2020-2021学年江西省新余市高二(下)期末数学试卷(理科)

2020-2021学年江西省新余市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）已知集合{|n A x x i ==，}n N ⊂，集合1|(),1n i B x x n N i +⎧⎫
==⊂⎨⎬-⎩⎭
，其中i 为虚数单位，则集合A 与集合B 的关系是( ) A ．A
B B ．B A
C ．A B =
D ．A B ≠
2．（5分）cos α=
是4
cos(2)5
απ+=的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知向量(2a =，1，5)-，(4b =，y ，)z ，且//a b ，则(y z += ) A ．8-
B ．12-
C ．8
D ．12
4．（5分）若椭圆2212516x y +=和双曲线22
145
x y -=的共同焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个
交点，则12cos F PF ∠的值为( ) A ．
11
21
B ．
712
C ．
1921
D ．
37
5．（5分）若函数2()a
f x x lnx x
=++在1x =处取得极小值，则()f x 的最小值为( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．（5分）已知点P 是抛物线2:4C y x =上一点，点F 为抛物线C 的焦点，点(2,1)M ，则PM F ∆的周长的最小值为( )
A ．3
B ．1
C 1
D 3
7．（5分）若函数()sin f x x t x =+在(0,)3
π上单调递增，则实数t 的取值范围是( )
A ．(1,)+∞
B ．(2,)-+∞
C ．[2-，)+∞
D ．[1-，)+∞
8．（5分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AC ，1A B 的中点，则下列说法错误的是( )
A ．MN CD ⊥
B ．直线MN 与平面ABCD 所成角为45︒
C ．//MN 平面11AD
D A
D ．异面直线MN 与1DD 所成角为60︒
9．（5分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为( )
A ．193
B ．192
C ．174
D ．173
10．（5分）已知52345012345(4)(2)(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x a x +=++++++++++，则123452345(a a a a a ++++= )
A ．242
B ．243
C ．404
D ．405
11．（5分）已知A ，B ，C ，P 为球O 的球面上的四个点，60ABC ∠=︒，2AC =，球O 的表面积为
649
π
，则三棱锥P ABC -的体积的最大值为( ) A ．23 B 23
C 43
D 43
12．（5分）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，
2()()
01
f x xf x x '+>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则f （1）(= )
A ．12
-
B ．0
C ．
12
D ．1
二、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13．（5分）2
222
(sin 4)x x x dx -+-=⎰
．
14．（5分）用数学归纳法证明422135()n n n N +++∈能被14整除时，当1n k =+时，对于4(1)22(1)135k k +++++应变形为 ．
15．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段11A B 的中点，则直线BE 与1DA 所成角的余弦值是 ．
16．（5分）若曲线y lnx =在点1(P x ，1)y 处的切线与曲线x y e =相切于点2(Q x ，2)y ，则1211
1
x x x ++=- ． 三、解答题（共6小题，第17题10分，第18题、第19题、第20题、第21题、第22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运
行（按顺时针方向）的轨迹方程为22110025
x y +=，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物
线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、64
(0,)7
M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为
(8,0)D ．观测点(4,0)A 、(6,0)B 同时跟踪航天器．
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
18．（12分）已知a R ∈，设:[2p x ∀∈，3]，(1)10a x +->恒成立，0:q x R ∃∈，使得
20010x ax ++<．
（Ⅰ）若p q ∧是真命题，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若()p q ∧⌝为假，()p q ∨⌝为真，求a 的取值范围．
19．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AD BC ，且1
12
AB AD BC ===，12AA DC ==．
（1）求证：平面11BDD B ⊥平面11CDD C ； （2）求二面角11C BD C --所成角的余弦值．
20．（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3
