【单元练】《易错题》初中九年级数学上册第二十四章《圆》知识点(培优练)

一、选择题
1．如图，AC 为半圆的直径，弦3AB =，30BAC ∠=︒，点E 、F 分别为AB 和AC 上的动点，则BF EF +的最小值为（ ）
A ．3
B ．332
C ．3
D ．332
+B 解析：B
【分析】 作B 点关于直径AC 的对称点B′，过B′点作B′E ⊥AB 于E ，交AC 于F ，如图，利用两点之间线段最短和垂线段最短可判断此时FB ＋FE 的值最小，再判断△ABB′为等边三角形，然后计算出B′E 的长即可．
【详解】
解：作B 点关于直径AC 的对称点B′，过B′点作B′E ⊥AB 于E ，交AC 于F ，如图，
则FB ＝FB′，
∴FB ＋FE ＝FB′＋FE ＝B′E ，
此时FB ＋FE 的值最小，
∵∠BAC ＝30°，
∴∠B′AC ＝30°，
∴∠BAB′＝60°，
∵AB ＝AB′，
∴△ABB′为等边三角形，
∵B′E ⊥AB ，
∴AE ＝BE ＝32
，
∴B′E
＝
2，
即BF ＋EF 的最小值为
2
． 故选：B ．
【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质．
2．下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个B 解析：B
【分析】
根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可．
【详解】
解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆； （2）直径所对的圆周角是直角；正确；
（3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直；
（4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
（5）圆内接四边形对角互补；正确；
故选：B ．
【点睛】
本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．已知O 的直径10CD cm ，AB 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，且
8AB cm =，则AC 的长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 解析：C
【分析】
连结OA ，由AB CD ⊥，根据垂径定理可以得到4AM =,结合勾股定理可以得到3OM =．在分类讨论，如图，当8CM =和2CM =时，再结合勾股定理即可求出AC ．
【详解】
∵AB CD ⊥， ∴118422AM BM AB ===⨯=， 在Rt OAM 中，5OA =，
∴223OA OM AM -==，
当如图时，538CM OC OM =+=+=，
在Rt ACM △中，2245AC AM CM =+=，
当如图时，532CM OC OM =-=-=，
在Rt ACM △中，2225AC AM CM =
+=
故选C ．
【点睛】 本题考查垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”．分类讨论思想也是解决本题的关键．
4．已知⊙O ，如图，
（1）作⊙O 的直径AB ；
（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点；
（3）连接CD 交AB 于点E ，连接AC ，BC ．
根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE DE =；②3BE AE =；③2BC CE =．其中正确的推断的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个D
解析：D
①根据作图过程可得AC AD
=，根据垂径定理可判断；
②连接OC，根据作图过程可证得△AOC为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；
③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断．
【详解】
解：①∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，
∴AC AD
=，
根据垂径定理可知，AB⊥CE，CE=DE，
∴①正确；
②连接OC，∵AC=OA=OC，
∴△AOC为直角三角形，
∵AB⊥CE，
∴AE=OE，
∴BE=BO+OE=3AE，
∴②正确；
③∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=60°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CE，
∴③正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键．
5．如图，不等边ABC内接于O，下列结论不成立的是（）
A ．12∠=∠
B ．14∠=∠
C ．2AOB ACB ∠=∠
D ．23ACB ∠=∠+∠B
解析：B
