试题解析浙江省重点中学协作体2012届高三下学期高考仿真理科数学试题

浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题
理 科 数 学
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =
如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13
V S h =
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高
()()
()1,0,1,2,,n k
k k
n n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式
球的表面积公式 24S R π= ()
121
3
V h S S =
球的体积公式 34
3
V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，
其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高
选择题部分（共50分）
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.1．设3,
10,()[(5),10,
x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(6)f 的值为
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【解析】()()()()(6)11813107f f f f f f f =====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 【答案】C
2．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为
A ．π++36
B ．π++326
C ． π4318++
D ．π++3218
【解析】2
1=4=2S ππ⎛⎫
⋅ ⎪⎝⎭
圆；
=24S ⎛⎫⋅⋅
⎪ ⎪⎝⎭
底 =323=18S ⋅⋅侧；
=S π总．
【答案】D
3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x 为 A ．13
B ．12
C ．22
D ．11
【解析】x 的值依次为：x =1；x =2； x =4； x =5； x =6；
x =8； x =9； x =10； x =12．至此跳出程序．
【答案】B
4．对于非空集合,A B ，定义运算：
{|,}A B x x A B x A B ⊕=∈∉且，已知
}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中
d c b a 、、、满足a b c d +=+，0ab cd <<，则=⊕N M
A ．(,)
(,)a d b c B ．(,][,)c a b d
C ．(,][,)a c d b
D ．(,)
(,)c a d b
【解析】由题意得：0a c d b <<<<，所以=⊕N M (,][,)a c d b ． 其实也可以举出特例：如5a =-，4b =，3c =-，2d =． 【答案】C
5．若x ，y > 0，且12=+y x ，则)41
)(1(y
y x x ++
的最小值是 A ．
225 B ．425 C ．825 D ．16
25
【解析
】由题有：21x y +=≥，即：112242x y x y ⎛⎫
⋅≤== ⎪⎝⎭
． 另一方面：111
444x y x y xy x y y x xy
⎛⎫⎛
⎫+
+=+++
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ ()2
2224141
44x y xy x y xy xy xy xy
+-+++=+=+
()11144122122xy xy xy
x y x y =+
-+⎡⎤=⋅+-⎢⎥⋅⎣⎦
由双勾函数的单调性知：()1
24
min 122521228x y x y x y ⋅=⎛⎫⎡⎤⋅+-−−−→ ⎪⎢⎥⋅⎣
⎦⎝⎭． 【答案】C
6．在面积为2的ABC ∆中，F E ,分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则
2
+⋅的最小值是
A ．2
B ．22
C ．3
D ．32 【解析】由题：2ABC S ∆=，
所以12
1sin 2sin PBC S PB PC PB PC θθ
∆==
⋅→=
，(0θ∈，)π． ()
2
2
PC PB BC PC PB PC PB
⋅+=⋅+-
2
2
2
2
cos 2cos 42cos sin PC PB PC PB PC PB PC PB PC PB PC PB θθθ
θ
=+-⋅=+-⋅≥⋅-⋅-=
由函数()42cos sin x
f x x
-=在(0x ∈，)π上的单调性知：
在0,3x π
⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
上()42cos sin x
f x x
-=
单调递减；
在,3x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上()42cos sin x f x x -=单调递增． 故min 42cos sin 3θπθθ-⎛⎫
⎛⎫==
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭．
【答案】D
7．已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为
A ．22
1(1)8y x x -=> B ．22
1(1)8
y x x -=<- C ．()01822
>=+x y x D ．22
1(1)10y x x -=>
【解析】如图：MP PN MA ND MB NB -=-=-
221a a ==⇒=．
故P 点的轨迹为双曲线， 且3c =．
所以2
1a =，2
2
2
8b c a =-=． 【答案】A
8．在等差数列{}n a 中，52=a ，216=a ，记数列⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧n a 1的前n 项和为n S ，