a
y x x =
+--，其中36x <<，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
21．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>22，点1F ，2F 是椭圆C 的左、
右焦点，点P 是C 上任意一点，若△12PF F 面积的最大值为42 （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线11:3l y x =与椭圆C 在第一象限的交点为M ，直线21
:(0)3
l y x m m =+≠与椭圆C 交
于A ，B 两点，连接MA ，MB ，与x 轴分别交于P ，Q 两点，求证：MPQ ∆始终为等腰三角形．
22．（12分）已知函数2
()f x lnx ax ax
=--
． （Ⅰ）若()0f x ，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若22
()()g x f x x ax
=++
有两个极值点分别为1x ，212()x x x <，求122()()g x g x -的最小
值．
2020-2021学年江西省新余市高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）已知集合{|n A x x i ==，}n N ⊂，集合1|(),1n i B x x n N i +⎧⎫
==⊂⎨⎬-⎩⎭
，其中i 为虚数单位，则集合A 与集合B 的关系是( ) A ．A
B B ．B A
C ．A B =
D ．A B ≠
【解答】解：由题意得{A i =，1-，i -，1}，11i
i i
+=-， 所以{B i =，1-，i -，1}A =． 故选：C ． 2．（5
分）cos α=
是4
cos(2)5
απ+=的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【解答】
解：当cos α=
时，224
cos(2)cos 212cos 125
απαα+=-=-=-⨯=，反之不一定成立， 故选：A ．
3．（5分）已知向量(2a =，1，5)-，(4b =，y ，)z ，且//a b ，则(y z += ) A ．8-
B ．12-
C ．8
D ．12
【解答】解：因为向量(2a =，1，5)-，(4b =，y ，)z ，且//a b ， 所以b a λ=，
则有425y z λ
λλ=⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
，解得2y =，10z =-，
所以8y z +=-． 故选：A ．
4．（5分）若椭圆2212516x y +=和双曲线22
145
x y -=的共同焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个
交点，则12cos F PF ∠的值为( ) A ．
1121
B ．
712
C ．
1921
D ．
37
【解答】解：由题可知，焦距126F F =，不妨设点P 是双曲线右支上的一点， 由椭圆和双曲线的定义可知， 1212104PF PF PF PF +=⎧⎨-=⎩，解得12
7
3PF PF =⎧⎨
=⎩， 在△12PF F 中，由余弦定理可知，222121212124993611
cos 227321
PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⨯⨯．
故选：A ．
5．（5分）若函数2()a
f x x lnx x
=++在1x =处取得极小值，则()f x 的最小值为( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【解答】解：（1）2()a
f x x lnx x
=+
+， 2
1()2a f x x x x '∴=-
+，函数2
()a f x x lnx x
=++在1x =处取得极小值， 210a ∴-+=，3a =，
函数23
()f x x lnx x
=+
+，
可知(0,1)x ∈，函数是减函数，(1,)x ∈+∞函数是增函数，满足在1x =处取得极小值， f ∴（1）4=．
则()f x 的最小值为：4． 故选：B ．
6．（5分）已知点P 是抛物线2:4C y
x =上一点，点F 为抛物线C 的焦点，点(2,1)M
，则PM F ∆的周长的最小值为( ) A ．3
B ．1
C 1
D 3
【解答】解：由题意可得M 在抛物线的内部，过M 向抛物线的准线作垂线交准线于N 交抛物线于P ，
PM F ∆中，三角形的周长为：||||||MF PM PF ++，
由抛物线的性质，可得||||||
||||MF PM PN MF MN +++，
由抛物线的方程可得，抛物线的准线方程为1x =-，
所以||2(1)3MN =--=，22||(21)1MF =-+， 所以三角形的周长的最小值为：23+， 故选：D ．
7．（5分）若函数()sin f x x t x =+在(0,)3
π
上单调递增，则实数t 的取值范围是( )
A ．(1,)+∞
B ．(2,)-+∞
C ．[2-，)+∞
D ．[1-，)+∞
【解答】解：()1cos 0f x t x '=+在(0,)3
π
恒成立，
故1
cos t x
-在(0,)3π恒成立，
1
cos y x
=-
在(0,)3π递减，
故y 的最大值小于1-，故1t -， 故选：D ．
8．（5分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AC ，1A B 的中点，则下列说法错误的是( )
A ．MN CD ⊥
B ．直线MN 与平面ABCD 所成角为45︒
C ．//MN 平面11AD
D A
D ．异面直线MN 与1DD 所成角为60︒
【解答】解：如图，连结BD ，1A D ，
