2019-2020学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高一上学
期期中数学试题
一、单选题
1．已知集合{1,2,4,6}A =，{2,6,7}B =，A B I 的子集个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】先求出集合,A B 的交集,进而可求得交集的个数. 【详解】
由题意,{2,6}A B =I ,故A B I 的子集个数为224=. 故选:C. 【点睛】
集合A 有n 个元素,则它的子集有2n 个.
2．函数lg(3)y x =-的定义域为（ ）
A ．(1,3)
B ．[1,3)
C ．(3,)+∞
D ．[1,)+∞
【答案】B
【解析】结合对数与根号的性质,列出不等式求解即可. 【详解】
由题意可得,10
30x x -≥⎧⎨
->⎩
,解得13x ≤<. 故选:B. 【点睛】
求函数定义域要注意: ①分母不为零;
②偶次根式的被开方数非负; ③对数的真数部分大于零;
④指数与对数的底数大于零且不等于1; ⑤函数tan y x =中π
π,2
x k k ≠+
∈Z
⑥0x 中0x ≠.
3．已知函数()f x 与()g x 分别由下表给出，则[](3)f g =（ ）
A ．4
B ．1
C ．3
D ．9
【答案】A
【解析】由表中数据可求得()3g 的值,进而可求得[](3)f g 的值. 【详解】
由题意,()31g =,则[](3)(1)4f g f ==. 故选:A. 【点睛】
本题考查求函数的值,利用表格中数据是解决本题的关键,属于基础题. 4．己知函数1
()1x f x a +=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，则A 的坐标为（ ）
A ．(0,1)
B ．(1,1)-
C ．(1,2)-
D ．(0,2)
【答案】C
【解析】由01a =,将1x =-代入函数表达式,可求出答案. 【详解】
由函数x
y a =（0a >,且1a ≠）的图象恒过定点()0,1,
对函数()f x ,令1x =-,可得11
(1)12f a
-+-=+=, 故函数()f x 的图象恒过定点(1,2)-.
本题考查了函数恒过定点,利用指数函数过定点是解决本题的关键,属于基础题. 5．函数()24x
f x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)
【答案】B
【解析】由题易得(1)(2)0f f ⋅<,结合函数零点存在性定理可得到答案. 【详解】 由题意
知,0(0)20430f =+-=-<,1(1)21410f =+-=-<,2
(2)22420f =+-=>,
3(3)23470f =+-=>,4(4)244160f =+-=>,
因为(1)(2)0f f ⋅<,所以(1,2)是函数()f x 的零点所在的一个区间. 故选:B. 【点睛】
本题考查了函数零点存在性定理的应用,属于基础题. 6．函数lg |1|y x =-+的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】先求出函数的定义域,可排除A,C,再由1x =时,0y <,可排除B,从而选出答案. 【详解】
函数lg |1|y x =-+的定义域为{}
1x x ≠-,可排除A,C; 当1x =时,lg 20y =-<,显然只有D 符合题意.
本题考查了函数的图象,掌握对数函数的图象性质是解决本题的关键,属于基础题.
7．若幂函数()y f x =的图象经过点P ⎛ ⎝⎭
，则(9)f =（ ）
A ．9
B ．
1
9
C ．3
D ．
13
【答案】D
【解析】设出幂函数的解析式,将点P ⎛ ⎝⎭
代入,可求得
()f x 的解析式,进而可求得(9)f .
【详解】
由题意,设()f x x α
=,则3(3)f α==
,解得12α=-.
所以1
2
()f x x -
=,12
1(9)93
f -
==. 故选:D. 【点睛】
本题考查了幂函数的解析式,考查了求函数的值,属于基础题.
8．已知 2.5
13a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，12log 3b =，
132c =，则（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b << D ．a c b <<
【答案】A
【解析】利用指数函数与对数函数的单调性,可比较出,,a b c 的大小. 【详解】
由指数函数的单调性可得, 2.5
11331a ⎛⎫⎛⎫<= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
=,103221c =>=,即01a <<,1c >,
由对数函数的单调性可得,
112
2
log 31log 0b =<=,即0b <,
所以b a c <<. 故选:A. 【点睛】
本题考查几个数的大小比较,利用指数函数与对数函数的单调性是解决本题的关键,属于
9．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()21x f x =-，则
12log 16f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A ．
1516
B ．1516
-
C ．15-
D ．15
【答案】C
【解析】由()12
log 164f f ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
,结合函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,可得
()()44f f -=-,求出()4f 即可求得答案.