若1512m
S S n n ≤-+对+∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为 A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【解析】64421516443n a a d d a n -==-=⇒=⇒
=-．
故
11
43
n a n =
-． 所以：2111
111
4145878381n n S S n n n n n +-=
+++
++
++--+ （A ） 21111
11
4341
81187
n n S S n n n n ---=+++
+
-+-- （B ） （A ）—（B ）111
438381
n n n =-
++
--+ 111
43838311
34342
n n n n n <-
++
---=-+--<
所以()2131max 1114
5945
n n S S S S +-=-=+=
， 所以1414
4.6751545
3
m m m ≥⇒≥
≈⇒
≥．
【答案】C
9．点),(y x M 满足：3cos cos ()3sin sin x R y θθθθθ
≤≤⎧∈⎨
≤≤⎩，
点),(y x N 满足：1)3()3(2
2=-+-y x 则||MN uuu r
的最小值是
A ．323-
B ．423-
C ．5
D ．4 【解析】因为3cos cos ()3sin sin x R y θθ
θθθ
≤≤⎧∈⎨
≤≤⎩，
所以cos 03,
sin 0
2θπθπθ≤⎧⎡⎤
⇒
∈⎨
⎢⎥≤⎣
⎦
⎩．（只考虑一个周期内） 点),(y x M 的可行域为图中阴影部分（扇形且11r =，23r =）；
点),(y x N 的可行域为图中的圆P （圆心为（3，3），半径1P r =）．
显然当||MN uuu r
达到最小值时，点M 必定在圆弧AB 上，
设其点M 为(cos ϕ，)sin ϕ，
则1d =
=
= （A ）
因为3,
2πϕπ⎡
⎤∈⎢⎥⎣
⎦，所以57,444πππϕ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 1,42πϕ⎡⎛
⎫+∈--⎢ ⎪⎝
⎭⎣⎦． 代入（A ）式得：min
sin 44d d
πϕ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
==．
【答案】D
请同学们考虑下面这个题目：
如图，阴影是集合2
2
{(,)|(cos )(sin )4,0}P x y x y θθθπ=-+-=≤≤在平面直角坐标系上表示的点集，则阴影中间形如“水滴”部分的面积等于
A ．π+
B ．73
π-
C ．
11
6
π-D ．2π+
【提示】圆心为(cos θ，)sin θ，其中0θπ≤≤． 则圆心所在的轨迹为一半圆． 【答案】C
10．将函数3322-++-=x x y （[]2,0∈x ）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为
锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为 A ．
2
π
B ．
4π C D ．2
π 【解析
以下就本题进行分析：
由3322-++-=x x y ()(
2
2
14x y ⇒-+=， []2,0∈x ．
图像如下：
L 1与圆C 相切， L 2与圆相交． 由圆的知识易得：L 1与x 轴的夹角为6
π
． 因此当函数的图象绕坐标原点逆时 针旋转θ=3
π
时，L 1刚好与y 轴重合， 但当θ>
3
π
时，L 2可能与y 轴重合， 此时，图像不满足函数的要求了． 则θ的最大值为
3
π． 【答案】C
根据以上解法，请同学们考虑下面这个题目：
将函数sin (02)y x x π=≤≤的图象绕坐标原点逆时针方向旋转(02)θθπ≤<角，得到曲线 C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则满足条件的角θ的范围是
（A ）[0,]4
π （B ）35[0,][,]4
4
4
πππ
⋃
（C ）357[0,][,][,2)4
4
4
4
πππππ⋃⋃ （D ）7[0,][,2)4
4
ππ
π⋃
【答案】C
非选择题部分（共100分）
注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用
黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．已知i 是虚数单位，m 、n ∈R ，且i 1i m n +=+，则i
i
m n m n +=- ． 【解析】因为i 1i m n +=+，所以1m n ==．
i i m n m n +=
-1i
i 1i
+=-． 【答案】i
12．在432)1()1(x x +-+
的展开式中，x 的系数等于 ．(用数字作答)
【解析】2
3
2
32
4
3Ax C C x =-=-．
【答案】3-
13．甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是
12，三人都做对的概率是124
，三人全做错的概率是
1
4
，已知乙做对这道题的概率大于丙做对这道题的概率。

设三人中做对这道题的人数为ξ，则随机变量x 的数学期望=ξE ．
【解析】由题：()()1
1224111124P P P P ⎧=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩乙丙乙丙，所以1=3
1=
4
P P ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩乙丙
．
ξ的可能取值有0、1、2、3．
()104P ξ==，()11124P ξ==，()124P ξ==，()1
324
P ξ==． 1312
E ξ=
． 【答案】
1312
14．已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b ，如果关于x 的方程
21291299()0x a a a x b b b -++
+++=有解，那么以下九个方程
2110x a x b -+=，2220x a x b -+=，2330x a x b -+=，……，2
990x a x b -+=中，
