山东省淄博市第七中学2019_2020学年高二数学上学期第一次月考试题

山东省淄博市第七中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题
一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分．前10题为单项选择，11-13三题为多项选择)
（一）单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列
16，13，12，2
3，……的一个通项公式为（ ） A ．1n B ．6n C ．3n D ．4
n
2．已知数列{}n a 满足112a =，11
1n n
a a +=-，则2019a =（ ）
A ．1-
B ．
1
2
C ．2
D ．3
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若144a a +=，258a a +=，则2019
2019
S =（ ） A ．2016
B ．2017
C ．2018
D ．2019
4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：有一人走了378里路，第一天健步行走，从
第二天起，由于脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第二天走的路程为（ ） A ．96里
B ．189里
C ．192里
D ．288里
5.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若46S =，818S =，
则16S =（ ） A ．48
B ．54
C ．72
D ．90
6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若180S >，190S <，则当n S 最大时，n =（ ） A ．9
B ．10
C ．11
D ．18
7.已知等比数列{}n a 满足149
4
a a +=，639S S =，2log n n
b a =，则数列{}n b 的前10项和为（ ） A ．35-
B ．25-
C ．25
D ．35
8. 已知函数f （x ）=421x x -，M=f （1n ）+f （2n ）+…+f （1n n -）+f （n
n
）（n ∈N*，且n 为奇数），则M 为（ ）
A ．2n ﹣1
B ．n ﹣1
2
C ．2n+2
D ．2n+
12
9. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，728S =．记[lg ]n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[1.1]1=，则数列{}n b 的前1000项和为（ ）
A ．1890
B ．1891
C ．1892
D ．1893
10．已知数列{}n a 满足11,,n a a Z =∈且111211
3,322
n
n n n n n a a a a ++-+-<+
->-，则2019a =（） A ．202131
8-
B ．2020318-
C ．2019318-
D ．201831
8
-
（二）多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有至少两项符合要求，全部选对得4分，部分选对得2分，错选得0分)
11．不等式x 2
﹣2ax ﹣8a 2
＜0的解集为（x 1，x 2），且x 2﹣x 1=15，则a=（ ）．
A ．
32
B ．32-
C ．52
D ．5
2
-
12. 如果函数()f x 满足：对于任意的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称函数()f x 为“保等比数列函数”．在下列函数中，是“保等比数列函数”的有（ ）
A ．()2f x x =
B ．2()f x x =
C ．()2x
f x = D ．()ln ||f x x =
13．已知a ＞b ＞0，c ＜0，则下列结论中正确的是（ ） A.ac bc <
c c < C.
22c c a b > D.c c a b
> 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分． 17题每空2分)
14．已知{}n a 是等比数列，且1854a a a =，4a 与62a 的等差中项为18，则5a =___________． 15．数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N*)，则数列 {a n }的通项公式a n =____________.
16．已知数列{}n a 的通项公式为2
*1(,)n a n n n λλ=-++∈∈N R ，若{}n a 是递减数列，则λ的取
值范围为________.
17.已知正数a ，b 满足ab=a+2b ．①则ab 的最小值为_________，②则2a+b 的最小值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分12分)
已知数列{}n a 满足113a =
，113n n n
a a a +=+．
（1）求证数列1
{
}n
a 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）试判断1
2019
是否为数列{}n a 中的项，并说明理由．
19．(本小题满分14分)
建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房.初步估计得知，如果将楼房建为()12x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为
()300050Q x x =+(单位:元).
（1）求楼房每平方米的平均综合费用()f x 的解析式；
（2）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？
=+=⎛
⎫ ⎪⎝⎭
购地总费用注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用建筑总面积．
20．(本小题满分14分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n =2a n+1． （1）求数列{a n }的通项公式a n 及S n ； （2）求数列{na n +1
2
n}的前n 项和．
21．(本小题满分14分)
已知等差数列{a n }满足a 2+a 3=7，其前9项和为54．设数列{b n }的前n 项和为S n ，满足b 1=1，
11
12
n n S S n n +-=+（n ∈N *）． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）令n n
n n n
a b c b a =
+，数列{c n }的前n 项和为T n ，若对任意n ∈N*，都有T n ≥a 恒成立，求实数a
的取值范围．
22.(本小题满分14分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n -na n =n,n ∈N *,且a 2=3 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）
设n b =数列{b n }的前n 项和为T n ,求使9
20
n T >成立的最小正整数n 的值。