【详解】
由题意,()12
log 164f f ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
,
因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()()44f f -=-,
当0x >时，()21x
f x =-，则()4
42115f =-=,故()1
2log 16415f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
. 故选:C. 【点睛】
本题考查了函数奇偶性的应用,考查对数式的运算,考查了学生的计算能力,属于基础题. 10．“弯弓射雕”描述的是游牧民族的豪迈气氛，当弓箭以每秒a 米的速度从地面垂直向上射箭时，t 秒时弓箭距离地面的高度为x 米，可由25x at t =-确定，已知射箭3秒时弓箭距离地面的高度为135米，则可能达到的最大高度为（ ） A ．135米 B ．160米
C ．175米
D ．180米
【答案】D
【解析】将3t =,135x =,代入25x at t =-,可求得a 的值,进而结合二次函数的性质,可求得x 的最大值. 【详解】
由题意,当3t =时,135x =,代入25x at t =-,可得135359a =-⨯,解得60a =,则
()2
260556180x t t t =--+=-,当6t =时,x 取得最大值180.
故选:D. 【点睛】
本题考查了二次函数的性质的应用,利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键,属于基础题.
11．已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意x ∈R ，都满足()()f x f x -=，且对于任意的,(,0]a b ∈-∞，当a b ¹时，都有()()
0f a f b a b
-<-，若(2)(lg )f f x -<，则实
数x 的取值范围是（ ） A ．1,
100⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．1,
(100,)100⎛⎫
-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,100100⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．10,
(100,)100⎛
⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】由题意可得,函数()f x 是定义在R 上的偶函数,在(,0]-∞上单调递减,在
()0,∞+上单调递增,结合(2)(lg )f f x -<,可得lg 2x >,求解即可.
【详解】
由题意,函数()f x 对于任意的,(,0]a b ∈-∞，当a b ¹时，都有()()
0f a f b a b
-<-,则函
数()f x 在(,0]-∞上单调递减,
又()f x 的定义域为R ,且满足()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数,故函数()f x 在
()0,∞+上单调递增.
由(2)(lg )f f x -<,可得lg 2x >,即lg 2x >或者lg 2x <-,解得100x >或1
0100
x <<. 故选:D. 【点睛】
本题考查了函数单调性与奇偶性的应用,考查了不等式的解法,属于基础题.
12．已知函数()y f x =，()y g x =，两者的定义域都是I ，若对于任意x I ∈，存在0x ，使得()0()f x f x ≥，()0()g x g x ≥，且()()00f x g x =，则称()f x ，()g x 为“兄弟
函数”，已知函数2
()2(,)f x x px q p q =++∈R ，24
()x x g x x
-+=是定义在区间
1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“兄弟函数”那么函数()f x 在区间1,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的最大值为（ ） A ．3
B ．
34 C ．
52 D ．13
【解析】结合“兄弟函数”的定义,可求得()g x 在2x =时取得最小值,再结合二次函数的性质可求得()f x 的解析式,进而可求得()f x 在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的最大值.
【详解】
由题意,244()1x x g x x x x
-+==+-,易知()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在(]2,3上单调递增,
则()g x 在1
,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为4
(2)2132
g =+-=. 所以()f x 在2x =时取得最小值3.
故函数()f x 满足222
(2)443
p
f p q -⎧=⎪
⎨⎪=++=⎩,解得27p q =-⎧⎨=⎩, 则2
2
()47(2)3f x x x x =+=-+-, 故当13x =时,()f x 取得最大值为2
1152()(2)3339
f =-+=
. 故选:C. 【点睛】
本题考查新定义,考查了函数单调性的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.
二、填空题
13．若集合[2,1]A =-，{|0}B x x m =+≥，且A B ⊆，则实数m 的取值范围为__________. 【答案】[2,)+∞.