【分析】 利用OB=OC 可对A 选项的结论进行判断；由于AB≠BC ，则∠BOC≠∠AOB ，而∠BOC=180°-2∠1，∠AOB=180°-2∠4，则∠1≠∠4，于是可对B 选项的结论进行判断；根据圆周角定理可对C 选项的结论进行判断；利用∠OCA=∠3，∠1=∠2可对D 选项的结论进行判断．
【详解】
解：∵OB=OC ，
∴∠1=∠2，所以A 选项的结论成立；
∵OA=OB ，
∴∠4=∠OBA ，
∴∠AOB=180°-∠4-∠OBA=180°-2∠4，
∵△ABC 为不等边三角形，
∴AB≠BC ，
∴∠BOC≠∠AOB ，
而∠BOC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1，
∴∠1≠∠4，所以B 选项的结论不成立；
∵∠AOB 与∠ACB 都对弧AB ，
∴∠AOB=2∠ACB ，所以C 选项的结论成立；
∵OA=OC ，
∴∠OCA=∠3，
∴∠ACB=∠1+∠OCA=∠2+∠3，所以D 选项的结论成立．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和等腰三角形的性质．
6．如图，在等边ABC 中，点O 在边AB 上，O 过点B 且分别与边AB BC 、相交于点D 、E ，F 是AC 上的点，判断下列说法错误的是（ ）
A．若EF AC
⊥，则EF是O的切线B．若EF是O的切线，则EF AC
⊥
C．若
3
2
BE EC
=，则AC是O的切线
D．若BE EC
=，则AC是O的切线D
解析：D
【分析】
A、如图1，连接OE，根据同圆的半径相等得到OB=OE，根据等边三角形的性质得到
∠BOE=∠BAC，求得OE∥AC，于是得到A选项正确；B、由于EF是⊙O的切线，得到OE⊥EF，根据平行线的性质得到B选项正确；C、根据等边三角形的性质和圆的性质得到
AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，根据三角函数得到OH=
3
2
AO≠OB，于是得到C选
项正确；由于C正确，D自然就错误了．【详解】
解：A、如图，连接OE，
则OB=OE，
∵∠B=60°
∴∠BOE=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOE=∠BAC，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
∴A选项正确
B、∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，
∴B选项正确；
C、如图，∵BE=
3
2
EC，
∴CE=23
3
BE，
∵AB=BC，BO=BE，
∴AO=CE=23
3
OB，
∴OH=3
2
AO=OB，
∴AC是⊙O的切线，
∴C选项正确．
D、∵∠B=60°，OB=OE，
∴BE=OB，
∵BE=CE，
∴BC=AB=2BO，
∴AO=OB，
如图，过O作OH⊥AC于H，
∵∠BAC=60°，
∴OH=3
2
AO≠OB，
∴D选项错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．7．点A，B的坐标分别为A (4，0)，B(0，4)，点C为坐标平面内一点，BC﹦2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）
A．2 1 B．2＋2 C．2＋1 D．2-2A
解析：A
【分析】
根据同圆的半径相等可知：点C 在半径为2的B 上，通过画图可知，C 在BD 与圆B 的交点时，OM 最小，在DB 的延长线上时，OM 最大，根据三角形的中位线定理可得结
论．
【详解】
解：如图，
点C 为坐标平面内一点，2BC =，
C ∴在B 上，且半径为2，
取4OD OA ，连接CD ， AM CM =，OD OA =，
OM ∴是ACD ∆的中位线， 12
OM CD ， 当OM 最大时，即CD 最大，而D ，B ，C 三点共线时，当C 在DB 的延长线上时，OM 最大， 4OB OD ，90BOD ∠=︒，
42BD ∴= 422CD ， 114222212
2OM CD ， 即OM 的最大值为221；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM 为最大值时点C 的位置是解题的关键．
8．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒ ，3AB = ，A ，B 的半径分别为2和1，P ，E ，F 分别是CD 边、A 和B 上的动点，则PE PF +的最小值是（ ）
A．333
-B．2 C．3 D．33C
解析：C
【分析】
+的最小值，进而求解即可．利用菱形的性质及相切两圆的性质得出P与D重合时PE PF
【详解】
解：作点A关于直线CD的对称点A´，连接BD，DA´，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∵∠BDC=∠ADB=60°，
∴∠ADN =60°，
∴∠A´DN=60°，
∴∠ADB+∠ADA´=180°，
∴A´，D，B在一条直线上，
+最小，
由此可得：当点P和点D重合，E点在AD上，F点在BD上，此时PE PF
∵在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD，
