数学北师大八年级上册将军饮马教学课件
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P A/
居民区B
小试牛刀
如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人要从马厩牵出马，先 到草地某一处牧马，再到河边饮水,然后回到帐篷,请帮他确 定这一天的最短路线
M A’
草地
A
N
B’
河
B
再攀高峰 民中造桥选址问题
如图，民中学生宿舍A和教学楼B在小米溪河的两岸， 现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使同学们上 学路程最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要 与河垂直）
B
A
思维分析
再攀高峰
B
MN A AM+MN+BN在什么情况下最短？
合作交流，解决问题
再攀高峰
B
M
N
A
A′
归纳提升
同学们，通过本堂课的学习，你学到了哪些知识？ 有哪些收获？
1、平面上，在直线上找一点使得到线外两定点的距离之和最小。
2、本节课所用到的数学思想：转化与化归
折线路径
转化与化归 轴对称性质
图形 B
A
O
L
L P
B
语言描述
两点之间，线段最短。
直线外一点与直线上 所有点的连线中，垂 线段最短。
将直线异侧的两点A、 B直接连接，交直线L 于点P，此时PA+PB 最短。
任务驱动 启迪智慧
问题
图形
语言描述
3、你能把“将军
饮马问题”转化成
A
具体的数学问题吗？
4、怎样才能找到 符合条件的点P呢？ 问题3与问题2的区 别在哪？你能把问 题3转化成问题2的
北师大版 数学 七年级（下）第五章 生活中的轴对称
轴对称的应用-----将军饮马问题
将军饮马
激疑引趣
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名 叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其 解的问题：
一位将军带着部队从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮 马，然后到B 地驻扎．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全 程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这 个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你知道海伦是如何帮助将军解决 Nhomakorabea题的吗？
B
A
l
任务驱动 启迪智慧
问题
A
1、截至目前， 你学到那些最短 问题？
2、如图，A,B 两点位于直线L
A
的两侧，你能
在直线L上找一
点P，使得点p
到A、B两点距
离之和最短吗？
直线段路径
课后拓展延伸
课后作业
1、如图，菱形ABCD中，AB=2， ∠BAD=600，E是AB 的中点，点P是对角线AC上的一个动点，请找出使得 PE+PB的值最小时点P的位置（找出位置即可）
D
A
P C
E B
课后拓展延伸
☆ 2、利用轴对称的性质，类比本节课 所学尝试在直线l上找一点P,让PB与PA 的差最大，并给出证明！
B
A L同 侧
A L异 侧
B
2016.4
∴PA+PB＜ QA+QB 即此时点P使得PA+PB的值最小
B
A P L
Q
B/
小试牛刀
如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛 奶，已知居民区A、B分别距离街道1km、2km，两居民区水平距 离4km，请问奶站修建在什么地方才能使得A，B到它的距离之和 最短？最短距离是多少？
C
居民区A 街道
情形吗？通过照镜 A
子：你能得到什么 启发呢？
镜子
B
？ L
P
p 像
A′
A、B两点位于直线L 的同侧，在直线L上 找一点P，使得点P 到A、B两点的距离 之和最小。
照镜子：物和像关 于镜面成抽对称， 镜面上的任意一点 到物和像对应点的 距离相等。
探索新知
5、通过以上学习和讨论，你知道海伦是怎样帮助将军解决问题的了吗？
A P
B l
B′
6、为什么这样找到的点P，就能使得PA+PB最短呢？你能尝试证明吗？
探究新知
证明：在直线L上任意取不同于点P的一点Q，连接QA、QB、 QB/，如图所示。
∵PA+PB=PA+PB/=AB/ QA+QB=QA+QB/
又∵AB/＜QA+QB/(两点之间线段最短或三角形中两边之和大 于第三边）
居民区B
小试牛刀
如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人要从马厩牵出马，先 到草地某一处牧马，再到河边饮水,然后回到帐篷,请帮他确 定这一天的最短路线
M A’
草地
A
N
B’
河
B
再攀高峰 民中造桥选址问题
如图，民中学生宿舍A和教学楼B在小米溪河的两岸， 现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使同学们上 学路程最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要 与河垂直）
B
A
思维分析
再攀高峰
B
MN A AM+MN+BN在什么情况下最短？
合作交流，解决问题
再攀高峰
B
M
N
A
A′
归纳提升
同学们，通过本堂课的学习，你学到了哪些知识？ 有哪些收获？
1、平面上，在直线上找一点使得到线外两定点的距离之和最小。
2、本节课所用到的数学思想：转化与化归
折线路径
转化与化归 轴对称性质
图形 B
A
O
L
L P
B
语言描述
两点之间，线段最短。
直线外一点与直线上 所有点的连线中，垂 线段最短。
将直线异侧的两点A、 B直接连接，交直线L 于点P，此时PA+PB 最短。
任务驱动 启迪智慧
问题
图形
语言描述
3、你能把“将军
饮马问题”转化成
A
具体的数学问题吗？
4、怎样才能找到 符合条件的点P呢？ 问题3与问题2的区 别在哪？你能把问 题3转化成问题2的
北师大版 数学 七年级（下）第五章 生活中的轴对称
轴对称的应用-----将军饮马问题
将军饮马
激疑引趣
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名 叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其 解的问题：
一位将军带着部队从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮 马，然后到B 地驻扎．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全 程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这 个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你知道海伦是如何帮助将军解决 Nhomakorabea题的吗？
B
A
l
任务驱动 启迪智慧
问题
A
1、截至目前， 你学到那些最短 问题？
2、如图，A,B 两点位于直线L
A
的两侧，你能
在直线L上找一
点P，使得点p
到A、B两点距
离之和最短吗？
直线段路径
课后拓展延伸
课后作业
1、如图，菱形ABCD中，AB=2， ∠BAD=600，E是AB 的中点，点P是对角线AC上的一个动点，请找出使得 PE+PB的值最小时点P的位置（找出位置即可）
D
A
P C
E B
课后拓展延伸
☆ 2、利用轴对称的性质，类比本节课 所学尝试在直线l上找一点P,让PB与PA 的差最大，并给出证明！
B
A L同 侧
A L异 侧
B
2016.4
∴PA+PB＜ QA+QB 即此时点P使得PA+PB的值最小
B
A P L
Q
B/
小试牛刀
如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛 奶，已知居民区A、B分别距离街道1km、2km，两居民区水平距 离4km，请问奶站修建在什么地方才能使得A，B到它的距离之和 最短？最短距离是多少？
C
居民区A 街道
情形吗？通过照镜 A
子：你能得到什么 启发呢？
镜子
B
？ L
P
p 像
A′
A、B两点位于直线L 的同侧，在直线L上 找一点P，使得点P 到A、B两点的距离 之和最小。
照镜子：物和像关 于镜面成抽对称， 镜面上的任意一点 到物和像对应点的 距离相等。
探索新知
5、通过以上学习和讨论，你知道海伦是怎样帮助将军解决问题的了吗？
A P
B l
B′
6、为什么这样找到的点P，就能使得PA+PB最短呢？你能尝试证明吗？
探究新知
证明：在直线L上任意取不同于点P的一点Q，连接QA、QB、 QB/，如图所示。
∵PA+PB=PA+PB/=AB/ QA+QB=QA+QB/
又∵AB/＜QA+QB/(两点之间线段最短或三角形中两边之和大 于第三边）