【解析】先求得集合B ,再由A B ⊆可列出不等式,进而可求得答案. 【详解】
由题可知,[),B m =-+∞,
因为[2,1]A =-,A B ⊆,所以2m -≥-,即2m ≥. 故答案为:[2,)+∞.
本题考查了集合的包含关系的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.
14．已知函数()f x 在R 上为偶函数，且0x ≥时，3()2f x x x =-+，则当0x <时，
()f x =________.
【答案】32x x -++
【解析】当0x <时,0x ->,可求得()f x -的表达式,再由()f x 在R 上为偶函数,可得
()()f x f x -=,从而可求出0x <时,()f x 的表达式.
【详解】
当0x <时,0x ->,则3
()2f x x x -=-++,
又函数()f x 在R 上为偶函数,则3
()()2f x f x x x -==-++,
故当0x <时,3
()2f x x x -+=+. 故答案为:32x x -++. 【点睛】
本题考查了函数解析式的求法,利用函数的奇偶性是解决本题的关键,属于基础题. 15．已知函数2()24f x ax x =+-在(,1)x ∈-∞上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[1,0]-
【解析】结合a 是否等于0进行分类讨论,再结合一次函数与二次函数的性质可求得答案. 【详解】
当0a =时,()24f x x =-是R 上的增函数,显然符合题意;
当0a ≠时,()f x 是二次函数,由函数在(,1)x ∈-∞上是单调递增函数,可得011a a
<⎧⎪
-⎨≥⎪⎩,解得10a -≤<.
综上,实数a 的取值范围是[1,0]-. 故答案为:[1,0]-.
本题考查了函数单调性的应用,考查了一次函数与二次函数的性质,属于基础题.
16．已知R a ∈，函数2234,0
()2,0
x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，若对于任意的[4,)x ∈-+∞，
()||f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是__________.
【答案】[0,4]
【解析】分0x >和40x -≤≤两种情况分类讨论,结合二次函数的性质可求得a 的范围. 【详解】
对于任意的[4,)x ∈-+∞,()||f x x ≤恒成立,
当0x >时,2
()2f x x x a x =-+-≤,即2
12
a x ≥-
, 因为20x >,所以2
102
x -
<,则0a ≥; 当40x -≤≤时,2
()34f x x x a x =++-≤-,即244a x x ≤--+, 令2
()44h x x x =--+,则()h x 在[4,2]--上单调递增,在(]2,0-上单调递
减,()()2
(4)44444h -=---⨯-+=,(0)0044h =-+=,故2444x x --+≥,则
4a ≤.
所以,实数a 的取值范围是[0,4]. 【点睛】
本题考查了分段函数的性质,利用参变分离及二次函数的性质是解决本题的关键,属于基础题.
三、解答题
17．（1）已知2a ≤1
2
14-⎛⎫ ⎪
⎝⎭
；
（2）求值：2
39log 63log 10(lg 2lg3)log 27-+⋅++. 【答案】（1）7；（2）3.
【解析】（1）结合根式的性质及指数幂的运算性质,化简即可; （2）结合对数的运算性质,进行化简即可. 【详解】
3
a
=+ Q,
1
2
1
2 4
-
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
,
1
2
1
4
2327
a a
-
⎛⎫
⎪=-+++
⎭
=
⎝
.
（2）
2
3
9
log
6
3log10(lg2lg3)log27
-+⋅++3
2
1
log3
2
3
6
3log10lg6log3
=+⋅+
13
13
22
=++= .
【点睛】
本题考查了指数式、对数式的化简求值,考查了学生的计算能力,属于基础题.
18．设U=R，{|22,0}
A x a x a a
=-<<+>，{|41}
B x x
=-≤≤.
（1）若2
a=，求()
U
A B
∩ð；
（2）若A B A
⋃=，求实数a的取值范围.
【答案】（1）{|14}
x x
<<；（2）6
a>
【解析】（1）由集合B可求得U B
ð,再由2
a=可得到集合A,然后将集合A与U B
ð取并集即可;
（2）由A B A
⋃=可知B A
⊆,进而可得
24
21
a
a
-<-
⎧
⎨
+>
⎩
,求解即可.