由M ，N 分别为AC ，1A B 的中点，知1//MN A D ， 而MN ⊂/平面11ADD A ，1A D ⊂平面11ADD A ，
//MN ∴平面11ADD A ，故C 正确；
在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11ADD A ，则1CD A D ⊥， 1//MN A D ，MN CD ∴⊥，故A 正确；
直线MN 与平面ABCD 所成角等于1A D 与平面ABCD 所成角等于45︒，故B 正确； 而11A DD ∠为异面直线MN 与1DD 所成角，应为45︒，故D 错误． 故选：D ．
9．（5分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为( )
A ．193
B ．192
C ．174
D ．173
【解答】解：根据题意，由数表可得：每一行的第一个数字依次为1、2、4、7、⋯⋯， 则第n 行的第一个数字为
(1)
12
n n -+， 则第20行的第一个数字为191，故第20行从左向右的第3个数为193； 故选：A ．
10．（5分）已知52345012345(4)(2)(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x a x +=++++++++++，则123452345(a a a a a ++++= )
A ．242
B ．243
C ．404
D ．405
【解答】解：设2x t +=，可知原式变为5250125(2)t a a t a t a t +=++++，
两边同时求导可得4234123455(2)2345t a a t a t a t a t +=++++． 令1t =，可得123452345405a a a a a ++++=， 故选：D ．
11．（5分）已知A ，B ，C ，P 为球O 的球面上的四个点，60ABC ∠=︒，2AC =，球O 的表面积为
649
π
，则三棱锥P ABC -的体积的最大值为( ) A ．23 B ．
23
3
C ．
43
3
D ．
43
9
【解答】解：球O 的表面积为
649π，设球的半径为R ，可得26449
R π
π=，解得43R =，
底面三角形ABC 的外接圆的半径为r ，2
2sin 603
2
AC r =
=
︒，解得233r =， 如图，底面三角形的外心为G ，可知底面三角形是正三角形时，A 到BC 的距离球的最大值，面积的最大值为：11
232tan30⨯⨯=︒
，P 与底面三角形的顶点的连线恰好是正三棱锥
时，三棱锥的高取得最大值，22
4423()()2333
PG PO OG =+=
+-=， 所以棱锥的体积的最大值为：123
3233
⨯⨯=．
故选：B ．
12．（5分）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的可导函数，()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，
2()()
01
f x xf x x '+>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则f （1）(= )
A ．12
-
B ．0
C ．
12
D ．1
【解答】解：当0x >且1x ≠时，
2()()
01
f x xf x x '+>-，
可得1x >时，2()()0f x xf x +'>；01x <<时，2()()0f x xf x +'<． 令2()()g x x f x =，(0,)x ∈+∞，
2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x ∴'=+'=+'．
可得：1x >时，()0g x '>；01x <<时，()0g x '<． 可得函数()g x 在1x =处取得极值， g ∴'（1）2f =（1）f +'（1）0=，
由f '（1）1=-， 可得f （1）12
=， 故选：C ．
二、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13．（5分）2
22
(sin x x dx -+=⎰
2π ．
【解答】解：因为2sin?y x x =是奇函数，所以根据奇函数的积分性质可知，2
22
sin 0x xdx -=⎰．
y =2的上半圆，此时半圆的面积为
1
422
ππ⨯=，
所以根据积分的几何意义知2
2π-=⎰
．
所以22
2
222
2
(sin sin?2x x dx x xdx π---=+=⎰⎰⎰
．
故答案为：2π．
14．（5分）用数学归纳法证明422135()n n n N +++∈能被14整除时，当1n k =+时，对于4(1)22(1)135k k +++++应变形为 44221213(35)565k k k ++++-⋅ ．
【解答】解：4(1)22(1)14422121353(35)565k k k k k ++++++++=+-⋅． 故答案为：44221213(35)565k k k ++++-⋅
15．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段11A B 的中点，则直线BE 与1DA 所成
角的余弦值是
．
【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，
则(2B ，2，0)，(2E ，1，2)，(0D ，0，0)，1(2A ，0，2)，
(0BE =，1-，2)，1(2DA =，0，2)， 设直线BE 与1DA 所成角为θ， 则11||410cos 5
||||
58
BE DA BE DA θ⋅=
=
=
⋅⋅． 故答案为：
105
．
16．（5分）若曲线y lnx =在点1(P x ，1)y 处的切线与曲线x y e =相切于点2(Q x ，2)y ，则1211
1
x x x ++=- 0 ． 【解答】解：y lnx =的导数为1
y x
