集合与常用逻辑用语,推理证明,算法,复数,坐标系与参数方程练习含答案 精校

集合与常用逻辑用语，推理证明，算法，复数，坐标系与参数方程1 1.如图所示，I是全集，A，B，C是I的子集，则阴影部分表示的集合是()
A.(A∩B)∩C
B.(A∩∁I B)∩C
C.(A∩B)∩(∁I C)
D.(∁I B)∪A∩C
2．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z
1＋i
的点是()
A．E B．F C．G D．H
3．(2014·江西)z是z的共轭复数，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，则z等于() A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i
4 设U为全集.A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5.已知命题p：若a>1，则a x>log a x恒成立；命题q：在等差数列{a n}中，m＋n＝p＋q是a n ＋a m＝a p＋a q的充分不必要条件(m，n，p，q∈N＋).则下面选项中真命题是()
A.(¬p)且(¬q)
B.(¬p)或(¬q)
C.p或(¬q)
D.p且q
6．在数列{a n}中，已知a1＝2，a2＝7，a n＋2为a n与a n＋1(n∈N＋)的积的个位数，则a2 017等于()
A．8 B．6 C．4 D．2
7．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac<3 a”索的因应是()
A ．a －b >0
B ．a －c >0
C ．(a －b )(a －c )>0
D ．(a －b )(a －c )<0
8．已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b 是正实数，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab
a ＋
b )，则A 、B 、C
的大小关系为( ) A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A
D ．C ≤B ≤A
9．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确
D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确
10．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( ) A ．若f (1)<1成立，则f (10)<100成立 B ．若f (2)<4成立，则f (1)≥1成立
C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立
D ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立
11．(2015·课标全国Ⅱ)下边算法框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a 等于( )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．14
12．(2015·重庆)执行如图所示的算法框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )
A ．s ≤3
4
B ．s ≤56
C ．s ≤11
12
D ．s ≤25
24
13．已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且m (1＋i)＝7＋n i ，则m ＋n i
m －n i ＝________.
14.已知命题p ：“任意x ∈R ，存在m ∈R,4x －2x ＋
1＋m ＝0”，若命题¬p 是假命题，则实数
m 的取值范围是________.
15 已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}.若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________. 16 .已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①任意x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； ②存在x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0， 则m 的取值范围是________.
17 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m } (1).若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围. (2).是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.
(3).若x ∈¬P 是x ∈¬S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
18 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出曲线C 的方程；
(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．
19 对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足： ①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0； ②f (1)＝1；
③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数． (1)若函数f (x )为理想函数，证明：f (0)＝0；
(2)试判断函数f (x )＝2x (x ∈[0,1])，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])，f (x )＝x (x ∈[0,1])是不是理想函数
20 已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：1
2
[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭
⎫x 1＋x 2
2.
21 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列．
22 已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈[14，12]时，f (x )≥18.
(1)求a 的值；
(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋，证明：a n <1
n ＋1.
集合与常用逻辑用语，推理证明，算法，复数，坐标系与参数方程1
1-5 BDDCC 6-10 BDCAD 11-12 DB
13 i 14(－∞，1] 15 (－∞，－1] 16 (－4，－2)
17. 大本p5例3
已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.
解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，
由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪
⎧
1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，
∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]. 引申探究
1.本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件. 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3，m ＝9，
即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.
2.本例条件不变，若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇏ P . ∴[－2,10] [1－m ,1＋m ].
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧
1－m <－2，1＋m ≥10.
∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞). 18.大本p248例2
将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出曲线C 的方程；
(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．
解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 1，
y ＝2y 1
.
由x 21＋y 2
1＝1得x 2＋(y 2)2＝1，
即曲线C 的方程为x 2
＋y 2
4
＝1.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2
4＝1，2x ＋y －2＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝2.
不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝1
2，
于是所求直线方程为y －1＝12(x －1
2
)，
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝3
4sin θ－2cos θ.
