公式求解即可.
(2)根据二项式定理的通项公式分析x 的指数为整数的项的个数即可. 【详解】
(1)根据二项式定理的通项公式6362
16
61r
r r
r
r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭
.
故取常数项时
63022
r
r -=⇒=.此时常数项为2615C =. (2)当取有理项时, 632
r
-整数.此时0,2,4,6r =.故共有4项.
故答案为：(1). 15 (2). 4
本题主要考查了二项式定理的运用,属于中等题型.
13．已知直线()2x my m R =+∈与椭圆22
195
x y +=的相交于A ，B 两点，则AB 的
最小值为______；若30
7
AB =
，则实数m 的值是______.
【答案】
10
3
±1 (1)联立直线与椭圆的方程求解弦长公式的表达式再分析最小值即可. (2)根据弦长公式求解参数即可. 【详解】
联立22
1952
x y x my ⎧+=⎪⇒⎨⎪=+⎩
()225920250m y my ++-=,
故12y y -=.
故弦长()
2222
301461595959m m AB m m +⎛⎫==- ⎪+++⎝=⎭
. (1)故当0m =时有最小值10
3
AB =. (2)若307AB =
则22
430611597
m m ⎛
⎫-=⇒= ⎪+⎝⎭,故1m =±. 故答案为：(1).
10
3
(2). ±1 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系中的弦长公式,属于中等题型.
14．设ABC ∆的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若2223b a c +=，则
tan tan C
B
=______，tan A 的最大值是______. 【答案】
-2
4
化简
tan tan C
B
成正余弦的关系式,再利用余弦定理与正弦定理化简求解即可. 【详解】
(1)222222222
222tan sin cos 2tan sin cos 2a c b c C C B a c b ac a b c B B C a b c b ab
+-⋅
+-===+-+-⋅
()2222222222
34223a b a b a a
a b b a ++-===--+-+ (2)由(1)tan 2tan C B =-,故
[]tan tan tan tan ()tan()tan tan 1
B C
A π
B
C B C B C +=-+=-+=
⋅-
()2tan tan 2tan 2tan 11tan 12tan 12tan tan B B B B B B B B --===
⋅-++,因为2223b a c +=故B 为锐
角.
故
1
14
2tan
tan
B
B
≤=
+.
故答案为：
本题主要考查了解三角形中正余弦定理的运用,同时也考查了基本不等式的运用,需要根据题意将正切函数化简为正弦与余弦的表达式,进而想到边角的互化以及余弦定理的公式,属于中等题型.
15．现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是______.
【答案】
2
5
根据题意可先求5个小球排成一列的总共情况数,再减去同一色相邻与同两色相邻的情况得出相同颜色的球都不相邻的情况总数,再求概率即可.
【详解】
由题意,5个不同的小球全排列为5
5
120
A=,
同一色的有222
223
248
A A A
⨯⨯⨯=种,同二色的有222
223
24
A A A
⨯⨯=种情况.
故同一颜色的小球不相邻的排列总数有120482448
--=种.
故相同颜色的球都不相邻的概率是
482
1205
=.
故答案为：
2
5
本题主要考查了排列组合的综合运用,求事件的对立情况即可.属于中等题型. 16．对任意[]
1,
x e
∈，关于x的不等式()
2
ln ln
x x a ax a x a R
+≤+∈恒成立，则实数a的取值范围是______.
【答案】{}1
化简()
2
ln ln
x x a ax a x a R
+≤+∈求得关于x的不等式,再分析所得的x的不等式与区间[]
1,e的关系列式求解即可.
【详解】
由()()
2
ln ln ln0
x x a ax a x x a x a
+≤+⇒--≤,因为()()
ln0
x a x a
--=的两根
分别为
12
,a
x a x e
==,且a e a
>恒成立.故()()
ln0
x a x a
--≤恒成立即a
a x e
≤≤在
[]1,x e ∈上恒成立,故1
1a
a a e e
≤⎧⇒=⎨≥⎩.故实数a 的取值范围是{}1. 故答案为：{}1
本题主要考查了函数表达式恒成立的问题,包括含参数的不等式的求解以及分类讨论的思想等.属于中等题型.
