高考数学压轴专题新备战高考《集合与常用逻辑用语》全集汇编附解析

【高中数学】高考数学《集合与常用逻辑用语》解析
一、选择题
1．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()12
n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
必要性显然成立；由()12
n n n a a S +=
，()
111(1)2n n n a a S ---+=，得
11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，同理可得211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②，综合①，
②，得122n n n a a a --=+，充分性得证，即可得到本题答案. 【详解】
必要性显然成立；下面来证明充分性， 若()12
n n n a a S +=
，所以当2n …时，()111(1)2n n n a a S ---+=， 所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+，化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，
所以当3n …
时，211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②， ①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+，所以122n n n a a a --=+，即数列{}n a 是等差数列，充分性得证，所以“()
12
n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.
2．已知集合{}
0lg 2lg3P x x =<<，2
12Q x x ⎧
⎫=>⎨⎬-⎩⎭
，则P Q I 为( )
A ．()0,2
B ．()1,9
C ．()1,4
D ．()1,2
【答案】D 【解析】 【分析】
集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：{}
19P x x =<<，{}
02Q x x =<<；
()1,2P Q ∴⋂=.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
3．已知命题p ：若x y >且y z >，则()()112
2
log log x y y z -<-，则命题p 的逆否命题
及其真假分别为（ ）
A ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，真
B ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，真
C ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，假
D ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，假
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据逆否命题的概念写出命题p 的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】
命题p 的逆否命题为“若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤”；
由于原命题为假（如4x =，3y =，1z =），故其逆否命题也为假， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4．已知p ，q 是两个命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的( ) A ．既不充分也不必要条件
B ．充分必要条件
C ．充分不必要条件
D ．必要不充分条件
【答案】C 【解析】 【分析】
由充分必要条件及命题的真假可得：“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的充分不必要条件，得解. 【详解】
解：因为“p q ∧是真命题”则命题p ，q 均为真命题，所以p ⌝是假命题， 由“p ⌝是假命题”，可得p 为真命题，但不能推出“p q ∧是真命题”， 即“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的充分不必要条件， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了充分必要条件及命题的真假，属于基础题．
5．14
a =-
是函数2
()1f x ax x =--有且仅有一个零点的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件 【答案】A 【解析】 【分析】
将1
4
a =-
代入函数证明充分性，取0a =得到不必要，得到答案. 【详解】
当14a =-时，2
211()11042f x x x x ⎛⎫=---=-+= ⎪⎝⎭
，2x =-，充分性； 当0a =时，()10f x x =--=，1x =-，一个零点，故不必要. 故选：A . 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.
6．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{
x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数； ②若0a b ⋅=r r
，则0a =r r 或0b =r r
；
③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题；
④函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误；
对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r
，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；
对于③中，命题“若22
0x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，
其逆否命题为真命题，故③正确；
对于④中，()()x x x x
e e e e
f x f x x x
-----===-，
且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称， 所以函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数，故④正确.
综上，真命题的个数是2. 故选：B. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
7．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
Q 点P 不在直线l 、m 上，
∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平
行，即必要性成立，
若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下：
若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立
则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．
8．已知集合{
}|3x
M y y ==，{|N x y ==
，则M N =I （ ）
A ．{|01}x x <<
B ．{|01}x x <≤
C ．{|1}x x ≤
D ．{|0}x x >
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的定义域和值域，求得集合,M N ，再结合集合的交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合{
}|3
{|0}x
M y y y y ===>,{|{|1}N x y x x ==
=≤，
所以{|01}M N x x ⋂=<≤. 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了计算能力．
9．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；
②若正整数m 和n 满足m n ≤2
n ； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；
④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；
⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】
①，命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①
错误.
②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得
22
m n m n
+-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即
sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.
④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为
11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11
10221121
112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨
-⎪==+⎪
-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321
y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1
m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.
10．“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
试题分析：由x ＜﹣1，知x 2﹣1＞0，由x 2﹣1＞0知x ＜﹣1或x ＞1．由此知“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件． 解：∵“x ＜﹣1”⇒“x 2﹣1＞0”， “x 2﹣1＞0”⇒“x ＜﹣1或x ＞1”．
∴“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件． 故选A ．
点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要注意基本不等式的合理运用．
11．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫
==+∈⎨⎬⎩⎭
，则（ ） A ．M N = B ．M N C ．N M D ．M N ⋂=∅
【答案】C 【解析】 【分析】
化简集合2|,4k M x x k Z +⎧
⎫==
∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫
==∈⎨⎬⎩⎭
，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解. 【详解】
由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫
==+∈==∈⎨⎬⎨
⎬⎩⎭⎩⎭， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫
==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，
因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数， 所以集合,M N 的关系为N M .
