高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角形学案

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第2讲 三角恒等变换与解三角形
[考情考向分析] 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．
热点一 三角恒等变换
例1 (1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝________.
答案 －7
25
解析 ∵cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝4
5，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
6－α＝－725.
(2)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作角α，角α＋π
4的终边经过点P (－2,1)．
①求cos α的值； ②求cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π6
－2α的值． 解 ①由于角α＋π
4的终边经过点P (－2,1)，
故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－255，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55， ∴cos α＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－1010.
②sin α＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝31010， 则sin 2α＝2sin αcos α＝－3
5，
cos 2α＝cos 2α－sin 2
α＝－45，
cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝43－310.
思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 跟踪演练1 (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12＋α＝________.
答案 23－4
解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6，
∴－sin α＝－3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6，
∴sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos αsin π6 ＝
332sin α＋3
2
cos α， ∴tan α＝
3
2－33
，
又tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－π4＝tan
π3－tan π41＋tan π3tan
π4
＝
3－1
1＋3
＝2－3， ∴tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12＋α＝tan
π
12＋tan α1－tan π12
tan α
＝()2－3＋
3
2－33
1－()2－3×
3
2－33
＝23－4.
(2)(2018·江苏如东中学等五校联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，且cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π3＝35，则sin α
的值是________． 答案
4＋33
10
解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，∴α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，
给合同角三角函数基本关系式有： sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π3＝
1－cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫α－π3＝45，
则sin α＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π3＋π3
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3cos π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3sin π3
＝45×12＋35×32＝4＋33
10.
热点二 正弦定理、余弦定理
例2 (2018·江苏泰州中学调研)如图，在圆内接△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，
b ，
c ，满足a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .
(1)求B 的大小；
(2)若点D 是劣弧AC 上一点，AB ＝3，BC ＝2，AD ＝1，求四边形ABCD 的面积． 解 (1)方法一 设外接圆的半径为R ，则a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入得2R sin A cos C ＋2R sin C cos A ＝2×2R sin B cos B ， 即sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ， 所以sin B ＝2sin B cos B . 所以sin B ≠0，所以cos B ＝12.
又B 是三角形的内角，
所以B ＝π
3
.
方法二 根据余弦定理，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 2
2bc
＝2b ·cos B ，
化简得cos B ＝1
2.
因为0<B <π，所以B ＝π
3
.
(2)在△ABC 中，AC 2
＝AB 2
＋BC 2
－2AB ·BC cos∠ABC ＝9＋4－2×3×2×1
2＝7，
所以AC ＝7.
因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠ADC ＝2π
3.
在△ACD 中，AC 2
＝AD 2
＋CD 2
－2AD ·CD cos∠ADC ，
代入得7＝1＋CD 2
－2·CD ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，
所以CD 2
＋CD －6＝0，解得CD ＝2或CD ＝－3(舍)． 所以S ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD
＝12AB ·BC sin∠ABC ＋1
2AD ·CD sin∠ADC ＝12×3×2×32＋12×1×2×3
2
＝2 3. 思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．
跟踪演练2 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝23sin C 3a .
(1)求角B 的大小； (2)已知
a sin C
sin A
＝4，△ABC 的面积为63，求边长b 的值． 解 (1)由已知得b cos A ＋a cos B ＝23
3
b sin C ，
由正弦定理得sin B cos A ＋cos B sin A ＝23
3sin B sin C ，
∴sin(A ＋B )＝23
3
sin B sin C ，
又在△ABC 中，sin(A ＋B )＝sin C ≠0， ∴sin B ＝
32，∵0<B <π2，∴B ＝π3
. (2)由已知及正弦定理得c ＝4，
又 S △ABC ＝63，B ＝π3，∴1
2ac sin B ＝63，得a ＝6，
由余弦定理b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ， 得 b ＝27.
热点三 解三角形与三角函数的综合问题
例3 (2018·江苏三校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2
－c 2
＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C . (1)求b 的值；
(2)若B ＝π
4
，S 为△ABC 的面积，求S ＋82cos A cos C 的取值范围．
解 (1)由正弦定理、余弦定理知sin A cos C ＝3cos A sin C 可等价变形为a ·a 2＋b 2－c 2
2ab ＝
3c ·b 2＋c 2－a 2
2bc
，
化简得a 2
－c 2
＝b 2
2
.