无解的方程最多有 个．
【解析】关于x 的方程2
1291299()0x a a a x b b b -++
+++=有解．
即：()()2
129129490a a a b b b ∆=+++-⨯⨯++
+≥．
又数列{}n a 和{}n b 为公差不为零的等差数列， 所以()()2
2555594990
40a b a b ∆=-⨯⨯≥⇒
-≥．
（A ） 故关于x 的方程2
550x a x b -+=必定有解． 另一方面：对关于x 的方程2
440x a x b -+=，
有：()()2
2
444515244a b a d b d ∆=-=---，
要想40∆≥，则在理论上()()2
51524a d b d -≥-．（B ）
将（B ）与（A ）比较，当1d 在减少的程度上比2d 少的多，则（B ）一定成立． 但由于对称关系：()()2
2
666515244a b a d b d ∆=-=+-+有可能就会小于零．
综合考虑得无解的方程最多有4个．
【答案】4
15．已知ABC ∆的三边长,,a b c 成等差数列，且2
2
2
84,a b c ++=则实数b 的取值范围
是 ．
【解析】本题是解三角形与不等式的综合题．一般有两中解法，一是化成角，利用角的
范围解出范围；二是化成边，利用三角形的一些性质和基本不等式等知识解出答案．
【答案】b <≤
16．如图的倒三角形数阵满足：（1）第1行的，n 个数，分别
是1，3，5，…，12-n ；（2）从第二行起，各行中的 每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有n 行． 问：当2012=n 时，第32行的第17个数是 ． 【解析】本题规律不易发现．
规律一：（偶数行）第2m 行的第一个数是22
m
m ⨯．如2412=⨯，4
3222=⨯．
规律二：（一行内）第n 行数的相邻两个数之间相差2n
． 由以上规律得：第32行的第1个数是32
36162
2⨯=，相邻两个数之间相差32
2，
第32行的第17个数是36
32
372162
2+⨯=．
【答案】37
2
17．若双曲线222
(0)x y a a -=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 是第一象限内双曲
线上的点．若直线PA 、PB 的倾斜角分别为α，β，且(1)m m βα=>，那么α的值是 ． 【解析】设点P （x 0，y 0），
则00tan AP y k x a α==
-，0
0tan BP y k x a
β==+．
所以0000tan tan 1AP BP y y k k x a x a αβ⋅=⋅=
⋅=-+， 故222m ππαβα+=
⇒=+． 【答案】22m π
+
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）
已知函数2()2cos 2
x f x x =． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα
+-的值． 【解析】(18)本题主要考查三角变换、正弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力．
满分14分．
解：（Ⅰ）因为 ()1cos f x x x =+ ……………………1分
12cos()3
x π=++， ……………………2分 所以函数()f x 的周期为2π，值域为[1,3]-． ……………4分
（Ⅱ）因为 1()33
f π
α-=， 所以 112cos =3α+，即1cos 3
α=-． …………………5分 因为222cos 2cos sin 1cos 2sin 22cos 2sin cos αααααααα-=+-- …………8分 (cos sin )(cos sin )2cos (cos sin )ααααααα+-=-cos sin 2cos ααα
+=，………………11分 又因为α为第二象限角，
所以 sin 3
α=． ………………12分
所以原式1cos sin 13322cos 23
ααα-++-===-．…………14分
19．（本题满分14分）
在直角坐标平面上有一点列,),,(,),,(),,(222111 n n n y x P y x P y x P 对一切正整数n ，点n P 在函数4133+
=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，－1为公差的等差数列{}n x ．
（Ⅰ）求点n P 的坐标；
（Ⅱ）设抛物线列C 1，C 2，C 3，…，C n ，…中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，抛物线
C n 的顶点为P n ，且过点
D n （0，12+n ）.记与抛物线C n 相切于点D n 的直线的斜率为k n ，求12231111n n k k k k k k -+++．
【解析】(19) 本题主要考查等差数列通项、求和公式、数列前n 项和与通项的关系等
基础知识，同时考查运算求解能力及抽象概括能力．满分14分．
解:（Ⅰ）2
3)1()1(25--=-⨯-+-=n n x n ， .4534133--=+=∴n x y n n 35(,3)24
n P n n ∴----．…………4分 （Ⅱ）n C 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为P n ，
∴设n C 的方程为223125()24
n n y a x ++=+-． 把1,)1,0(2=+a n D n 得代入上式，………………7分
∴n C 的方程为.1)32(22++++=n x n x y ………………8分
∵,32|0+='==n y k x n
∴],)
32(1)12(1[21)32)(12(11
1+-+=++=-n n n n k k n n ……10分
∴n
n k k k k k k 13221111-++ 3
21121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =.6
41101)32151(21+-=+-n n ………………14分
20．（本题满分14分）
如图，已知平行四边形ABCD 和矩形A C E F 所在的平面互相垂直，1,2AB AD ==，60,1,ADC AF ∠==M 是线段EF 的中点.