17．正方形ABCD 的边长为2，E ，M 分别为BC ，AB 的中点，点P 是以C 为圆心，
CE 为半径的圆上的动点，点N 在正方形ABCD 的边上运动，则PM PN ⋅u u u u r u u u r
的最小值是
______.
【答案】1-先将PM PN ⋅u u u u r u u u r
转化为关于,,CP CM CN u u u r u u u u r u u u r
的向量表达式,再数形结合分析最值即可. 【详解】 易得
1CP =u u u r ,()()()
2
PM PN CM CP CN CP CM CN CP CM CN CP ⋅=-⋅-=⋅-⋅++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r uu u u r u u u r u u u r
()
11CM CN CP CM CN CM CN CM CN =⋅-⋅++≥⋅-++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r
,
当且仅当()
,CP CM CN +u u u r u u u u r u u u r 同向时取等号.即考虑1CM CN CM CN ⋅-++u u u u r u u u r u u u u r u u u r
的最小值
即可.
当N 与C 重合时
, 1011CM CN CM CN CM ⋅-++=-+=u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r
当N 与C 不重合时,设,CM CN u u u u r u u u r
夹角为θ,由图易得当N 在CD 上时cos θ取最小值
,当N 在M 时, cos θ取最大值为1,
故cos θ⎤
∈⎥⎦
, 利用向量模长不等式有
()
1cos 1CM CN CM CN CM CN CM CN θ⋅-++≥⋅-++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r
(
)
cos 11111CN CM CM CN θ⎫=⋅⋅--+≥⋅=-⎪⎭u u u r u u u u r u u u u r u u u r 且两次
“≥” 不能同时取“=”.
故此时11CM CN CM CN ⋅-++>u u u u r u u u r u u u u r u u u r
综上所述, PM PN ⋅u u u u r u u u r
的最小值是1
故答案为：15-本题主要考查了向量的综合运用,需要根据题意找到定量关系进行化简再分析.属于难题.
三、解答题
18．已知函数()()1
sin sin 34
x x x R f x π⎛⎫=⋅+
-∈ ⎪⎝
⎭. （1）求3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值和()f x 的最小正周期； （2）设锐角ABC ∆的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且1
24
A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2a =，求b c +的取值范围. 【答案】（1）
1
2
, π,（2）(]2,4 (1)利用降幂公式与辅助角公式将()f x 化简为1sin 226x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭,进而求得3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值和()f x 的最小正周期即可. (2)根据(1)与1
24A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
可得3A π=,再利用余弦定理与基本不等式求解即可. 【详解】
由题()131sin sin 24x x x f x ⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭
2131sin cos 224x x x =+- 11311cos 22sin 2444426x x x π⎛⎫
=
-+-=- ⎪⎝⎭
.
（1）121sin 32362
f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22T ππ==. （2）11sin 2264A f A π⎛⎫⎛
⎫=-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3A π=, 在ABC ∆中,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：
()()
()2
2
2
22433
4
b c b c bc b c bc b c +=+-=+-≥+-,即4b c +≤,
又因为在ABC ∆中,2b c +>,
所以,综上可得：b c +的取值范围是(]2,4.
本题主要考查了三角函数中的降幂公式与辅助角公式,同时也考查了余弦定理与基本不等式的综合运用,属于中等题型.
19．如图，三棱锥D ABC -中，AD CD =，42AB BC ==，AB BC ⊥.
（1）求证：AC BD ⊥；
（2）若二面角D AC B --的大小为150︒且47BD =时，求BCD ∆的中线BM 与面
ABC 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析，（242
(1) 取AC 中点O ,连BO ,DO ,证明AC ⊥平面BOD 即可.
(2) 由(1)在平面BOD 内作OZ OB ⊥,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解线面角的正弦值或直接利用向量的关系求解即可. 【详解】
（1）证明：取AC 中点O ,连BO ,DO ,∵AD CD =,AB BC =,
∴AC BO ⊥,AC DO ⊥,,BO DO ⊂平面BOD ,且BO DO O =I , ∴AC ⊥平面BOD ,又BD ⊂平面BOD ,∴AC BD ⊥
.
