【精校】2013年湖北省随州市中考真题数学

2013年湖北省随州市中考真题数学
一、选择题(本题有共10个小题，每小题4分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的)
1.(4分)与-3互为倒数的是( )
A. -
B. -3
C.
D. 3
解析：∵(-3)×(-)=1，∴与-3互为倒数的是-.
答案：A.
2.(4分)不等式2x+3≥1的解集在数轴上表示为( )
A.
B.
C.
D.
解析：不等式2x+3≥1，解得：x≥-1，表示在数轴上，如图所示：
答案：C
3.(4分)如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1=∠2，∠3=70°，则∠4的度数是( )
B. 70°
C. 90°
D. 110°
解析：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠3=∠5，
∵∠3=70°，∴∠5=70°，∴∠4=180°-70°=110°，
答案：D.
4.(4分)下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5
B. a2·a3=a5
C. (a2)3=a5
D. a10÷a2=a5
解析：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a2·a3=a5，正确；
C、应为(a2)3=a2×3=a6，故本选项错误；
D、应为a10÷a2=a10-2=a8，故本选项错误.
答案：B.
5.(4分)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°.已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是( )
A. 25
C. 15
D. 10
解析：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAC=∠CAD=∠BAD，∴∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，
∵△ABC的周长是15，∴AB=BC=5，∴菱形ABCD的周长是20.
答案：B.
6.(4分)数据4，2，6的中位数和方差分别是( )
A. 2，
B. 4，4
C. 4，
D. 4，
解析：从小到大排列为：2，4，6，
最中间的数是4，则中位数是4；
平均数是：(2+4+6)÷3=4，
方差=[(2-4)2+(4-4)2+(6-4)2]=；
答案：C.
7.(4分)如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图.折叠制作完成后得到长方体的容积是(包装材料厚度不计)( )
A. 40×40×70
B. 70×70×80
C. 80×80×80
D. 40×70×80
解析：根据图形可知：长方体的容积是：40×70×80；
答案：D.
8.(4分)我市围绕“科学节粮减损，保障食品安全”，积极推广农户使用“彩钢小粮仓”.每套小粮仓的定价是350元，为了鼓励农户使用，中央、省、市财政给予补贴，补贴部分比农户实际出资的三倍还多30元，则购买一套小货仓农户实际出资是( )
A. 80元
B. 95元
C. 135元
D. 270元
解析：设购买一套小货仓农户实际出资是x元，依题意有x+3x+30=350，4x=320，x=80. 答：购买一套小货仓农户实际出资是80元.
答案：A.
9.(4分)正比例函数y=kx和反比例函数y=-(k是常数且k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
解析：反比例函数y=-(k是常数且k≠0)中-(k2+1)＜0，图象过第二、四象限，故A、D不合题意，
当k＞0时，正比例函数y=kx的图象过第一、三象限，经过原点，故C符合；
当k＜0时，正比例函数y=kx的图象过第二、四象限，经过原点，故B不符合；
答案：C.
10.(4分)如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；
③S△FGC=.其中正确的是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
解析：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，∴DE=×3=1，CE=3-1=2，
∵△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，∴AB=AF=AD，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，∴BG=FG，
设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3-x，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，
即(1+x)2=(3-x)2+22，解得，x=，∴CG=3-=，∴BG=CG=，
即点G是BC中点，故①正确；
∵tan∠AGB===2，∴∠AGB≠60°，∴∠CGF≠180°-60°×2≠60°，
又∵BG=CG=FG，∴△CGF不是等边三角形，∴FG≠FC，故②错误；
△CGE的面积=CG·CE=××2=，
∵EF：FG=1：=2：3，∴S△FGC=×=，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③.
答案：B.
二、填空题(共6小题，每小题4分，共24分)
11.(4分)实数4的平方根是.