'=，可得y lnx =在点1(P x ，1)y 处的切线方程为111
1
()y lnx x x x -=
-， x y e =的导数为x y e '=，可得在点2(Q x ，2)y 处的切线的方程为222()x x y e e x x -=-，
由两条切线重合的条件，可得21
1
x e x =，且2121(1)x lnx e x -=-， 则21x lnx =-，即有111
1
1(1)lnx lnx x -=+， 可得1111
1
x lnx x +=-， 则
121111
01
x x lnx lnx x ++=-=-． 故答案为：0．
三、解答题（共6小题，第17题10分，第18题、第19题、第20题、第21题、第22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运
行（按顺时针方向）的轨迹方程为22110025
x y +=，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物
线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、64
(0,)7
M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为
(8,0)D ．观测点(4,0)A 、(6,0)B 同时跟踪航天器．
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
【解答】解：（1）设曲线方程为2647
y ax =+， 由题意可知，64
0647
a =⋅+． ∴17
a =-．
∴曲线方程为2164
77
y x =-+
． （2）设变轨点为(,)C x y ，根据题意可知
22
21&(1)10025
164&(2)77x y y x ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
得247360y y --=，4y =或9
4y =-（不合题意，舍去）．
4y ∴=．
得6x =或6x =-（不合题意，舍去）．
C ∴点的坐标为(6,4)
，|||4AC BC ==．
答：当观测点A 、B 测得AC 、BC
距离分别为时，应向航天器发出变轨指令． 18．（12分）已知a R ∈，设:[2p x ∀∈，3]，(1)10a x +->恒成立，0:q x R ∃∈，使得
20010x ax ++<．
（Ⅰ）若p q ∧是真命题，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若()p q ∧⌝为假，()p q ∨⌝为真，求a 的取值范围．
【解答】解：()I 若p 为真，即:[2p x ∀∈，3]，(1)10a x +->恒成立， 所以2(1)103(1)10
a a +->⎧⎨+->⎩，解得12a >-，
若q 为真，即0:q x R ∃∈，使得2
010x ax ++<， 则△240a =->，解得，2a >或2a <-， 若p q ∧是真命题，则p ，q 为真，1222a a a ⎧
>-⎪
⎨⎪-⎩
或， 所以2a >， 故a 的范围(2,)+∞，
()II 因为()p q ∧⌝为假，()p q ∨⌝为真，
所以()p q ∧⌝一真一假即p ，q 同真同假， 当p ，q 都真时，由()I 知2a >，
当p ，q 都假时，1222a a ⎧
-
⎪⎨⎪-⎩，即122a --，
综上，1
22
a --
或2a >．
故a 的范围1
{|22
a a --
或2}a >． 19．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AD BC ，且1
12
AB AD BC ===，12AA DC ==．
（1）求证：平面11BDD B ⊥平面11CDD C ； （2）求二面角11C BD C --所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：因为AD AB ⊥，1
12
AB AD BC ===，
所以2BC =，2BD
因为2DC =222BD DC BC +=， 所以90BDC ∠=︒，即BD CD ⊥． 因为1AA ⊥底面ABCD ，
所以1DD ⊥底面ABCD ，所以1BD DD ⊥． 因为1
DD CD D =，1DD ⊂平面11CDD C ，CD ⊂平面11CDD C ，
所以BD ⊥平面11CDD C ，
又BD ⊂平面11BDD B ，所以平面11BDD B ⊥平面11CDD C ．
（2）解：如图，分别以DB ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -， 则(0D ，0，0)，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，12)D ，12,2)C ． 所以1(2,0,2)BD =-，112,0)D C =，1(0,2,2)D C =-， 设平面1CBD 的法向量为(,,)m x y z =， 则11220220
BD m x z D C m y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，
令1x =，得(1,1,1)m =．
设平面11C BD 的法向量为(,,)n a b c =， 则11122020
BD n a c D C n b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 令1a =，得(1,0,1)n =， 所以26
cos ,||||332
m n m n m n ⋅〈〉=
==⋅⨯，
由图知二面角11C BD C --为锐角， 所以二面角11C BD C --所成角的余弦值为
6
3
．
20．（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3
a
y x x =