19大本p228例1
对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足： ①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0； ②f (1)＝1；
③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数． (1)若函数f (x )为理想函数，证明：f (0)＝0；
(2)试判断函数f (x )＝2x (x ∈[0,1])，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])，f (x )＝x (x ∈[0,1])是不是理想函数． (1)证明 取x 1＝x 2＝0，则x 1＋x 2＝0≤1， ∴f (0＋0)≥f (0)＋f (0)，∴f (0)≤0. 又对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0， ∴f (0)≥0.于是f (0)＝0.
(2)解 对于f (x )＝2x ，x ∈[0,1]，f (1)＝2不满足新定义中的条件②， ∴f (x )＝2x ，(x ∈[0,1])不是理想函数．
对于f (x )＝x 2，x ∈[0,1]，显然f (x )≥0，且f (1)＝1. 任意的x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1， f (x 1＋x 2)－f (x 1)－f (x 2)
＝(x 1＋x 2)2－x 21－x 22＝2x 1x 2≥0，
即f (x 1)＋f (x 2)≤f (x 1＋x 2)． ∴f (x )＝x 2(x ∈[0,1])是理想函数．
对于f (x )＝x ，x ∈[0,1]，显然满足条件①②. 对任意的x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1，
有f 2(x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]2＝(x 1＋x 2)－(x 1＋2x 1x 2＋x 2)＝－2x 1x 2≤0， 即f 2(x 1＋x 2)≤[f (x 1)＋f (x 2)]2.
∴f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，不满足条件③. ∴f (x )＝x (x ∈[0,1])不是理想函数．
综上，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])是理想函数，f (x )＝2x (x ∈[0,1])与f (x )＝x (x ∈[0,1])不是理想函数． 20大本p228例2
已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 证明 要证1
2[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22， 即证明1
2(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22，
只需证明12⎝⎛⎭⎫
sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>tan x 1＋x 22，
只需证明sin (x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)
1＋cos (x 1＋x 2).
由于x 1，x 2∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2，故x 1＋x 2∈(0，π)． 所以cos x 1cos x 2>0，sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0， 故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2， 即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2， 即证cos(x 1－x 2)<1.
由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，x 1≠x 2知上式显然成立， 因此1
2[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.
21大本p228例3
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． (1)解 当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝1
2
a n ，
所以{a n }是首项为1，公比为1
2的等比数列，
所以a n ＝1
2
n －1.
(2)证明 反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N ＋)，
则2·12q ＝12p ＋12
r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.(*)
又因为p <q <r ，且p ，q ，r ∈N ＋，所以r －q ，r －p ∈N ＋. 所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证． 22大本p231例2
已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈[14，12]时，f (x )≥1
8.
(1)求a 的值；
(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋，证明：a n <1
n ＋1.
(1)解 由题意，
知f (x )＝ax －32x 2＝－32(x －a 3)2＋a 2
6.
又f (x )max ≤16，所以f (a 3)＝a 26≤1
6.
所以a 2≤1.
又x ∈[14，12]时，f (x )≥1
8
，
所以⎩⎨⎧
f (12)≥18
，f (14)≥1
8，
即⎩⎨⎧
a 2－38≥18
，a 4－332≥18，
解得a ≥1.
又因为a 2≤1，所以a ＝1. (2)证明 用数学归纳法证明：
①当n ＝1时，0<a 1<1
2，显然结论成立．
因为当x ∈(0，12)时，0<f (x )≤1
6，
所以0<a 2＝f (a 1)≤16<1
3.
故n ＝2时，原不等式也成立．
②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，不等式0<a k <1
k ＋1
成立． 由(1)知a ＝1，f (x )＝x －3
2
x 2，
因为f (x )＝x －32x 2的对称轴为直线x ＝1
3，
所以当x ∈(0，1
3]时，f (x )为增函数．
所以由0<a k <1k ＋1≤13，得0<f (a k )<f (1
k ＋1
)．
于是，0<a k ＋1＝f (a k )<1k ＋1－32·1(k ＋1)2＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42(k ＋1)2
(k ＋2)<1
k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．
根据①②，知对任何n ∈N ＋，不等式a n <1
n ＋1成立．。