23.(本小题满分14分)
定义若数列{}n A 满足2
1n n A A +=,则称数列{}n A 为“平方递推数列”,已知数列{}n a 中, 12a =,
点1(,)n n a a +在函数()2
22f x x x =+的图象上,其中n 为正整数。

（1）证明:数列{}21n a +是“平方递推数列”,且数列{}lg(21)n a +为等比数列；
（2）设()1中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ,即12(21)(21)...(21)n n T a a a =+++,求n T 关于
n 的表达式；
（3）记21log n n a n b T +=,求数列{}n b 的前n 项之和n S ,并求使2012n S >成立的n 的最小值。

2018级高二数学阶段性考试答案 选择：BCBAD ACCDB CD AB ACD
填空：14.8± 15.3n 16.(,3)-∞ 17. 8；9
18. (1)由题可得
1113n n a a +=+，1113n n
a a +-= 所以1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以3为首项，以3为公差的等差数列； （2）由（1）得，()1
3313n
n n a =+-= 所以13n a n
= （3）令1132019
n a n ==，解得n=673,673N *∈ 故12019
是为数列{}n a 中的项 19.(1)依题意得, ()()()80001000020000
50300012,N 4000f x Q x x x x x x
*⨯=+
=++≥∈ (2).(
)2000050300030005000f x x x =++≥=. 当且仅当20000
50x x
=
,即20x =时上式取“=”. 因此，当20x =时，()f x 取得最小值5000 (元).
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用最小值为5000元. 20解：（1
）由条件
，
可得{S n }是首项为1
，公比为
的等比数列，∴，
当
，
∴a n
=；
（2）当n=1时，11322
a +
=
当2n 时
记M n =a 1+2a 2+3a 3+…+na n
=1+2•+3•+4•+…+n••（）n ﹣2，
M n =1•+2•+3•+4•
+…+n••（）n ﹣1，
相加可得﹣M n =+（++…+•（）n ﹣2）﹣n••（）n ﹣1
=+﹣n••（）n ﹣1，
化简可得M n =2+（n ﹣2）•（）n ﹣1
，
所以数列
的前n 项和
．
当n=1时，也满足成立
综上数列
的前n 项和。

21.【解答】解：（1）等差数列{an}的公差设为d ，a2+a3=7，其前9项和为54，
可得2a1+3d=7，9a1+×9×8d=54， 解得a1=2，d=1， 则an=2+n ﹣1=n+1；
数列{bn}的前n 项和为Sn ，满足b1=1，﹣
=（n ∈N*），
可得
=
+（n ﹣1）=1+（n ﹣1）=（n+1），
则Sn=n （n+1）， 当n=1时，b1=1；
当n ≥2时，bn=Sn ﹣Sn ﹣1=n （n+1）﹣n （n ﹣1）=n ， 上式对n=1也成立， 综上可得bn=n ，n ∈N*；
（2）cn=
+
=
+
=2+﹣
，
数列{cn}的前n项和为Tn=2n+1﹣+﹣+…+﹣
=2n+1﹣，
由Tn+1﹣Tn=2n+3﹣﹣2n﹣1+
=2+﹣＞0，可得Tn递增，
Tn≥T1=，
由对任意n∈N*，都有Tn≥a恒成立，
可得a≤T1，即a≤．
22【答案】（1）（2）50
【解析】
（1）由，得．
将上述两式相减，得．
所以．①
所以．②
①－②，得，
所以．
故数列为等差数列．
又由，及，得的公差．所以．
（2）由（1）知，．
所以
．
所以
．
由，得．所以．
所以使成立的最小正整数的值为50．
23.答案：1.证明:由题意得2
122n n n a a a +=+,
()2
2
12144121n n n n a a a a +∴+=++=+
所以数列{}21n a +是“平方递推数列”, 令21n n c a =+,所以1lg 2lg n n c c +=, 因为()1lg 21lg50a +=≠,所以
()
()
1lg 212lg 21n n a a ++=+,
所以数列(){}
lg 21n a +为等比数列 2.由1知()()1
lg 21lg52
n n a -+=⨯,
()1
1
lg5222110
5
n n n a --⨯∴+==,
1
2
1
1
1
22222222
1
555555n n n
n T --++
+-∴=⨯⨯⨯
⨯==
3.∵1
211211log 222n
n n n a n n b T -+--⎛⎫===- ⎪⎝⎭
121
1122112
n n n S b b b n ⨯-
∴=++
+=--11222n n -=-+ 由222012n -=得1007n =,
()100610051
2100622010,20112S ∴=⨯-+
∈,()10071006
1
2100722012,20132S =⨯-+∈ 故使2012n S >成立n 的最小值为1007。