解析：∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2.
答案：±2.
12.(4分)如图是一圆锥，在它的三视图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是它的视图(填“主”，“俯”或“左”).
解析：圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
圆锥的左视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
圆锥的俯视图是圆，是轴对称图形，也是中心对称图形；
答案：俯.
13.(4分)我市生态竞争指数全国第四，仅次于澳门、香港和南昌，目前全市现有林地面积57.3万公顷，数据573000用科学记数法表示为 .
解析：将573000用科学记数法表示为5.73×105.
答案：5.73×105.
14.(4分)高为4，底面半径为3的圆锥，它的侧面展开图的面积是.
解析：∵圆锥的底面半径是3，高是4，
∴圆锥的母线长为5，∴这个圆锥的侧面展开图的面积是π×3×5=15π.
答案：15π.
15.(4分)甲乙两地相距50千米.星期天上午8：00小聪同学在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地.2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程y(千米)与小聪行驶的时间x(小时)之间的函数关系如图所示，小明父亲出发或小时时，行进中的两车相距8千米.
解析：由图可知，小聪及父亲的速度为：36÷3=12千米/时，
小明的父亲速度为：36÷(3-2)=36千米/时
设小明的父亲出发x小时两车相距8千米，则小聪及父亲出发的时间为(x+2)小时
根据题意得，12(x+2)-36x=8或36x-12(x+2)=8，
解得x=或x=，
所以，出发或小时时，行进中的两车相距8千米.
答案：或.
16.(4分)如图是一组密码的一部分.为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”.目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”.若“今”所处的位置为(x，y)，你找到的密码钥匙是，破译“正做数学”的真实意思是.
解析：∵已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”.
“今”所处的位置为(x，y)，则对应文字位置是：(x+1，y+2)，
∴找到的密码钥匙是：对应文字横坐标加1，纵坐标加2，
∴“正”的位置为(4，2)对应字母位置是(5，4)即为“祝”，
“做”的位置为(5，6)对应字母位置是(6，8)即为“你”，
“数”的位置为(7，2)对应字母位置是(8，4)即为“成”，
“学”的位置为(2，4)对应字母位置是(3，6)即为“功”，
∴“正做数学”的真实意思是：祝你成功.
答案：对应文字横坐标加1，纵坐标加2，祝你成功.
三、解答题(共9小题，共86分)
17.(8分)计算：|-2|+(3-π)0-2-1+.
解析：分别根据绝对值的性质、0指数幂及负整数指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
答案：原式=2+1--3=-.
18.(8分)先化简，再求值：÷，其中x=2.
解析：原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可2求出值.
答案：原式=·=，
当x=2时，原式=.
19.(8分)如图，点F、B、E、C在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF.能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明.
提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF.
解析：由BF=CE可得EF=CB，再有条件∠ABC=∠DEF不能证明△ABC≌△DEF；可以加上条件①AB=DE，利用SAS定理可以判定△ABC≌△DEF.
答案：不能；选择条件：①AB=DE；
∵BF=CE，∴BF+BE=CE+BE，即EF=CB，
在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE(SAS).
20.(9分)为迎接癸巳年炎帝故里寻根节，某校开展了主题为“炎帝文化知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，整理调查数据制成了如图不完整的表格和扇形统计图.
根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)本次问卷调查共抽取的学生数为人，表中m的值为.
(2)计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图.
(3)若该校有学生1500人，请根据调查结果估计这些学生中“不太了解”炎帝文化知识的人数约为多少？
解析：(1)利用基本了解的人数÷基本了解的人数所占百分比即可算出本次问卷调查共抽取的学生数；m=抽查的学生总数×比较了解的学生所占百分比；
(2)等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数=360°×所占百分比，再补图即可；
(3)利用样本估计总体的方法，用1500人×调查的学生中“不太了解”的学生所占百分比.
答案：(1)40÷20%=200(人)，200×45%=90(人)，