+--，其中36x <<，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【解答】解：（Ⅰ）因为5x =时，11y =，所以10112
a
+=，故2a = （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量22
10(6)3
y x x =+-- 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 222
()(3)[
10(6)]210(3)(6)3
f x x x x x x =-+-=+--- 从而，2()10[(6)2(3)(6)]30(6)(4)f x x x x x x '=-+--=-- 于是，当x 变化时，()f x 、()f x '的变化情况如下表：
由上表可得，4x =是函数()f x 在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当4x =时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
21．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，点1F ，2F 是椭圆C 的左、
右焦点，点P 是
C 上任意一点，若△12PF F 面积的最大值为 （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）
直线11:3l y x =与椭圆C 在第一象限的交点为M ，直线2
1
:(0)3
l y x
m m =+≠与椭圆C 交
于A ，B
两点，连接MA ，MB ，与x 轴分别交于P ，Q
两点，求证：MPQ ∆始终为等腰三角形．
【解答】解：（1）由c e a ==，222a b c =+， 可得c =，
由△12PF F 面积的最大值为bc = 解得a =b =，4c =，
∴椭圆C 的方程为22
1182
x y +
=． （2）证明：联立22
1182
13x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得(3,1)M ，
联立22
131182
y x m x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22269180x mx m ++-=， 直线2l 与椭圆C 交于A ，B 两点，
∴△22(6)42(918)0m m =-⨯⨯->，22m ∴-<<，且0m ≠，
设直线MP ，MQ 的斜率分别为1k ，2k ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
则11113y k x -=
-，2221
3
y k x -=-． 又123x x m +=-，2129
92x x m =-，
1113y x m =+，221
3
y x m =+，
则
2
12121212121212229(2)()66(9)(2)(3)6611332033(3)(3)(3)(3)
x x m x x m m m m m
y y k k x x x x x x +-++--+--+---+=+===------，
120k k ∴+=，从而MPQ ∆始终为等腰三角形．
22．（12分）已知函数2
()f x lnx ax ax
=--
． （Ⅰ）若()0f x ，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若22
()()g x f x x ax
=++有两个极值点分别为1x ，212()x x x <，求122()()g x g x -的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）因为2()f x lnx ax ax
=--
， 所以22
2
22221
()()
122()a x x a x ax a a f x a x ax ax ax
--+-++'=-+==， 由()0f x =得2x a =
或1
x a
=-． ①当0a >时，因为2
(1)0f a a
=--
<，不满足题意， ②当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递减，在1
(,)a -+∞上单调递增，
于是11
()()()120min f x f ln a a
=-=-++，解得30e a -<，
所以a 的取值范围为3[e -，0)．
（Ⅱ）函数2
()g x lnx x ax =+-，定义域为(0,)+∞，2121
()2x ax g x x a x x
-+'=+-=，
因为1x ，2x 是函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2210x ax -+=的两个不等正根， 则有△280a =->，122a x x +=，121
2
x x =，
得a >
，对称轴
4a >
1x ∈
，2)x ∈+∞，
且有21121ax x =+，2
2221ax x =+，
22121112222()()2()()g x g x lnx x ax lnx x ax -=+--+-
22221112222(21)(21)lnx x x lnx x x =+---+--
221122221x lnx lnx x =-+-+-
222222
11
2(
)2122x ln lnx x x =-+-- 2
2
222
21322122
x lnx ln x =-
---， 令2
2t x =，则1(,)2t ∈+∞，13()22122h t t lnt ln t =----，
22
13(21)(1)
()1222t t h t t t t
--'=+
-=， 当1
(,1)2
t ∈时，()h t 单调递减，当(1,)t ∈+∞时，()h t 单调递增，
所以142
()(1)2
min ln h t h +==-
， 所以122()()g x g x -的最小值为142
2
ln +-．。