因为a 2
－c 2＝2b ，所以b ＝4或b ＝0(舍去)．
(2)由正弦定理b sin B ＝c sin C 得S ＝12bc sin A ＝12×4×4
sin
π
4
sin A sin C ＝82sin A sin C ，
所以S ＋82cos A cos C ＝82cos(A －C ) ＝82cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2A －3π4. 在△ABC 中，由⎩⎪⎨⎪
⎧
0<A <3π4
，
A >3π
4
－A ，得A ∈⎝
⎛⎭⎪⎫3π8
，3π4.
所以2A －3π4∈⎝
⎛⎭⎪⎫
0，3π4，
所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －3π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，1，
所以S ＋82cos A cos C ∈(－8,82)．
思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或
范围问题，可以转化为三角函数的值域来求解． 跟踪演练3 已知函数f (x )＝2cos 2
x ＋sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫7π6－2x －1(x ∈R )．
(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；
(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，若b ＋c ＝2a ，且AB →·AC
→
＝6，求a 的值． 解 (1)f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1
＝－12cos 2x ＋3
2sin 2x ＋cos 2x
＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.
∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π.
由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
可解得k π－π3≤x ≤k π＋π
6
(k ∈Z )．
∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．
(2)由f (A )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，可得
2A ＋π6＝π6＋2k π或2A ＋π6＝5π
6＋2k π(k ∈Z )．
∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，
∵AB →·AC →
＝bc cos A ＝12bc ＝6，
∴bc ＝12， 又∵2a ＝b ＋c ，
∴cos A ＝12＝(b ＋c )2
－a 2
2bc －1＝4a 2
－a 2
24－1＝a
2
8－1，
∴a ＝2 3.
1．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．
答案
6－2
4
解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ， 结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .
由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
＝a 2
＋b 2
－(a ＋2b )2
42ab ＝34a 2＋12b 2－2ab
2
2ab
≥
2
⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b 2－2ab
22ab
＝
6－2
4
， ⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当b 2＝32a 2时，等号成立 故
6－2
4
≤cos C <1， 故cos C 的最小值为
6－2
4
. 2．(2018·全国Ⅲ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 2
4
，
则C ＝________. 答案
π
4
解析 ∵S ＝12ab sin C ＝a 2
＋b 2
－c 2
4＝2ab cos C
4
＝1
2
ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1. 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π
4
.
3．(2018·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin
B sin
C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．
答案
23
3
解析 ∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， ∴由正弦定理得
sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C >0，∴sin A ＝1
2
.
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4
bc
>0，
∴cos A ＝
32，bc ＝4cos A ＝833
， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝23
3
.
4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝2
3，sin B ＝5cos C ，并
且a ＝2，则△ABC 的面积为________． 答案
52
解析 因为0<A <π，cos A ＝2
3，
所以sin A ＝1－cos 2
A ＝
53
. 又由5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝
53cos C ＋2
3
sin C 知，cos C >0， 并结合sin 2
C ＋cos 2
C ＝1，得sin C ＝
56
，cos C ＝
16
.
于是sin B ＝5cos C ＝56
.
由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c
sin C ，得c ＝ 3.
故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝5
2
.
5．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2
ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域． 解 (1)f (x )＝
32sin 2ωx －1
2
(cos 2ωx ＋1) ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－12， 因为函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2ω＝2π
3，
所以ω＝3
2
.
(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3x －π6－12，
易得f (A )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3A －π6－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列， 所以sin 2
A ＝sin
B sin
C ，所以a 2
＝bc ，
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc
2bc
≥
2bc －bc 2bc ＝1
2
(当且仅当b ＝c 时取等号)． 因为0<A <π，
所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6，
所以－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3A －π6≤1，
所以－1<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3A －π6－12≤12， 所以f (A )的值域为⎝
⎛⎦⎥⎤－1，12.
A 组 专题通关
1．(2018·全国Ⅲ改编)若sin α＝1
3，则cos 2α＝________.
答案 79
解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2
α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.
2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值为________． 答案 － 3
解析 因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°
1－tan 70°tan 50°＝－3，
即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.
