2019-2020年人教B版数学必修二课时分层作业11 直线与平面垂直+Word版含解析

课时分层作业(十一)直线与平面
垂直
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()
A．平行B．垂直
C．相交不垂直D．不确定
B[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]
2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是() A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内D．不能确定
D[直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．]
3．已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两条对角线AC、BD的关系是()
A．垂直且相交B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交D．不垂直也不相交
C[空间四边形ABCD的四个顶点不共面，
∴AC与BD必为异面直线．
取BD的中点O，连接OA，OC，
由AB＝AD＝BC＝CD得OA⊥BD，OC⊥BD，
∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，故选C.]
4．已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是()
A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1
D[正方体中由BD∥B1D1，易知A正确；
由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，
从而BD⊥AC1，即B正确；
由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，
因此AC1⊥平面CB1D1，即C正确；
由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故选D.]
5．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()
A．EF⊥平面αB．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
B[因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ
⊂平面β，得EF ⊥PQ .又EG 与EF 为相交直线，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ ⊥GH ，故选B.]
二、填空题
6．如图所示，平面α∩β＝CD ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，垂足为B ，则CD 与AB 的位置关系是________．
CD ⊥AB [∵EA ⊥α，CD ⊂α，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA .
同理，∵EB ⊥β，CD ⊂β，则有EB ⊥CD .
又EA ∩EB ＝E ，
∴CD ⊥平面AEB .
又∵AB ⊂平面AEB ，∴CD ⊥AB .]
7．如图所示，P A ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．
4 [
⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥BC ，
AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ，
∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC .]
8．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：
①若l⊥α，则l与α相交；
②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.
其中正确命题的序号为________．
①③④[①显然正确；对②，只有当m，n相交时，才有l⊥α，故②错误；对③，由l∥m，m∥n⇒l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α⇒l⊥α，再由n⊥α⇒l∥n，故④正确．]
三、解答题
9．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
[证明]∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE.
又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.
∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.
又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，
∴AE⊥平面BCE.
又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.
10．如图所示，四边形ABB1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面)，C是圆柱底面圆周上异于A、B的任意一点．求证：AC⊥平面BB1C.
[证明]因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面，
所以BB1⊥底面ABC.
因为AC⊂底面ABC，
所以BB1⊥AC.
因为AB为底面圆的直径，
所以∠ACB＝90°，
所以BC⊥AC.
又因为BB1∩BC＝B，BB1⊂平面BB1C，BC⊂平面BB1C，
所以AC⊥平面BB1C.
[等级过关练]
1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
A[如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于B1C上．]
2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面() A．有且只有一个B．至多一个
C．有一个或无数个D．不存在
B[若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．]
3．已知平面α，β和直线m，给出下列条件：
①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.
当满足条件________时，有m⊥β.
②④[若m⊥α，α∥β时，有m⊥β，故填②④.]
4．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)
BD⊥AC[要找底面四边形ABCD所满足的条件，使A1C⊥B1D1，可从结论A1C⊥B1D1入手，
∵A1C⊥B1D1，BD∥B1D1，
∴A1C⊥BD.
又∵AA1⊥BD，而AA1∩A1C＝A1，AA1⊂平面A1AC，A1C⊂平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥AC.(此题答案不唯一)．]
5.如图所示，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
[证明](1)∵AB为⊙O的直径，
∴AM⊥BM.
又P A⊥平面ABM，∴P A⊥BM.
又∵P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM.
又AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.。