则△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=AD=3，
∵⊙A，⊙B的半径分别为2和1，
∴PE=1，DF=2，
+的最小值为3．
∴PE PF
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系等知识．根据题意得出点P 位置是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD 内接于O ，若108B ∠=︒，则D ∠的大小为（ ）
A ．36°
B ．54°
C ．62°
D ．72°D
解析：D
【分析】 运用圆内接四边形对角互补计算即可．
【详解】
∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠B ＝108°，
∴∠D ＝180°−∠B ＝180°−108°＝72°，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
10．如图，P 与y 轴交于点()0,4M -，()0,10N -，圆心P 的横坐标为4-，则P 的半径为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6C
解析：C
【分析】 过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，由垂径定理得DM ＝3，在Rt △PMD 中，由勾股定理可求得PM 为5即可．
【详解】
解：过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，如图所示：
∵⊙P 与y 轴交于M （0，−4），N （0，−10）两点，
∴OM ＝4，ON ＝10，
∴MN ＝6，
∵PD ⊥MN ，
∴DM ＝DN ＝12MN ＝3， ∴OD ＝7，
∵点P 的横坐标为−4，即PD ＝4，
∴PM ＝22PD DM +＝2243+＝5，
即⊙P 的半径为5，
故选：C ．
【点睛】 本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 二、填空题
11．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若∠A ＝70°，则∠BOC ＝________°．
125【分析】根据三角形内角和性质结合题意可计算得的值；
根据内切圆的性质分析可计算得的值从而完成求解【详解】∵∠A ＝70°∴∵⊙O 是△ABC 的内切圆∴∴∴故答案为：125【点睛】本题考查了三角形内角 解析：125
【分析】
根据三角形内角和性质，结合题意，可计算得ABC ACB ∠+∠的值；根据内切圆的性质分析，可计算得OBC OCB ∠+∠的值，从而完成求解．
【详解】
∵∠A ＝70°
∴180110ABC ACB A ∠+∠=-∠=
∵⊙O 是△ABC 的内切圆
∴12OBC ABC ∠=∠，12
OCB ACB ∠=∠ ∴11111055222
OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯= ∴180********BOC OBC OCB ∠=-∠-∠=-=
故答案为：125．
【点睛】
本题考查了三角形内角和、三角形内切圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形内切圆的性质，从而完成求解．
12．如图，等腰直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=4．平面内的直线l 经过点A ，作CE ⊥l 于点E ，连接BE.则当直线l 绕着点A 转动时，线段BE 长度的最大值是________．
【分析】以AC 为直径作圆O 连接BO 并延长交圆
O 于点可得BO+O ＞B 从而可得BO+OE ＞B 即BE 为最大值再由勾股定理求出BO 的长即可解决问题【详解】解：由题意知CE ⊥l 于点E ∴以AC 为直径作圆O ∵CE
解析：225+
【分析】
以AC 为直径作圆O ，连接BO ，并延长交圆O 于点E '，可得BO+O E '＞B E '，从而可得BO+OE ＞B E '，即BE 为最大值，再由勾股定理求出BO 的长即可解决问题．
【详解】
解：由题意知，CE ⊥l 于点E ，
∴以AC 为直径作圆O ，
∵CE ⊥AE,
∴点E 在圆O 上运动，
连接BO ，并延长交圆O 于点E '，如图，
∴BO+O E '＞B E '，
∵OE=O E '，
∴BO+OE ＞B E '，
∴BE 的长为最大值，
∵AO=OC=OE ，且AB=AC=4， ∴122OE AC =
= 又∵∠BAC=90° ∴222224220BO AO AB =+=+=
∴25BO =
∴BE=252BO OE +=+ 故答案为：225+
【点睛】
此题主要考查了求线段的最大值，构造出△ACE 的外接贺是解答本题的关键．
13．如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =，则a ，b ，c 之间的大小关系是_________________．（用“>”、“<”、“=”连接）
【分析】连接OAODOM 则OA=OD=OM 由矩形的性质
得出OA=BC=aOD=EF=bOM=NH=c 即可得出a=b=c 【详解】解：连接OMODOA 根据矩形的对角线相等得BC=OAEF=ODNH=OM