（Ⅰ）求二面角A FD B --的正弦值；
（Ⅱ）设点P 为一动点，若点P 从M 出发，沿棱按照M E C →→的路线运动到点C ，
求这一过程中形成的三棱锥P BFD -的体积的最小值.
【解析】(20) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基
础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转
化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识．满分14分．
解：（Ⅰ）法一：
易求BD BF DF ===
由勾股定理知090BFD ∠=，
设点A 在面BFD 内的射影为O ，过A 作AG DF ⊥于G ，连结DO ，
则AGO ∠为二面角A FD B --的平面角. ………………3分
在ADF ∆中由面积法易求
AG =，………………5分
由体积法求得点A 到面BFD 的距离是AO =
，
所以sin AGO ∠= 所以求二面角A FD B --的大小正弦值为
4
6………………7分
法二：易求BD BF DF ===由勾股定理知090BFD ∠=，
过A 作AG DF ⊥于G ，又过G 作//GH BF 交BD 于H ，连结AH .
则易证AGH ∠为二面角A FD B --的平面角………………2分
. 在ADF ∆中由面积法易求
AG =， 从而
DG =于是45DG DF =，
所以1,555
GH BH BD ===，………………3分 在BAD ∆中由余弦定理求得cos
ABD ∠=
.………………4分 再在BAH ∆中由余弦定理求得21225
AH =.………………5分
最后在AGH ∆中由余弦定理求得cos 4AGH ∠=
，………6分 所以求二面角A FD B --的大小正弦值为
4
6………………7分 （Ⅱ）设AC 与BD 交于O ，则OF //CM ，………………8分
所以CM //平面FBD ，………………9分
当P 点在M 或C 时，三棱锥P —BFD 的体积的最小. ………10分
min 113()21sin12032P BFD C BFD F BCD V V V ---===⋅⋅⋅= ………14分
21．（本题满分15分）
已知点(1,0)A - ，(1,0)B ，动点M 的轨迹曲线C 满足2A M B θ∠
=， 2c o s 3A M B M θ⋅=，过点B 的直线交曲线C 于P 、Q 两点.
（Ⅰ）求A M B M +的值，并写出曲线C 的方程；
（Ⅱ）求△APQ 面积的最大值.
【解析】(21) 本题主要考查椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系等基础知识，
同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．
解：（Ⅰ）设(,)M x y ，在△M A B 中，2AB =，2A M B θ∠
=， 根据余弦定理得222c o s 24A M B MA M B M θ+-⋅=
． ……12分 即2()2(1c o s 2)4A M B M A M B M θ
+-⋅+=． 22()4c o s 4A M B MA M B M θ+-⋅=． 而2
c o s 3A M B M θ⋅=，所以2()434A M B M +-⨯=. 所以4
A M
B M +=． ………………4分 又42A M B M A B
+=>=， 因此点M 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆（点M 在x 轴上也符合题意），
2a =，1c =．
所以曲线C 的方程为22
143
x y +=． ………………6分 （Ⅱ）设直线P Q 的方程为1
x m y =+． 由22
114
3x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22(34)690m y m y ++-=. ① 显然方程①的0∆>，设11(,)P x y ，22(,)Qx
y ． 则1212122
A P Q S y y y y ∆=⨯⨯-=- 由韦达定理得122634m y y m +=-+，122934
y y m =-+． …………9分 所以22
21212
122233()()448(34)m yy y y y y m +-=+-=⨯+． …………11分 令233t m =+，则3t ≥，21248()12y y t t
-=++． ………………12分 由于函数1()t t t ϕ=+在[3,)+∞上是增函数．
所以1
103
t t +≥，当2333t m =+=，即0m =时取等号．
所以2
1248()91023
y y -=+≤，即12y y -的最大值为3． 所以△APQ 面积的最大值为3，此时直线P Q 的方程为1x =．……15分
22．（本题满分15分）
设函数22
()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．
（Ⅰ）关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与
()g x 的“分界线”．
设2
a =，
b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】(22) 本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用，同时考查推
理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识．满分15分．
（Ⅰ）解法一：不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，
等价于22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，
令22()(1)21h x a x x =--+，由(0)10h =>．
且2
(1)0(0)h a a =-<>，
所以函数22()(1)21h x a x x =--+的一个零点在区间(0,1)，