故答案为：200；90.
(2)×100%×360°=90°，如图所示：
(3)1500×(1-25%-20%-45%)=150(人)，
答：这些学生中“不太了解”炎帝文化知识的人数约150人.
21.(9分)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度.如图，一艘海监船位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.
(1)在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是多少？(结果用根号表示)
(2)在这段时间内，海监船航行了多少海里？(参数数据：， 1.732，
2.449.结果精确到0.1海里)
解析：(1)过点P作PC⊥AB于C点，则线段PC的长度即为海监船与灯塔P的最近距离.解等腰直角三角形APC，即可求出PC的长度；
(2)海监船航行的路程即为AB的长度.先解Rt△PCB，求出BC的长，再由(1)得出AC=PC，则AB=AC+BC.
答案：(1)过点P作PC⊥AB于C点，则线段PC的长度即为海监船与灯塔P的最近距离.
由题意，得∠APC=90°-45°=45°，∠B=30°，AP=100海里.
在Rt△APC中，∵∠ACP=90°，∠APC=45°，∴PC=AC=AP=50海里.
答：在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是50海里.
(2)在Rt△PCB中，∵∠BCP=90°，∠B=30°，PC=50海里，BC=PC=50海里，
∴AB=AC+BC=50+50=50(+)≈50(1.414+2.449)≈193.2(海里)，
答：轮船航行的距离AB约为193.2海里.
22.(9分)在一个不透明的布袋中有2个红色和3个黑色小球，它们只有颜色上的区别.
(1)从布袋中随机摸出一个小球，求摸出红色小球的概率.
(2)现从袋中取出1个红色和1个黑色小球，放入另一个不透明的空布袋中，甲乙两人约定做如下游戏：两人分别从这两个布袋中各随机摸出一个小球，若颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜.请用树状图(或列表)的方法表示游戏所有可能结果，并用概率知识说明这个游戏是否公平.
解析：(1)根据概率公式直接求出摸出红色小球的概率即可；
(2)利用树状图法表示出所有可能，进而得出甲、乙获胜的概率即可.
答案：(1)∵布袋中有2个红色和3个黑色小球，∴摸出红色小球的概率为：=；
(2)∵现从袋中取出1个红色和1个黑色小球，放入另一个不透明的空布袋中，
∴画树状图得出：
∵两小球颜色相同的情况有3种，∴甲获胜的概率为：=，∴乙获胜的概率为：=，∴这个游戏是公平的.
23.(10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O与点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F.
(1)求证：AF⊥EF.
(2)小强同学通过探究发现：AF+CF=AB，请你帮忙小强同学证明这一结论.
解析：(1)首先连接OD，由EF是⊙O的切线，可得OD⊥EF，由∠BAC的平分线交⊙O与点D，易证得OD⊥BC，即可得BC∥EF，由AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得AC⊥BC，继而证得AF⊥EF.
(2)首先连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，易证得△ADH≌△ADB，
△CDF≌△HDF，继而证得AF+CF=AB.
答案：(1)连接OD，
∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∴=，∴OD⊥BC，∴BC∥EF，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴AF⊥EF；
(2)连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BH，∴∠ADB=∠ADH=90°，
在△ABD和△ADH中，，∴△ABD≌△AHD(ASA)，∴AH=AB，
∵EF是切线，∴∠CDF=∠CAD，∠HDF=∠EDB=∠BAD，∴∠CDF=∠HDF，
∵DF⊥AF，DF是公共边，∴△CDF≌△HDF(ASA)，∴FH=CF，∴AF+CF=AF+FH=AH=AB.即AF+CF=AB，
24.(12分)某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工.已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元.
经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，当35≤x＜50时，y与x之间的函数关系式为y=20-0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元(含)到45元(含)之间，且年销售量稳定在10万件.物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元.
(1)当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y(万元)与x(元)之间的函数关系式.
(2)若公司第一年的年销售量利润(年销售利润=年销售收入-生产成本)为W(万元)，那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？
