专题13 等腰三角形常见辅助线的作法(原卷版)

专题13 等腰三角形常见辅助线的作法（原卷版）
类型一作底边中线（连接顶角顶点与底边中点）
1．（2023秋•万州区校级月考）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°；AC＝8，F是AB边上的中点，点
D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接D
E、D
F、EF．在此运动变化过程中，下列结
论：①△DEF是等腰直角三角形，②四边形CDFE保持面积不变，③DF的长度处于最小值时，CD的长为4；④S△CDE＝S△DEF；其中正确的结论是（）
A．①②③④B．①②C．①②④D．①②③
2．（2023•成武县校级三模）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF．
3．（2020秋•新华区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过A点的直线EF∥BC，且AE＝AF，求证：DE＝DF．
4．（2018秋•邻水县校级期末）如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC 于F．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=1
2∠B．
类型二作底边上的高
5．（2022秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D在BA的延长线上，CA ＝CD，BD＝6，则AD＝（）
A．1B．2C．3D．4
6．（2014•甘肃模拟）如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC=1
2∠BAC．
7．如图，点D、E分别在BA、AC的延长线上，且AB＝AC，AD＝AE，求证：DE⊥BC．
8．（2019秋•河池期末）如图，在△ABC中，点D、点E在BC边上，且AB＝AC，AD＝AE．求证：DB＝CE．
9．（2022秋•晋江市期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．
10．（2023春•市中区期末）小明遇到这样一个问题
如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且BD＝BC，求证：∠ABC＝2∠ACD．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．
方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．
根据阅读材料，从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC＝2∠ACD．
11．（2021秋•南通期中）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝a，EF＝a，BF ＝b，则AC的长为（）
A．a+b B．2b C．1.5b D．b
12．（2023•滕州市模拟）综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：
（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：；（填入你选择的选项字母）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
（2）AD的取值范围是．
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
13．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为．
14．（2021秋•龙亭区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，CD平分∠ACB交AB于D，E 为BC上一点，BE＝DE．求证：BC＝CD+AD．
类型五角平分线+平行线构造等腰三角形
15．（2022春•驿城区校级期中）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分线OC上的任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，如果OD＝8cm，求PE的长．
16．（2020秋•秦淮区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE．
17．（2022秋•淮滨县期末）已知A（﹣10，0），以OA为边在第二象限作等边△AOB．（1）求点B的横坐标；
（2）如图，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连结OE，当∠EMO＝45°时，求∠MEO的度数．
类型六角平分线+垂直构造等腰三角形
18．（2020秋•朝阳区校级期中）我们知道“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题的一种重要的添加辅助线的策略，参考这种思想解决下列问题
如图，在△ABC中，D为△ABC外一点．
（1）若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝BC，F是AC上一点，AD⊥BF交BF延长线于点D，且BF是∠CBA的角平分线．求证：2AD＝BF。