则另一个零点一定在区间[3,2)--， ………………4分 故(2)0,(3)0,
h h ->⎧⎨-≤⎩解之得4332a ≤<． ………………6分 解法二：22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，即1a >，
[][]22(1)21(1)1(1)10a x x a x a x --+=--+->，
所以
1111x a a <<-+，又因为1011a
<<+， …………4分 所以1321a -≤<--，解之得4332
a ≤<． ……………6分 （Ⅱ）设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，则
2'
(()e x e x x F x x x x x --+=-==．
所以当0x <<
'()0F x >；当x >'()0F x <．
因此x =()F x 取得最小值0，
则()f x 与()g x 的图象在x =)2
e ． ……8分
设()f x 与()g x 存在 “分界线”，方程为(2
e y k x -=，
即2
e y kx =+-
由()2e f x kx ≥+-x ∈R 恒成立，
则2
220x kx e --+≥在x ∈R 恒成立 ．
所以22244(2)4844(0k e k e k ∆=-=-=≤
因此k = ………11分
下面证明()(0)2
e g x x ≤->恒成立．
设()ln 2e G x e x =-，则)()e x G x x x '=-=．
所以当0x <<
'()0G x >；当x >'()0G x <．
因此x =()G x 取得最大值0，则()(0)2
e f x x ≤->
故所求“分界线”方程为：2
e y =-． ………………15分
浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题
数学(理科)试题答案及评分参考
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分．
一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题5分, 满分50分．
(1) A
(2) D (3) B (4) C (5) C (6) D (7) A (8)C (9)D (10) C
二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题4分, 满分28分．
(11) i (12) 3- (13)
1213 (14) 4
(15) b <≤ (16) 372 (17) 22m π
+
三、解答题：本大题共5小题，共72分．
(18)本题主要考查三角变换、正弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力．满分14分．
解：（Ⅰ）因为 ()1cos f x x x =+ ……………………1分
12cos()3
x π=++， ……………………2分 所以函数()f x 的周期为2π，值域为[1,3]-． ……………4分
（Ⅱ）因为 1()33
f π
α-=， 所以 112cos =3α+，即1cos 3
α=-． …………………5分 因为222cos 2cos sin 1cos 2sin 22cos 2sin cos αααααααα-=+-- …………8分
(cos sin )(cos sin )2cos (cos sin )ααααααα+-=-cos sin 2cos ααα
+=，………………11分 又因为α为第二象限角，
所以
sin 3
α=． ………………12分
所以原式1cos sin 13322cos 23
ααα-++-===-．…………14分
(19) 本题主要考查等差数列通项、求和公式、数列前n 项和与通项的关系等基础知
识，同时考查运算求解能力及抽象概括能力．满分14分．
解：（Ⅰ）2
3)1()1(25--=-⨯-+-=n n x n ， .4534133--=+=∴n x y n n 35(,3)24
n P n n ∴----．…………4分 （Ⅱ）n C 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为P n ，
∴设n C 的方程为223125()24
n n y a x ++=+-． 把1,)1,0(2=+a n D n 得代入上式，………………7分
∴n C 的方程为.1)32(22++++=n x n x y ………………8分
∵,32|0+='==n y k x n ∴],)
32(1)12(1[21)32)(12(11
1+-+=++=-n n n n k k n n ……10分 ∴n
n k k k k k k 13221111-++ )]3
21121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =.6
41101)32151(21+-=+-n n ………………14分
(20) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知 识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思 想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识．满分14分．
解：（Ⅰ）法一：易求BD BF DF === 由勾股定理知090BFD ∠=， 设点A 在面BFD 内的射影为O ，过A 作AG DF ⊥于G ，连结DO ， 则AGO ∠为二面角A FD B --的平面角. ………………3分 在ADF ∆中由面积法易求
AG =，………………5分
由体积法求得点A 到面BFD 的距离是AO =，
所以sin AGO ∠= 所以求二面角A FD B --的大小正弦值为46………………7分
法二：易求BD BF DF ===由勾股定理知090BFD ∠=， 过A 作AG DF ⊥于G ，又过G 作//GH BF 交BD 于H ，连结AH . 则易证AGH ∠为二面角A FD B --的平面角………………2分 .