解析：a b c ==
【分析】
连接OA 、OD 、OM ，则OA=OD=OM ，由矩形的性质得出OA=BC=a ，OD=EF=b ，OM=NH=c ，即可得出a=b=c ．
【详解】
解：连接OM 、OD 、OA 、根据矩形的对角线相等，得BC=OA ，EF=OD ，NH=OM ．再根据同圆的半径相等，得a=b=c ．
故答案是：a=b=c ．
【点睛】
此题主要能够根据矩形的对角线相等把线段进行转换，根据同圆的半径相等即本题考查了矩形的性质、同圆的半径相等的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
14．在矩形ABCD 中，43AB =，6BC =，若点P 是矩形ABCD 上一动点，要使得60APB ∠=︒，则AP 的长为__________．或4或8【分析】取CD 中点P1连接AP1BP1由勾股定理可求AP1＝BP1＝4即可证△AP1B 是等边三角形可得∠AP1B ＝60°过点A 点P1点B 作圆与ADBC 各有一个交点即这样的P 点一共3个再运用勾 解析：43或4或8．
【分析】
取CD 中点P 1，连接AP 1，BP 1，由勾股定理可求AP 1＝BP 1＝43，即可证△AP 1B 是等边三角形，可得∠AP 1B ＝60°，过点A ，点P 1，点B 作圆与AD ，BC 各有一个交点，即这样的P 点一共3个．再运用勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，取CD 中点P 1，连接AP 1，BP 1，如图1，
∵四边形ABCD 是矩形
∴AB ＝CD ＝3AD ＝BC ＝6，∠D ＝∠C ＝90°
∵点P 1是CD 中点
∴CP ＝DP 1＝3∴AP 1221
AD DP +3， BP 1221
BC CP +＝3∴AP 1＝P 1B ＝AB
∴△APB 是等边三角形
∴∠AP 1B ＝60°，
过点A ，点P 1，点B 作圆与AD ，BC 的相交，
∴这样的P 点一共有3个
当点P 2在AD 上时，如图2，
∵四边形ABCD 是矩形， ∴43,43,90AB A CD AD =∠===︒
∵260,AP B ∠=︒
∴221,2
P A P B = 即222,P B P A = 在2Rt P AB ∆中，22222,P B P A AB -=
∴22222
2(43),P A P A -= ∴24AP =；
当点P 3在BC 上时，如图3，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B=90°
∵∠360,AP B =︒
∴∠3390906030,P AB AP B =︒-∠=︒-︒=︒
∴331,2
BP AP = 在3Rt ABP ∆中，22233,AP BP AB -=
222331()(43),2
AP AP -= 23348,4
AP =
∴8,AP =
综上所述，AP 的长为：43或4或8．
故答案为：43或4或8．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
15．如图，O 是正方形ABCD 的外接圆，2,AB =点E 是劣弧AD 上的任意一点，连接BE ，作CF BE ⊥于点F ，连接,AF 则当点E 从点A 出发按顺时针方向运动到点D 时，AF 长的取值范围为________________．
【分析】首先根据题意可知当点与点重合时最长的最大值
为；再证明点的运动轨迹为以为直径的通过添加辅助线连接交于点连接由线段公理可知当点与点重合时最短的最小值为即可得解【详解】解：∵由题意可知当点与点重合
512AF ≤≤
【分析】
首先根据题意可知，当点F 与点B 重合时AF 最长，AF 的最大值为2；再证明点F 的运动轨迹为以BC 为直径的'O ，通过添加辅助线连接'AO 交'O 于点M ，连接'O F ，由线段公理可知，当点F 与点M 重合时AF 最短，AF 51．即可得解．
【详解】
解：∵由题意可知，当点F 与点B 重合时AF 最长
∴此时2AF AB ==，即AF 的最大值为2
∵CF BE ⊥
∴90CFB ∠=︒
∴点F 的运动轨迹为以BC 为直径的'O ，连接'AO 交'O 于点M ，连接'O F ，如图：
∵2AB = ∴11'122
BO BC AB === ∴在'Rt ABO 中，22''5AO AB BO =+=∴''51AM AO O M =-=
∴由两点之间，线段最短可知，当点F 与点M 重合时AF 最短
∴AF 51 ∴512AF ≤≤．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆的动点问题、90︒的圆周角所对的弦为直径、勾股定理、线段公理等知识点，解题的关键是确定AF 取最大值和最小值时点F 的位置，属于中考常考题型，难度中等．
16．已知一个圆锥形纸帽的底面半径为5cm ，母线长为10cm ，则该圆锥的侧面积为_____cm 2（结果保留π）50π【分析】首先求得圆锥的底面周长然后利用扇形的面积公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π则圆锥的侧面积是：×10π×10＝50π（cm2）故答案是：50π【点睛】本题主要考查
解析：50π
【分析】
首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】