故选：C . 【点睛】
本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
12．已知集合{}2
|log ,1,|12A y y x x B x y x ⎧==>==⎨-⎩
，则A B =I （ ） A ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B ．()0,1
C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】
∵集合{}
2log ,1A y y x x == ∴集合(0,)A =+∞ ∵集合|12B x y x ⎧==
⎨-⎩ ∴集合1(,)2
B =-∞ ∴1(0,)2
A B ⋂= 故选A.
13．已知命题2
000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则
11
a b
>，则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧
D ．p q ⌝∧⌝
【答案】B 【解析】
因为2
2
213133
1()44244
x x x x x -+=-+
+=-+≥，所以命题p 为真；1122,22--
∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，选B.
14．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是
B 的充要条件．
15．设x ∈R ，则“03x <<”是“12x -<” 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
解绝对值不等式12x -<求得x 的取值范围.然后根据两者的范围判断正确选项. 【详解】
由12x -<，得212x -<-<，解得13x -<<，()0,3是()1,3-的子集，故“03x <<”是“12x -<”的充分而不必要条件.故选A. 【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
16．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()2
2
212x y -++=”相切的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
根据直线与圆相切，求得1c =或3c =，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解. 【详解】
由题意，圆()()2
2
212x y -++=的圆心坐标为(2,1)-， 当直线0x y c ++=与圆()()2
2
212x y -++=相切，可得d r =，
即d =
=12c +=，解得1c =或3c =，
所以“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()2
2
212x y -++=”相切的充分不必要条件. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
17．已知集合{|21
}A x x =->，2{|lg(2)}B x y x x ==-，则()R C A B =I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2)
C ．(2,3)
D ．(0,1]
【答案】B 【解析】 【分析】
由绝对值不等式的解法和对数函数的性质，求得{3,1
}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，再根据集合的运算，即可求解．
【详解】
由题意，可求得{3,1
}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，则[]
1,3R C A =， 所以()[
)1,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】
本题主要考查了对数的混合运算，其中解答中涉及到绝对值不等式的求解，以及对数函数的性质，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
18．已知集合{}
2
60A x x x =--≤，(){}
lg 2B x y x ==-，则A B =I （ ）
A ．[)2,2-
B ．[]2,3
C ．(]2,3
D ．()3,+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解答和对数函数的性质，求得,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合{
}{}
2
6023A x x x x x =--≤=-≤≤，
(){}{}lg 22B x y x x x ==-=>，
所以(]2,3A B =I ．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了集合运算及性质，其中解答中熟记集合交集的概念及运算是解答的关键，着重考查数学运算能力．
19．已知命题:p 函数()
2
0.5log 2y x x a =++的定义域为R ，命题:q 函数()
52x
y a =--是减函数.若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．12a <<
C ．2a <
D ．1a ≤或2a ≥
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意知p 为假命题，q 为真命题.
由p 为假命题，即：220x x a ++>不恒成立，故4401a a ∆=-≥⇒≤ .
q 为真命题，即： 5212a a ->⇒<.由此便可得出答案.
【详解】
由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，得p 为假命题，q 为真命题. 由p ：函数(
)
2
0.5log 2y x x a =++为假命题得，220x x a ++>在R 上不恒成立.即
4401a a ∆=-≥⇒≤.
由:q 函数()52x
y a =--是减函数，即：()52x
y a =-是增函数，即5212a a ->⇒<. 两者取交集得：1a ≤. 故选：A 【点睛】
本题主要考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”，属于中档题目.
20．已知命题0:(0,)p x ∃∈+∞2
0x >；命题1
:,2q x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭
，122x x -+>下列命题中是真命题的为（ ） A ．q ⌝ B ．()p q ∧⌝ C ．p q ∧ D ．()()p q ⌝∨⌝
【答案】C 【解析】 【分析】
分别判断命题p 为真，命题q 为真，得到答案. 【详解】
取012x =2
12⎛⎫> ⎪⎝⎭
，故命题p 为真；
因为122x x -+≥=12
x =时等号成立，故命题q 为真； 故p q ∧为真，
故选：C ．
【点睛】 本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.。