在ADF ∆中由面积法易求
AG =， 从而
DG =于是45DG DF =，
所以1,555GH BH BD ===，………………3分 在BAD ∆中由余弦定理求得cos
ABD ∠=.………………4分 再在BAH ∆中由余弦定理求得21225AH =.………………5分
最后在AGH ∆中由余弦定理求得cos AGH ∠=6分 所以求二面角A FD B --的大小正弦值为46………………7分
（Ⅱ）设AC 与BD 交于O ，则OF //CM ，………………8分
所以CM //平面FBD ，………………9分
当P 点在M 或C 时，三棱锥P —BFD 的体积的最小. ………10分 min 113()21sin120326P BFD C BFD F BCD V V V ---===⋅⋅⋅=.……14分
(21) 本题主要考查椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时
考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．
解：（Ⅰ）设(,)M x y ，在△M A B 中，2AB =，2A M B θ∠
=， 根据余弦定理得222c o s 24A M B MA M B M θ+-⋅=
． ……12分 即2()2(1c o s 2)4A M B M A M B M θ
+-⋅+=． 22()4c o s 4A M B MA M B M θ+-⋅=． 而2
c o s 3A M B M θ⋅=，所以2()434A M B M +-⨯=. 所以4
A M
B M +=． ………………4分 又42A M B M A B
+=>=， 因此点M 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆（点M 在x 轴上也符合题意），
2a =，1c =．
所以曲线C 的方程为22
143
x y +=． ………………6分 （Ⅱ）设直线P Q 的方程为1
x m y =+． 由22
114
3x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22(34)690m y m y ++-=. ① 显然方程①的0∆>，设11(,)P x y ，22(,)Qx
y ． 则1212122
A P Q S y y y y ∆=⨯⨯-=- 由韦达定理得122634m y y m +=-+，122934
y y m =-+． …………9分 所以22
21212
122233()()448(34)m yy y y y y m +-=+-=⨯+． …………11分 令233t m =+，则3t ≥，21248()12y y t t
-=++． ………………12分 由于函数1
()t t t
ϕ=+在[3,)+∞上是增函数． 所以1103
t t
+≥
，当2333t m =+=，即0m =时取等号． 所以21248()91023
y y -=+≤，即12y y -的最大值为3． 所以△APQ 面积的最大值为3，此时直线P Q 的方程为1x =．……15分
(22) 本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用，同时考查推理论证
能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识．满分15分．
（Ⅰ）解法一：不等式2
(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，
等价于22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<， 令22
()(1)21h x a x x =--+，由(0)10h =>．
且2(1)0(0)h a a =-<>，
所以函数22()(1)21h x a x x =--+的一个零点在区间(0,1)，
则另一个零点一定在区间[3,2)--， ………………4分 故(2)0,(3)0,
h h ->⎧⎨-≤⎩解之得4332a ≤<． ………………6分 解法二：22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，即1a >，
[][]22(1)21(1)1(1)10a x x a x a x --+=--+->， 所以
1111x a a <<-+，又因为1011a
<<+， …………4分 所以1321a -≤<--，解之得4332
a ≤<． ……………6分 （Ⅱ）设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，则
2'
(()e x e x x F x x x x x --+=-==．
所以当0x <<
'()0F x >；当x >'()0F x <．
因此x =()F x 取得最小值0，
则()f x 与()g x 的图象在x =)2
e ． ……8分
设()f x 与()g x 存在 “分界线”，方程为(2
e y k x -=，
即2
e y kx =+-
由()2e f x kx ≥+-x ∈R 恒成立，
则2
220x kx e --+≥在x ∈R 恒成立 ．
所以22244(2)4844(0k e k e k ∆=-=-=≤
因此k = ………11分
下面证明()(0)2
e g x x ≤->恒成立．
设()ln 2e G x e x =-，则()e G x x '=-=．
所以当0x <<
'()0G x >；当x >'()0G x <．
因此x =()G x 取得最大值0，则()(0)2
e f x x ≤->
故所求“分界线”方程为：2
e y =-． ………………15分。