(3)第二年公司可重新对产品进行定价，在(2)的条件下，并要求甲种产品的销售单价
x(元)在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利(总盈利=两年的年销售利润之和-投资成本)不低于85万元.请直接写出第二年乙种产品的销售单价
m(元)的范围.
解析：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，然后把点(50，10)，(70，8)代入求出k、b的值即可得解；
(2)先根据两种产品的销售单价之和为90元，根据乙种产品的定价范围列出不等式组求出x的取值范围是45≤x≤65，然后分45≤＜50，50≤x≤65两种情况，根据销售利润等于两种产品的利润之和列出W与x的函数关系式，再利用二次函数的增减性确定出最大值，从而得解；
(3)用第一年的最大利润加上第二年的利润，然后根据总盈利不低于85万元列出不等式，整理后求解即可.
答案：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
∵函数图象经过点(50，10)，(70，8)，∴，解得，所以，y=-0.1x+15；
(2)∵乙种产品的销售单价在25元(含)到45元(含)之间，
∴，解之得45≤x≤65，
①45≤x＜50时，W=(x-30)(20-0.2x)+10(90-x-20)，
=-0.2x2+16x+100，
=-0.2(x2-80x+1600)+320+100，
=-0.2(x-40)2+420，
∵-0.2＜0，
∴x＞40时，W随x的增大而减小，
∴当x=45时，W有最大值，W最大=-0.2(45-40)2+420=415万元；
②50≤x≤65时，W=(x-30)(-0.1x+15)+10(90-x-20)，
=-0.1x2+8x+250，
=-0.1(x2-80x+1600)+160+250，
=-0.1(x-40)2+410，
∵-0.1＜0，∴x＞40时，W随x的增大而减小，
∴当x=50时，W有最大值，W最大=-0.1(50-40)2+410=400万元.
综上所述，当x=45，即甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是415万元；
(3)根据题意得，W=-0.1x2+8x+250+415-700=-0.1x2+8x-35，
令W=85，则-0.1x2+8x-35=85，解得x1=20，x2=60.
又由题意知，50≤x≤65，根据函数与x轴的交点可知50≤x≤60，
即50≤90-m≤60，∴30≤m≤40.
25.(13分)在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2.经过原点的抛物线y=mx2-x+n的对称轴是直线x=2.
(1)求出该抛物线的解析式.
(2)如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C.现在利用图2进行如下探究：
①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转.请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出的值.
②设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由.
解析：(1)根据①过原点，②对称轴为直线x=2这两个条件确定抛物线的解析式；
(2)①如答图1所述，证明Rt△PAE∽Rt△PGF，则有==，的值是定值，不变化；
②若△DMF为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论，避免漏解.
答案：(1)∵抛物线y=mx2-x+n经过原点，∴n=0.
∵对称轴为直线x=2，∴-=2，解得m=.∴抛物线的解析式为：y=x2-x.
(2)①的值不变.理由如下：
如答图1所示，过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=AO=2.
∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF.
在Rt△PAE与Rt△PGF中，
∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°，∴Rt△PAE∽Rt△PGF.∴==.
②存在.抛物线的解析式为：y=x2-x，
令y=0，即x2-x=0，解得：x=0或x=4，∴D(4，0).
又y=x2-x=(x-2)2-1，∴顶点M坐标为(2，-1).
若△DMF为等腰三角形，可能有三种情形：
(I)FM=FD.如答图2所示：过点M作MN⊥x轴于点N，
则MN=1，ND=2，MD===.
设FM=FD=x，则NF=ND-FD=2-x.
在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF2+MN2=MF2，
即：(2-x)2+1=x2，解得：x=，∴FD=，OF=OD-FD=4-=，∴F(，0)；
(II)若FD=DM.如答图3所示：
此时FD=DM=，∴OF=OD-FD=4-.∴F(4-，0)；
(III)若FM=MD.
由抛物线对称性可知，此时点F与原点O重合.
而由题意可知，点E与点A重合后即停止运动，故点F不可能运动到原点O.
∴此种情形不存在.
综上所述，存在点F(，0)或F(4-，0)，使△DMF为等腰三角形.
考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生
谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