（2）由（1）知BOD ∠是二面角D AC B --的平面角,
∴150BOD ∠=︒,又由AC ⊥平面BOD 知平面BOD ⊥平面ABC , 所以在平面BOD 内作OZ OB ⊥,则OZ ⊥面ABC ,可建如图坐标系
,
又易得4OB =,故在BOD ∆中由余弦定理可得3OD =于是可得各点坐标为()0,4,0A -,()4,0,0B ,()0,4,0C ,(6,0,23D -,
∴(3,3M -,∴(3BM =-u u u u r
,
又平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =r
,
所以直线BM 与面ABC 所成角的正弦值342
sin 2856n BM n BM
θ⋅===r u u u u r r u u u u r . 法二：由（1）知BOD ∠是二面角D AC B --的平面角,∴150BOD ∠=︒. 作DP BO ⊥于P ,则由AC ⊥平面BOD 知DP ⊥平面ABC ,且30DOP ∠=︒, 又易得4OB =,故在BOD ∆中由余弦定理可得3OD =∴
sin 23DP DO DOP =∠=又M 为DC 中点,所以M 到平面ABC 的距离1
32
d DP =
=
因为BD =,8DC =
,BC =
∴222cos 228
BD BC CD DBC BD BC +-∠==
⋅, ∴12BM BM BD BC ==+u u u u r u u u r u u u r
=
=所以直线BM 与面ABC
所成角的正弦值sin 28d BM θ=
==
. 本题主要考查了异面直线垂直的证明以及利用空间直角坐标系或向量的方法求解线面角的方法,属于中等题型.
20．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =且()12n n nS n S +=+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()
()*
2
4141n
n n a b n N n =-∈-，数列{}n b 的前n 项和为n P ，若112020
n P +<，求正整数n 的最小值.
【答案】（1）n a n =（2）1010
(1)利用累乘法或构造常数列求解n S 再求解{}n a 的通项公式即可. (2)利用裂项相消的方法求解前n 项和n P ,再分析求正整数n 的最小值即可. 【详解】
（1）解析1：（累乘法）由()112
2n n n n S n nS n S S n
+++=+⇒
=,所以2n ≥时, 121121n n n n n S S S S S S S S ---=
⋅⋅L ()111431123212
n n n n n n n n ++-=⋅⋅⋯⋅⋅=---,
又111S a ==也成立,所以()
12
n n n S +=
, 所以当2n ≥时,1n n n a S S n -=-=,又11a =也成立,所以n a n =.
解析2：（配凑常数数列）
()1122n n n n S S nS n S n n
++=+⇒=+()()()1211n n S S n n n n +⇒=+++,故()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
为常数列,即()111212n S S n n ==+⨯,所以()12n n n S +=,所以当2n ≥时,1n n n a S S n -=-=,又11a =也成立,所以n a n =.
解析3：（直接求n a ）()1122n n n n nS n S na S ++=+⇒=,所以()112n n n a S --=,两式相减可得()()11121n n n n a a an n a n n n ++=+⇒
=≥+,又因为22a =,所以212
n a a
n ==,即当2n ≥时,n a n =,当1n =也成立,故n a n =.
（2）解析（裂项相消）：由上题可知()
()241111412121n
n n n b n n n ⎛
⎫=-=-+ ⎪--+⎝⎭
,所以
()()1111111111335572121n n n P n n =--++--++-+--+L ()11121
n
n =-+-+,所
以112019
12120202
n P n n +=
<⇒>+,故n 的最小值为1010. 本题主要考查了利用数列前n 项和与通项的关系求解通项公式的方法,同时也考查了裂项相消的应用与数列不等式的方法等.属于中等题型.
21．已知点F 是抛物线C ：2
4y x =的焦点，直线l 与抛物线C 相切于点
()()000,0P x y y >，连接PF 交抛物线于另一点A ，过点P 作l 的垂线交抛物线C 于
另一点B .
（1）若01y =，求直线l 的方程； （2）求三角形PAB 面积S 的最小值. 【答案】（1）1
22
y x =+
，（2）16 (1)求得1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,再设直线l 的方程,联立抛物线方程令二次方程0∆=求解即可.