解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π， 则圆锥的侧面积是：
12
×10π×10＝50π（cm 2）． 故答案是：50π．
【点睛】
本题主要考查了圆锥侧面积的求法，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 17．如图，若∠BOD ＝140°，则∠BCD=___________ ．
【分析】如图（见解析）先根据圆周角定理可得再根据圆内
接四边形的性质即可得【详解】如图在优弧上取一点E 连接BEDE 由圆内接四边形的性质得：故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理圆内接四边形的性质熟练掌
解析：110︒
【分析】
如图（见解析），先根据圆周角定理可得70BED ∠=︒，再根据圆内接四边形的性质即可得．
【详解】
如图，在优弧BD 上取一点E ，连接BE 、DE ，
140BOD ∠=︒， 1702
BED BOD ∠∴∠==︒， 由圆内接四边形的性质得：180110BC ED D B ∠=︒-∠=︒，
故答案为：110︒．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 18．在平面直角坐标系xOy 中，A （5，6），B （5，2），C （3，0），△ABC 的外接圆的圆心坐标为____．
(14)【分析】如图作AB 和BC 的垂直平分线它们的交
点为△ABC 的外接圆的圆心然后直接读出△ABC 的外接圆的圆心坐标【详解】
解：如图所示：点P 即为所求；所以点P 的坐标为（14）故答案为（14）【点睛
解析：(1，4)
【分析】
如图，作AB 和BC 的垂直平分线，它们的交点为△ABC 的外接圆的圆心，然后直接读出△ABC 的外接圆的圆心坐标．
【详解】
解：如图所示：点P 即为所求；
所以点P 的坐标为（1,4）．
故答案为（1,4）．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键．
19．如图，AB 是O 的直径，CD AB ⊥于E ，24CD =，8BE =，则
AB =__________．
【分析】连接OD 设的半径为r 则OE=r-8再根据勾
股定理求出r 最后根据直径和半径的关系即可解答【详解】解：如图：设的半径为r 则OE=r-8∵AB ⊥CD 于E 且CD=24∴DE=CD=12在Rt △ODE
解析：26
【分析】
连接OD ，设O 的半径为r ，则OE=r-8，再根据勾股定理求出r ，最后根据直径和半径的关系即可解答．
【详解】
解：如图：设O的半径为r，则OE=r-8，
∵AB⊥CD于E，且CD=24，
∴DE=1
CD=12，
2
在Rt△ODE中，OD=r，OE=r-8，DE=12，
∴OE2+DE2=OD2，
∴（r-8）2+122=r2，解得r=13
∴AB=2r=26．
故答案为26．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键．20．如图，△ABC内接于O，∠BAC=45°，AD⊥BC于D， BD=6，DC=4，则AD的长是_____．
12【分析】连接OAOBOC过点O作OE⊥AD于
EOF⊥BC于F根据圆周角定理得到∠BOC=90°再根据等腰直角三角形的性质计算求出OB再由DF=BD-BF得出DF然后等腰直角三角形的性质求出OF根
解析：12
【分析】
连接OA、OB、OC过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根据圆周角定理得到
∠BOC=90°，再根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB，再由DF=BD-BF得出DF，然后等腰直角三角形的性质求出OF，根据勾股定理求出AE，再根据AD=AE+OF得到答案．【详解】
解：∵BD=6，DC=4，
∴BC=BD+DC=10
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
∴2522==OB BC 连接OA 、OB 、OC 过点O 作OE ⊥AD 于E ，OF ⊥BC 于F ，
∴BF=FC=5，
∴DF=BD-BF=1，
∵∠BOC=90°，BF=FC
∴OF=12
BC=5， ∵AD ⊥BC ，OE ⊥AD ，OF ⊥BC ，
∴四边形OFDE 为矩形，
∴OE=DF=1，DE=OF=5，
在Rt △AOE 中，227,=-=AE OA OE
∴AD=AE+DE=12．
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
21．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点C 的切线相互垂直，垂足为D ，且交O 于点E ，连接OC ，BE ，相交于点F ．
（1）求证：EF BF =；
（2）若4DC =，2DE =，求直径AB 的长．
解析：（1）见解析（2）10
【分析】
（1）根据题意和平行线的性质、垂径定理可以证明结论成立；
（2）根据题意，利用矩形的性质和勾股定理可以解答本题．
【详解】