【详解】
（1）由{|41}
B x x
=-≤≤,则{4
U
B x x
=<-
ð或}1
x>,
2
a=,则{|04}
A x x
=<<,
所以(){|14}
U
A B x x
⋂=<<
ð.
（2）由A B A
⋃=,则B A
⊆,
可得
24
21
a
a
-<-
⎧
⎨
+>
⎩
,解得6
a>.
所以实数a的取值范围是6
a>.
【点睛】
本题考查了集合间的运算,考查了子集的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.
19．已知函数()1
21
x
m
f x=-
-
是奇函数.
（2）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是单调增函数.
【答案】（1）2m =-；（2）见解析
【解析】（1）先求出函数的定义域,再由()f x 是奇函数,可得()()f x f x -=-对于定义域内的任意x 恒成立,即112121
x x m m --=-+--,从而可求得实数m 的值; （2）利用定义法证明单调性即可,需要注意“作差”、“变形”、“定号”、“下结论”几个步骤.
【详解】
（1）由题意,210x -≠,解得0x ≠,所以()f x 的定义域为{|0}x x ≠,
由()f x 是奇函数,则()()f x f x -=-对于定义域内的任意x 恒成立. 则112121x x m m --=-+--,即221221
x x x m m ⋅=-+--, 即()2212x x m m ⋅=+-,则()(2)210x m +-=,
因为该式对于定义域中的任意x 都成立,所以2m =-.
经检验,2m =-时,()f x 是奇函数.
（2）证明:在(0,)+∞内任取12,x x ,且12x x <,
21121212222(22)()()112121(21)(21)
x x x x x x f x f x -----=--+=----, 120x x <<Q ∴1210x ->,2210x ->,21220x x ->,
()()12f x f x ∴<,()f x ∴在(0,)+∞上单调递增.
【点睛】
本题考查了奇函数的性质的应用,考查了函数单调性的证明,考查了学生的推理能力,属于基础题.
20．甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋，每双标价为800元，甲、乙两商场销售方式如下：在甲商场买一双售价为780元，买两双每双售价为760元，依次类排，每多买一双则所买各双售价都再减少20元，但每双售价不能低于440元；乙商场一律按标价的75%销售.
（1）分别写出在甲、乙两商场购买x 双运动鞋所需费用的函数解析式()f x 和()g x ； （2）某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利，问：去哪家商场购买花费较少？
【答案】（1）2*
*80020,118,N ()440,18,N
x x x x f x x x x ⎧-≤≤∈=⎨>∈⎩，*()600()g x x x =∈N ；（2）见解析
【解析】（1）结合甲商场的销售方式,可得118x ≤≤时,去甲商场购买的单价为(80020)x -元,18x >时，去甲商场购买的单价为440元;去乙商场购买单价为80075%600⨯=元,进而可求出()f x 和()g x 的解析式;
（2）分18x >和118x ≤≤两种情况,讨论()f x 和()g x 的大小关系,即可求出答案.
【详解】
（1）由题意,*N x ∈,
由80020440x -≥,可得当118x ≤≤时,去甲商场购买运动鞋的单价为(80020)x -元,
此时所需费用为2(80020)80020x x x x -=-;当18x >时，去甲商场购买运动鞋的单价
为440元,所需费用为440x 元;
去乙商场购买运动鞋单价一直为80075%600⨯=元,所需费用为600x 元.
则2*
*80020,118,N ()440,18,N
x x x x f x x x x ⎧-≤≤∈=⎨>∈⎩,*()600()g x x x =∈N . （2）当18x >且*N x ∈时,()()f x g x <成立;
当118x ≤≤且*N x ∈时,
令2
()()800206000f x g x x x x -=-->,解得110x ≤<,
令2()()800206000f x g x x x x -=--=,解得10x =,
令2()()800206000f x g x x x x -=--<,解得1018x <≤,
所以,该单位购买少于10双，去乙商场花费较少，若购买10双，则去两家商场花费相同，若购买超过10双，则去甲商场花费较少.
【点睛】
本题考查了实际问题,考查了分段函数的性质,考查了不等式的性质,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.
21．已知函数()||(1)()f x x a x a =-⋅-∈R .
（1）当5a =时，作出函数()f x 的图象；
（2）是否存在实数a ，使得函数在区间[3,4]上有最小值8，若存在求出a 的值；若不
存在，请说明理由.