因为一份试卷的题型有选择题、填
空题和解答题，题目的难易程度不等，再加上时间的限制，更需要考生运用考试技巧去合理安排时间进行考试，这样才能获得一个优异的成绩。

在每次考试结束之后，我们总会发现这样有趣的情形：有的学生能超常发挥，考个好成绩，而有的学生却出现粗心大意的状况，令人惋惜。

有的学生会说这是“运气”的原因，其实更深次的角度来说，这是说明考试准备不足，如知识掌握不扎实或是考试技巧不熟练等，这些正是考前需要调整的重点。

读书学习终究离不开考试，像中考和高考更是重中之重，影响着很多人的一生，下面就推荐一些与考试有关的方法技巧，希望能帮助大家提高考试成绩。

一是学会合理定位考试成绩
你能在一份卷子当中考几分，很大程度上取决于你对知识定理的掌握和熟练程度。

像最后一道选择题和填空题，以及最后两道大题，如果你没有很大把握一次性完成，就要先学会暂时“放一放”，把那些简单题和中等题先解决，再回过头去解决剩下的难题。

因此，在考试来临之前，每位考生必须对自身有一个清晰的了解，面对考试内容，自己处于什么样的知识水平，进而应采取什么样的考试方式，这样才能帮助自己顺利完成考试，获得理想的成绩。

像压轴题的最后一个小题总是比较难，目的是提高考试的区分度，但是一般只有4分左右，很多考生都可以把前面两小题都做对，特别是第一小题。

二是认真审题，理清题意
每次考试结束后，很多考生都会发现很多明明自己会做的题目都解错了，非常可惜。

做错的原因让人既气愤又无奈，如算错、看错、抄错等，其中审题不仔细是大部分的通病。

要想把题目做对，首先就要学会把题目看懂看明白，认真审题这是最基本的学习素养。

像数学考试，就一定要看清楚，如“两圆相切”，就包括外切和内切，缺一不可；ABC是等腰三角形，就要搞清楚哪两条是腰；二次函数与坐标轴存在交点，就要分清楚
x轴和y轴；或是在考试过程中遇到熟悉的题目，绝不可掉以轻心，因为熟悉并不代表一模一样。

三是要活用草稿纸
有时候真的很奇怪，有些学生一场考试下来，几乎可以不用草稿纸，但最终成绩也并不一定见得有多好。

不过，我们查看这些学生试卷的时候，上面密密麻麻写了一堆，原来都把试卷当草稿纸，只不过没几个人能看得懂。

考试时间是有限，要想在有限的时间内取得优异的成绩，就必须提高解题速度，这没错，但很多人的解题速度是靠牺牲解题步骤、审清题意等必要环节之上。

就像草稿纸，很多学生认为这是在浪费时间，要么不用，要么在打草稿时太潦草，匆忙抄到试卷上时又看错了，这样的毛病难以在考试时发现。

在解题过程后果，我们应该在试卷上列出详细的步骤，不要跳步，需要用到草稿纸的地方一定要用草稿纸。

只有认真踏实地完成每步运算，假以时日，就能提高解题速度。

大家一定要记住一点：只要你把每个会做的题目做对，分数自然就会高。

四是学会沉着应对考试
无论是谁，面对考试都会有不同程度的紧张情绪，这很正常，没什么好大惊小怪，偏偏有的学生会把这些情绪放大，出现焦躁不安，甚至是失眠的负面情况，非常可惜。

就像在考试过程中，遇到难题这也很正常，此时的你更应不慌不躁，冷静应对在考试，有些题目难免一时会想不出解题思路，千万记住不要钻牛角尖，可以暂时先放一放，不妨先换一个题目做做，等一会儿往往就会豁然开朗了。

考试，特别像中考和高考这样大型的重要考试，一定要相信一点，那就是所有试题包含的知识定理、能力要求都在考纲范围内，不要有过多的思想负担。

考试遇到难题，容易让人心烦意乱，我们不要急于一时，别总想一口气吃掉整个题目，可以先做一个小题，后面的思路就慢慢理顺了。