3．(2018·江苏泰州中学调研)已知sin θ＋2cos θ＝0，则1＋sin 2θ
cos 2
θ＝________. 答案 1
解析 由题设可知sin θ＝－2cos θ， 则原式＝sin 2
θ＋cos 2
θ＋2sin θcos θ
cos 2
θ
＝(4＋1－4)cos 2
θcos 2
θ
＝1. 4．在△ABC 中，若原点到直线x sin A ＋y sin B ＋sin C ＝0的距离为1，则此三角形为________三角形．(填“直角”“锐角”“钝角”) 答案 直角 解析 由已知可得，
|sin C |
sin 2A ＋sin 2
B
＝1， ∴sin 2
C ＝sin 2
A ＋sin 2
B ，∴c 2
＝a 2
＋b 2
， 故△ABC 为直角三角形．
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为33
2，则△ABC 的周长为________．
答案 5＋7
解析 在△ABC 中，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ， 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 即sin(A ＋B )＝2sin C cos C ， ∵sin(A ＋B )＝sin C ≠0， ∴cos C ＝12，∴C ＝π
3
，
由余弦定理可得，a 2
＋b 2
－c 2
＝ab ， 即(a ＋b )2
－3ab ＝c 2＝7，
又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝33
2，∴ab ＝6，
∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7. 6．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的
值是________． 答案
7π
4
解析 ∵sin 2α＝
55，α∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，
又∵sin(β－α)＝
1010，β∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，
∴cos(β－α)＝－31010
， ∴sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]
＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α
＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55
＝－22， cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4. 7．设△ABC 内切圆与外接圆的半径分别为r 与R .且sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________；当BC ＝1时，△ABC 的面积等于________．
答案 －14 31516
解析 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，
∴a ∶b ∶c ＝2∶3∶4.
令a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t (t >0)，
则cos C ＝4t 2＋9t 2－16t 2
12t 2＝－14
， 又∵C ∈(0，π)，
∴sin C ＝154. 当BC ＝1时，AC ＝32， ∴S △ABC ＝12×1×32×154＝31516
. 8.如图，在△ABC 中，BC ＝2，∠ABC ＝π3
，AC 的垂直平分线DE 与AB ，AC 分别交于D ，E 两点，且DE ＝62
，则BE 2＝________.
答案 52＋ 3 解析 如图，连结CD ，由题设，有∠BDC ＝2A ，
所以CD sin π3
＝BC sin 2A ＝2sin 2A ， 故CD ＝3sin 2A
. 又DE ＝CD sin A ＝32cos A ＝62
， 所以cos A ＝22，而A ∈(0，π)，故A ＝π4
， 因此△ADE 为等腰直角三角形，
所以AE ＝DE ＝62
. 在△ABC 中，∠ACB ＝5π12
， 所以AB sin 5π12＝2sin π4
， 故AB ＝3＋1，
在△ABE 中，BE 2＝(3＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－2×(3＋1)×62×22＝52＋ 3. 9．(2018·江苏)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55
. (1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α
， 所以sin α＝43
cos α. 又因为sin 2α＋cos 2
α＝1，
所以cos 2α＝925
， 因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725
. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255
， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43
， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247
. 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211
. 10．(2018·江苏扬州中学调研)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向
量m ＝(1,2)，n ＝⎝
⎛⎭⎪⎫cos 2A ，cos 2A 2，且m ·n ＝1. (1)求角A 的大小；
(2)若b ＋c ＝2a ＝23，求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π4的值． 解 (1)由题意得m ·n ＝cos 2A ＋2cos 2A 2
＝2cos 2A －1＋cos A ＋1＝2cos 2
A ＋cos A ， 又因为m ·n ＝1，所以2cos 2A ＋cos A ＝1， 解得cos A ＝12
或cos A ＝－1， ∵0<A <π， ∴A ＝π3
. (2)在△ABC 中，由余弦定理得(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12
＝b 2＋c 2－bc ，① 又b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ， 代入①整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝3，
于是a ＝b ＝c ＝3，即△ABC 为等边三角形，
∴B ＝π3，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－π4＝6－24. B 组 能力提高
11.如图，在△ABC 中，D ，F 分别为BC ，AC 的中点，AD ⊥BF ，若sin 2C ＝716
sin∠BAC ·sin∠ABC ，则cos C ＝________.
