吉林省东北师大附中2021届高三第三次摸底考试 数学(理科)

注意：本试卷共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一．．．项．
是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1.已知集合{
R |1|2}A x x =∈-<，{
2R 230}B x x x =∈+-≥，则=A B
A.[)3,1--
B.[)
1,3
C.(]
1,1-
D.(][),33,-∞-+∞
2.复数2
1z i
=
-,则||z = A.1 B.2 2 D.22
3.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus )在公元前二世纪 首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗．到 了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出 了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星 等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-．其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =．已知 “心宿二”的星等是1.00，“天津四” 的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与 r 最接近的是(当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++) A.1.22
B.1.24
C.1.26
D.1.28
4.若,x y 满足约束条件212x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
，则z y x =-的取值范围是
A.[]
1,0-
B.[]
1,2-
C.[]
0,1
D.[]0,2
5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且918S =，71a =，则1a = A.4
B.2
C.1
2
-
D.1- 6.已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的
一个交点．若4FP FQ =，则||QF =
A.
72 B.3 C.5
2
D.2
7.函数2()2ln f x x x =-的单调递减区间是 A.11(,)
22- B.1(,)2+∞ C.1(0,)2 D.11,,22⎛⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
8.若函数()sin()(0)6
f x x π
ωω=->在区间(0,1)上有最大值，则ω的取值范围为
A.2,3π⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ B.20,3
π
⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.5,3π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.25,33ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
9. 关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：
①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中真命题的序号是
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
切磋砥砺足千日 紫电龙光助鹰扬
东北师大附中2018级
高三年级第三次摸底考试数学（理）学科试题
A
B
C
D E
F
1C 1
B 1
D 1
A 10. 若01x y <<<，则
A. 231x y <<
B. 11()()133
x y << C. log 3log 40<<x y D. log 4log 30y x <<
11.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在1,A D AC 上，
且1123A E A D =，1
3AF AC =，则EF 与11C D 所成角的余弦值为
C.3
12. 已知双曲线22
22:1(0,0)-=>>x y C a b a b
的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点M 为
双曲线右支上一点，若122F F OM =，213
MF F
π
∠≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为
A.1]
B. 1]
C.
D. 1,)+∞
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.若向量a 与b 的夹角为60，4=b ，(2)(3)72a b a b +-=-，则a =________. 14.若1
cos()43
x π
+
=，则sin 2x =________. 15.已知数列{}n a 满足331log 1log n n a a ++=*()n ∈N ，且2469a a a ++=，则
3579log ()a a a ++＝________.
16.设点P 在曲线()x
y a a e =>上，点Q 在曲线log a y x =
上，若min ||PQ e
≤
，则a 的 取值范围是________.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，设()(sin sin )()sin a b A B c C +-=. （1）求A ；
（2）若2a =，且sin ,sin ,sin B A C 成等差数列，求ABC ∆的面积．
18. （本小题满分12分）
某市为进一步改善市内交通状况，准备修建一条新的地铁线路，为了调查市民对沿线地铁站 配置方案的满意度，现对居民按年龄（单位：岁）进行问卷调查，从某小区年龄在[15,65]内 的居民中随机抽取100人，将获得的数据按照年龄区间[15,25),[25,35),[35,45),[45,55), [55,65]分成5组，同时对这100人的意见情况进行统计得到频率分布表． 经统计，在这100 人中，共有65
（1）求a 和b 的值；
（2）在这100人中，按分层抽样的方法从年龄在区间[25,35)，[35,45)内的居民（包括持反对 意见者）中随机抽取6人进一步征询意见，再从这6人中随机抽取3人参加市里的座谈， 记抽取参加座谈的3人中年龄在[25,35)的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．
19. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，1==BC CD ， 2=AB ．PBC ∆是等边三角形，平面PBC ⊥平面ABCD ，点M 在棱PC 上． （1）当M 为棱PC 中点时，求证：AP BM ⊥； （2）是否存在点M 使得二面角D MB C --的余弦值为3
4
， 若存在，求CM 的长；若不存在，请说明理由．
20. （本小题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
，短轴长为2，O 为坐标原点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线l 与椭圆C 交于,A B 不同两点，线段AB 中点在圆2
2
1x y +=上，求AOB ∆面积
的最大值．
21. （本小题满分12分） 已知函数1
()ln f x x a x x
=
-+． （1）若2a ≤，证明：当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≤； （2）若()f x 存在两个极值点12,x x （12x x <）且5
2
a ≥
，求12()()f x f x -的最大值．
请在22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.
在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为,
2sin ⎧=⎪⎨=⎪⎩x θy θ
（θ为参数），直线l 的参数方
程为cos ,
1sin ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
x t αy t α（t 为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l
所得线段的中点坐标为，求l 的倾斜角．
23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.
设函数()4|2||21|f x x a x =-+--．
（1）当2a =时，求不等式()f x x ≥的解集；
（2）若()2f x ≤，求a 的取值范围．
A
B
D
C
P M。