（1）证明：∵OC⊥CD，AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠AEB＝∠OFB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠OFB＝90°，
∴OF⊥BE且平分BE，
∴EF＝BF；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠OCD＝∠CFE＝90°，
∴四边形EFCD是矩形，
∴EF＝CD，DE＝CF，
∵DC＝4，DE＝2，
∴EF＝4，CF＝2，
设⊙O的为r，
∵∠OFB＝90°，
∴OB2＝OF2＋BF2，
即r2＝（r−2）2＋42，
解得，r＝5，
∴AB＝2r＝10，
即直径AB的长是10．
【点睛】
本题考查切线的性质、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．
（1）画出△OAB关于绕着点O逆时针旋转180°得到的△OA1B1，并写出点B1的坐标；（2）点A旋转到点A1所经过的路径长为__________（结果保留π）．
解析：（1）作图见解析，B1（-4，-2）；（2）4π．
【分析】
（1）将点A 和点B 分别绕点O 逆时针旋转90°后所得对应点，再顺次连接即可得； （2）根据弧长公式计算可得．
【详解】
解：（1）∴△OA 1B 1即为所求作三角形，
如图，点B 1（-4，-2）．
（2）∵OA ＝4，∠1AOA ＝180°，
∴点A 旋转到点A 1所经过的路径长为 1804180
π⋅=4π． 【点睛】
本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点，及弧长公式．
23．如图，AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CD AB ⊥，垂足为E ．1CE =，3ED =．
（1）求O 的半径．
（2）求AB 的长．
解析：（1）2；（2）3
【分析】
（1）求出CD ，即可得出答案；
（2）求出OA 、OE ，根据勾股定理求出AE ，根据垂径定理求出AB=2AE ，即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵CE=1，ED=3，
∴CD=CE+DE=4，
∴⊙O 的半径为2；
（2）∵直径CD ⊥AB ，
∴AB=2AE ，∠OEA=90°，
连接OA，
则OA=OC=2，OE=OC-CE=2-1=1，
在Rt△OEA中，由勾股定理得：AE=2222
OA OE
-=-=，
213
∴AB=2AE=23．
【点睛】
本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，能根据垂径定理求出AB=2AE是解此题的关键．24．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上．
（1）若∠ABC=120°，求∠AOC的度数；
（2）在（1）的条件下，若点B是弧AC的中点，求证：四边形OABC为菱形．
解析：（1）∠AOC=120°；（2）见解析
【分析】
（1）先由圆内接四边形的性质得∠ADC=60°，再由圆周角定理即可得出答案；
（2）证△OAB和△OBC都是等边三角形，则AB=OA=OC=BC，根据菱形的判定方法即可得到结论．
【详解】
（1）∵A、B、C、D四点都在⊙O上
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠ADC=60°，
∴∠AOC=2∠ADC=120°；
（2）连接OB，如图所示：
∵点B 是弧AC 的中点，∠AOC=l20°，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB ，
∴△OAB 和△OBC 都是等边三角形，
∴AB=OA=OC=BC ，
∴四边形OABC 是菱形．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定． 25．如图，O 的半径为2，四边形ABCD 内接于O ，圆心O 到AC 的距离等于3. （1）求AC 的长；
（2）求ADC ∠的度数.
解析：（1）2；（2）150︒
【分析】
（1）过点O 作OE AC ⊥于点E ，根据勾股定理求出CE ，即可得出答案；
（2）连接OA ，先求出60AOC ∠=︒，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠B=30°，即可得出答案．
【详解】
（1）过点O 作OE AC ⊥于点E ，如图，
则在Rt OCE 中，3OE =；2OC =， ∴()2222231CE OC OE =-=
-=
∴22AC CE ==；
（2）连接OA ，如图：
∵由（1）知，在AOC △中，AC OA OC ==，
∴60AOC ∠=︒，
∵弧AC =弧AC ，
∴1302
B AO
C ∠=
∠=︒， ∴180********ADC B ︒︒∠=-∠=-=︒︒．
【点睛】 本题考查了垂径定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，掌握这些知识点是解题关键． 26．如图，长方形ABCD 的长是a ，宽是b ，分别以A 、C 为圆心作扇形，用代数式表示阴影部分的周长L 和面积S （结果中保留π）．
解析：22L b a b π=+-；2
1
2S ab b π=-.