答案 78
解析 设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ， 由sin 2C ＝716sin∠BAC ·sin∠ABC 可得，c 2＝716
ab ， 由AD ⊥BF 可得，
AD →·BF →＝AB →＋AC →2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12AC →－AB →＝0， 整理可得，14AC →2－12AB →2－14
AB →·AC →＝0， 即14b 2－12c 2－14
bc cos∠BAC ＝0， 即2b 2－4c 2
－2bc cos∠BAC ＝0，
2b 2－4c 2－(b 2＋c 2－a 2)＝0，
即a 2＋b 2－c 2＝4c 2＝74ab ， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝78
. 12．(2018·北京)若△ABC 的面积为
34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝________；c a
的取值范围是________．
答案 π3 (2，＋∞) 解析 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
， ∴a 2＋c 2－b 2
＝2ac cos B . 又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)，
∴12ac sin B ＝34
×2ac cos B ， ∴tan B ＝3，又B ∈(0，π)，
∴B ＝π3
. 又∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A >π2
， ∴0<A <π6
. 由正弦定理得c a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A
＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A
. ∵0<tan A <33，∴1tan A
>3， ∴c a >12＋32
×3＝2， 即c a >2. ∴c a 的取值范围是(2，＋∞)．
13．在锐角△ABC 中，角A 所对的边为a ，△ABC 的面积S ＝a 24
，给出以下结论： ①sin A ＝2sin B sin C ；
②tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ；
③tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ；
④tan A tan B tan C 有最小值8.
其中正确结论的个数为________．
答案 4
解析 由S ＝a 24＝12
ab sin C ，得a ＝2b sin C ， 又a sin A ＝b
sin B ，得sin A ＝2sin B sin C ，故①正确； 由sin A ＝2sin B sin C ，
得sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，
两边同时除以cos B cos C ，
可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，故②正确；
由tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B
， 且tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ，
所以tan A ＋tan B 1－tan A tan B
＝－tan C ， 整理移项得tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，故③正确；
由tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，
tan A ＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1
， 且tan A ，tan B ，tan C 都是正数，
得tan A tan B tan C ＝tan B ＋tan C tan B tan C －1
·tan B tan C ＝2tan B tan C tan B tan C －1·tan B tan C ＝2(tan B tan C )2
tan B tan C －1
， 设m ＝tan B tan C －1，则m >0，
tan A tan B tan C ＝2(m ＋1)2m
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m ＋4≥4＋4m ·1
m ＝8， 当且仅当m ＝tan B tan C －1＝1，
即tan B tan C ＝2时取“＝”，
此时tan B tan C ＝2，tan B ＋tan C ＝4，tan A ＝4，
所以tan A tan B tan C 的最小值是8，故④正确．
14．已知向量a ＝(2sin 2x ，2cos 2x )，b ＝(cos θ，sin θ)⎝
⎛⎭⎪⎫|θ|<π2，若f (x )＝a ·b ，且函数f (x )的图象关于直线x ＝π6
对称． (1)求函数f (x )的解析式，并求f (x )的单调递减区间；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，且b ＝5，c ＝23，求△ABC 外接圆的面积．
解 (1)f (x )＝a ·b ＝2sin 2x cos θ＋2cos 2x sin θ
＝2sin(2x ＋θ)，
∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称， ∴2×π6＋θ＝k π＋π2
，k ∈Z ，
∴θ＝k π＋π6
，k ∈Z ， 又|θ|<π2，∴θ＝π6
. ∴f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2
，k ∈Z ， 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3
，k ∈Z . ∴f (x )的单调递减区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . (2)∵f (A )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2， ∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1. ∵A ∈(0，π)，
∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
，13π6， ∴2A ＋π6＝π2，∴A ＝π6
. 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A
＝25＋12－2×5×23cos π6
＝7， ∴a ＝7.
设△ABC 外接圆的半径为R ， 由正弦定理得a sin A ＝2R ＝712
＝27， ∴R ＝7，
∴△ABC 外接圆的面积S ＝πR 2
＝7π.。