(2)设切线l 的方程为()00t y y x x -=-,
211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2
22,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,根据A ,F ,P 三点共线求得104y y =-,再化简求得A 到直线PB 的距离,进而表达出三角形PAB 面积,再利用基本不等式的方法求最小值即可. 【详解】
（1）由01y =得1,14P ⎛⎫
⎪⎝⎭
,
设直线l 的方程为()114
t y x -=-
, 由()21144t y x y x
⎧
-=-⎪⎨⎪=⎩得24410y ty t -+-=,
因为直线l 与抛物线C 相切,故()2
164410t t ∆=--=,解得1
2
t =
. 故所求直线l 的方程
()
11124
y x -=-,即122y x =+. （2）设切线l 的方程为()00t y y x x -=-,211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2
22,4y B y ⎛⎫
⎪⎝⎭
, 又由A ,F ,P 三点共线,故//FA FP u u u r u u u r ,21
11,4y y FA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ,2001,4y FP y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
u u u r ,
化简可得,104y y =-,
20
044,A y y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭,
由()00
2
4t y y x x y x
⎧-=-⎨
=⎩得2
004440y ty y x -+-=,
因为直线l 与抛物线C 相切,故024y t =,即0
2
y t =
, 故直线PB 的方程为()0002y y y x x -=--,3
002204
y y x y y +--=,
因此点A 到直线PB 的距离为
2
204y d +=
=
,
由3
00222044y y x y y y x ⎧+--
=⎪⎨⎪=⎩得()23
000880y y y y y +-+=,0208y y y +=-
,200
8
y y y =-
-,
故2000
8
2y y y B y P =-=+,
所以
2
200
4118222PAB y S d PB y y ∆+=
=+
3
2
0414y y ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭
3
3001411644y y ⎛⎛⎫=+≥= ⎪ ⎝⎭⎝等号成立当且仅当00
4y y =,即02y =时等号成
立.
此时三角形PAB 面积S 的最小值为16.
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,同时也考查了抛物线中的三角形面积公式,需要根据题意设点,根据联立方程的韦达定理求得对应的点的关系,再表达出面积公式,根据面积公式的类型利用基本不等式求解等.属于难题. 22．已知函数()()2
log ln a f x x x x =+-，1a >. （1）求证：()f x 在()1,+∞上单调递增；
（2）若关于x 的方程()1f x t -=在区间()0,∞+上有三个零点，求实数t 的值； （3）若对任意的1
12,,x x a a -⎡⎤∈⎣⎦，()()121f x f x e -≤-恒成立（e 为自然对数的底
数），求实数a 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，（2）2t =，（3）(]
1,e (1)求导后分析导函数的正负得单调性即可.
(2)求导后分析()f x 的单调性,进而根据()()11f x t f x t -=⇔=±在区间()0,∞+上有三个零点数形结合求解t 即可.
(3)根据()f x 的单调性求得()()12f x f x -关于a 的表达式,进而分析最值求解即可. 【详解】 （1）()()
2
ln 1
'21ln x f x x
x a =⋅+-,∵1x >,∴()'0f x >,故()f x 在()1,+∞上单调递
增.
（2）()()()
()
22
2
2ln ln ln 'ln x x a a f x x a +-=
,
令()()()2
2
2ln ln ln g x x x a a =+-,()()2
2'ln 0g x a x
=
+>,()10g =, 故当()0,1x ∈,()'0g x <,()1,x ∈+∞,()'0g x >,
即()f x 在()0,1x ∈上单调递减；在()1,x ∈+∞上单调递增.()11f =,
若()()11f x t f x t -=⇔=±在区间()0,∞+上有三个零点,则11t -=,2t =. （3）()f x 在1
,1x a -⎡⎤∈⎣⎦上单调递减；在(]1,x a ∈上单调递增.
故()()min 11f x f ==,()()max 1max ,f x f f a a ⎧⎫
⎛⎫=⎨⎬
⎪
⎝⎭⎩⎭
, 令()()112ln h a f f a a a a a ⎛⎫
=-=+-
⎪
⎝⎭
,∴()0h a <, 故()max 1ln f x a a =+-,∴ln 1ln 1a a e a a e -≤-⇒-≤-, 因为1a >,设()ln a a a ϕ=-则1
'()10a a
ϕ=->,故()ln a a a ϕ=-为增函数, 又()ln 1e e e e ϕ=-=-. ∴(]1,a e ∈.
本题主要考查了利用导数求解函数的单调性与最值,进而分析函数零点的问题的方法等,同时也考查了分类讨论的思想,属于难题.。