【答案】（1）图象见解析；（2）存在1a =-或7a =满足条件，理由见解析.
【解析】（1）将5a =代入,去绝对值,然后做出函数图象即可;
（2）分3a ≤,34a <<和4a ≥三种情况,结合二次函数的性质讨论函数在[3,4]上的最小值,令其等于8,可求出答案.
【详解】
（1）当5a =时,(5)(1),5()5(1)(5)(1),5x x x f x x x x x x --≥⎧=--=⎨---<⎩
, 图象见下图:
（2）假设存在实数a ,使得函数()f x 在区间[3,4]上有最小值8,
()||(1)f x x a x =--,[3,4]x ∈.
①当3a ≤时,2()()(1)(1)f x x a x x a x a =--=-++,
函数()f x 的对称轴为12
a x +=， 13,2,()2
a a f x +≤∴≤∴Q 在[3,4]上单调递增, min ()(3)2(3)8f x f a ∴==-=,解得1a =-,符合题意;
②当34a <<时,()08,()f a f x =<∴不可能有最小值8（舍去）;
③当4a ≥时,2()()(1)(1)f x a x x x a x a =--=-++-,
()f x 是开口向下的二次函数,对称轴为12
a x +=, 只需比较132
a +-和142a +-的大小, 22221125104914342244
a a a a a a +++-+----=-42464a a -==-, 若46a ≤≤,132a +-142
a +≤-,此时()f x 在4x =时取得最小值,即min ()(4)3(4)8f x f a ==-=,解得203
a =,不符合题意,舍去;
若6a >,132a +-142
a +>-,此时()f x 在3x =时取得最小值,即min ()(3)2(3)8f x f a ==-=,解得7a =,符合题意.
综上,1a =-或7a =.
【点睛】
本题考查了分段函数和二次函数的性质的应用,考查了分类讨论的数学思想,考查了学生的推理能力,属于难题.
22．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[,]m n 内是单调函数；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“优美区间”.
（1）求证：[0,2]是函数21()2f x x =
的一个“优美区间”. （2）求证：函数6()4g x x
=+不存在“优美区间”. （3）已知函数22()1()a a x y h x a x
+-==（,0a a ∈≠R ）有“优美区间”[,]m n ，当a 变化时，求出n m -的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3 【解析】（1）结合“优美区间”的定义,可证明结论;
（2）若函数存在“优美区间”,可得函数()g x 在[,]m n 上单调递减,从而可得()()g m n g n m =⎧⎨=⎩,联立可推出矛盾,即可证明结论;
（3）函数()h x 有“优美区间”,结合单调性可得()()h m m h n n
=⎧⎨
=⎩,联立可求得,m n 的关系,进而可求得n m -的最大值.
【详解】 （1）212
y x =
在区间[0,2]上单调递增, 又(0)0f =,(2)2f =,∴212
y x =的值域为[0,2], ∴区间[0,2]是21()2f x x =的一个“优美区间”. （2）设[,]m n 是已知函数()g x 的定义域的子集.
由0x ≠,可得[,](,0)m n ⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞,
∴函数6()4g x x
=+在[,]m n 上单调递减. 若[,]m n 是已知函数的“优美区间”,则6464n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
, 两式相减得,
66n m m n -=-,则6()n m n m mn
-=-, 6,6,n m mn n m
>∴=∴=Q , 则664m m
+=,显然等式不成立, ∴函数6()4g x x =+不存在“优美区间”. （3）设[,]m n 是已知函数定义域的子集.
由0x ≠,则[,](,0)m n ⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞, 而函数222()111a a x a y a x a a x
+-+==-在[,]m n 上单调递增. 若[,]m n 是已知函数的“优美区间”,则()()h m m h n n =⎧⎨=⎩
, ∴,m n 是方程211a x a a x
+-=，即222()10a x a a x -++=的两个同号且不等的实数根. 210mn a
=>Q ,∴,m n 同号,只须2222()4(3)(1)0a a a a a a ∆=+-=+->, 解得1a >或3a <-
, n m -===Q ∴当3a =时,n m -
取得最大值
3
. 【点睛】
本题考查了新定义,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.。