【分析】 由已知图知，阴影部分的周长是()12πb 22a b ⨯+-； 阴影部分的面积为，长方形的面积减去两个14
圆的面积(半圆的面积)． 【详解】 阴影部分的周长()122222L b a b b a b ππ=⨯+-=+-； 阴影部分的面积221=1242S ab b ab b ππ=-⨯
-. 【点睛】
此题考查的是列代数式，用到的知识点是半圆的周长和面积的计算方法．
27．如图，长方形的长为a ，宽为
2
a ，用整式表示图中阴影部分的面积，并计算当2a =时阴影部分的面积（π取3.14）．
解析：2
(2)4
a π-，1.14 【分析】
根据对称性用a 表示出阴影的面积，再将a=2代入求解即可．
【详解】
解：由题意可知：
S 阴=211442222a a a π⎡⎤⎛⎫-⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
2
(2)4
a π-= 当2a =时，S 阴=
(3.142)4 1.144
-⨯=． 【点睛】
本题考查列代数式、代数式求值、圆的面积公式、三角形的面积公式，解答的关键是找出面积之间的关系，利用基本图形的面积公式解决问题．
28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，1），点P （t ，0）为x 轴上一动点(不与原点重合)．以P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，以AB 为直角边在AB 的右上方作等腰直角三角形ABC ，且∠BAC =90°，直线BC 于⊙P 的另一个公共点为F ，连接PF ．
（1）当t = 2时，点C 的坐标为（ ， ）；
（2）当t >0时，过点C 作x 轴的垂线l ．
①判断当点P 运动时，直线l 的位置是否发生变化？请说明理由；
②试说明点F 到直线l 的距离始终等于OP 的长；
（3）请直接写出t 为何值时，CF =2BF ．
解析：（1）1，35+；（2）①不变，理由见解析；②见解析；（3）43
±
【分析】 （1）过C 作y 轴的垂线交y 轴与D 点，先根据题意求得PA 、OB 的长，然后再证明△ACD ≌△AOB ，最后根据图形即可解答；
（2）①过点C 作CH ⊥y 轴，垂足为点H ，先证明△HAC ≌△OBA ，进一步得到C 点的横坐标恒为1，即可说明；
②过F 作FM ⊥l 交l 与M,过点F 作FN ⊥x 轴，垂足为点N ，即∠APF =90°，再说明∠APF 、=90°，再证得△AOP ≌△PBF ，最后根据图形运用线段的和差即可解答；
（3）分t ＞0和t ＜0两种情况分别求解即可
【详解】
解：（1）如图：过C 作y 轴的垂线交y 轴与D 点
∵t=2，P （2,0），A （0,1）
∴225OA OB +=
∴5∵∠BAC=90°，∠CDA=90°，
∴∠DAC+∠OAB=90°, ∠DAC+∠DCA=90°,
∴∠OAB=∠DCA
在△ACD 和△AOB 中
∠OAB=∠DCA ，∠CDA=∠AOB=90°，AC=AB
∴△ACD ≌△AOB （AAS ）
∴5
∴C （1，35+）； （2）①不变、理由如下：
过点C 作CH ⊥y 轴，垂足为点H ，易证△HAC ≌△OBA ，得HC =OA =1，
∴点C 的横坐标是定值为1，
∴直线l 是过点（1，0）且垂直于x 轴的直线，直线l 的位置不发生变化；
②如图：过F 作FM ⊥l 交l 与M,过点F 作FN ⊥x 轴，垂足为点N ，即∠APF =90°， ∵△ACB 为等腰直角三角形，∠CAB=90°
∴∠ABC=45°
∴∠APF=2∠ABC=90°
同理（1）可得△AOP ≌△PBF ，
∴PN =OA ，OP=FN
∴ON=OP+PN=OP+OA
∵直线l 为l=1
∴FM=OP ；
（3）∵CF=2BF
∴当t ＞0，如图，22311
MF OP t BQ OB OQ t t ===-++- ∴3t=22212t t ++-，即：()3340t t -=，解得t=
43 或t=0（舍去） 同理可得t ＜0时，可得t=-
43． 综上，当t=43
±时，CF=2BF ．
【点睛】
本题属于几何综合题，主要考查了圆的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的解法等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．。