湖北省襄阳五中学实验中学2024届中考试题猜想数学试卷含解析

湖北省襄阳五中学实验中学2024学年中考试题猜想数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．随着“中国诗词大会”节目的热播，《唐诗宋词精选》一书也随之热销．如果一次性购买10本以上，超过10本的那部分书的价格将打折，并依此得到付款金额y（单位：元）与一次性购买该书的数量x（单位：本）之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（）
A．一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本
B．a＝520
C．一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折
D．一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花80元
2．下列各式：①a0=1 ②a2·a3=a5 ③ 2–2= –1
4
④–(3－5)＋(–2)4÷8×(–1)=0⑤x2+x2=2x2，其中正确的是( )
A．①②③B．①③⑤C．②③④D．②④⑤
3．两个同心圆中大圆的弦AB与小圆相切于点C，AB=8，则形成的圆环的面积是（）
A．无法求出B．8 C．8πD．16π
4．如图，在平行四边形ABCD中，都不一定成立的是（）
①AO=CO；②AC⊥BD；③AD∥BC；④∠CAB=∠CAD．
A ．①和④
B ．②和③
C ．③和④
D ．②和④
5．如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，E 是∠COB 内一点，且OE ⊥AB ，∠AOC =35°，则∠EOD 的度数是（ ）
A ．155°
B ．145°
C ．135°
D ．125°
6．已知：如图，在扇形OAB 中，110AOB ∠=︒，半径18OA =，将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则弧AD 的长为（ ）
A ．2π
B ．3π
C ．4π
D ．5π
7．如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ）
A ．
1
3
B ．2
C ．
24
D ．
22
3
8．已知下列命题：①对顶角相等；②若a ＞b ＞0，则
1
a ＜1b
；③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；④抛物线y=x 2﹣2x 与坐标轴有3个不同交点；⑤边长相等的多边形内角都相等．从中任选一个命题是真命题的概率为（ ） A ．
15
B ．
25
C ．
35
D ．
4
5
9．若关于x 的不等式组25
53
32x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩
只有5个整数解，则a 的取值范围( )
A ．1162
a -<-
B ．116a 2
-<<-
C ．1162
a -<-
D ．1162
a --
10．我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形，则从正面、左面、上面观察都不可能看到矩形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．已知：如图，AD 、BE 分别是△ABC 的中线和角平分线，AD ⊥BE ，AD ＝BE ＝6，则AC 的长等于______．
12．为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A ．783230x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．78
2330x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．30
2378x y x y +=⎧⎨+=⎩
D ．30
3278x y x y +=⎧⎨+=⎩
13．如图，直线y=2x+4与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，以OB 为边在y 轴右侧作等边三角形OBC ，将点C 向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB 上，则点C′的坐标为 ．
14．如图，点M 、N 分别在∠AOB 的边OA 、OB 上，将∠AOB 沿直线MN 翻折，设点O 落在点P 处，如果当OM=4，ON=3时，点O 、P 的距离为4，那么折痕MN 的长为______．
15．如果a 是不为1的有理数,我们把11a
-称为a 的差倒数如：2的差倒数是1
112=--,-1的差倒数是111(1)2=--，已
知14a =，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推,则 2019a =___________ ． 16．如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（﹣3，4），顶点C 在x 轴的负半轴上，函数y ＝k
x
（x ＜0）的图象经过顶点B ，则k 的值为_____．
17．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD 的面积为_____．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax+b与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA，设抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ 为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=600，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若3O的直径．
20．（8分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ
＝2，将三角板CPQ绕点C旋转(保持点P在△ABC内部)，连接AP、BP、BQ．如图1求证：AP＝BQ；如图2当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时，求AP的长；设射线AP与射线BQ相交于点E，连接EC，写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系．
21．（10分）深圳某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：
“读书节“活动计划书
书本类别科普类文学类
进价（单位：元）18 12
备注（1）用不超过16800元购进两类图书共1000本；科普类图书不少于600本；
…
（1）已知科普类图书的标价是文学类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买科普类图书的数量恰好比单独购买文学类图书的数量少10本，请求出两类图书的标价；经市场调査后发现：他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，科普类图书每本标价降低a（0＜a＜5）元销售，文学类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
22．（10分）根据图中给出的信息，解答下列问题：
放入一个小球水面升高，cm，放入一个大球水面升高cm；
如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？
23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE
求证：（1）△ABF≌△DCE；四边形ABCD是矩形．
24．（14分）问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为CD的中点，则∠AEB∠ACB（填“＞”“＜”“=”）；
问题探究
（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由；
问题解决
（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB=6米），下边沿到地面的距离BD=11.6米．如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、D
【解题分析】
A、根据单价＝总价÷数量，即可求出一次性购买数量不超过10本时，销售单价，A选项正确；C、根据单价＝总价÷数量结合前10本花费200元即可求出超过10本的那部分书的单价，用其÷前十本的单价即可得出C正确；
B、根据总价＝200+超过10本的那部分书的数量×16即可求出a值，B正确；D，求出一次性购买20本书的总价，将其与400相减即可得出D错误．此题得解．
【题目详解】
解：A、∵200÷10＝20（元/本），
∴一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本，A选项正确；
C、∵（840﹣200）÷（50﹣10）＝16（元/本），16÷20＝0.8，
∴一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折，C选项正确；
B、∵200+16×（30﹣10）＝520（元），
∴a＝520，B选项正确；
D、∵200×2﹣200﹣16×（20﹣10）＝40（元），
∴一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花40元，D选项错误．
故选D．
【题目点拨】
考查了一次函数的应用，根据一次函数图象结合数量关系逐一分析四个选项的正误是解题的关键．2、D
【解题分析】
根据实数的运算法则即可一一判断求解.
【题目详解】
①有理数的0次幂，当a=0时，a0=0；②为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；③中2–2= 1
4
，原式错误；④
为有理数的混合运算，正确；⑤为合并同类项，正确．故选D.
3、D
【解题分析】
试题分析：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB．
∵AB于小圆切于点C，
∴OC⊥AB，
∴BC=AC=1
2
AB=
1
2
×8=4cm．
∵圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2）
又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2
∴圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2）=π•BC2=16π．故选D．
考点：1．垂径定理的应用；2．切线的性质． 4、D 【解题分析】
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO=CO ，故①成立； AD ∥BC ，故③成立；
利用排除法可得②与④不一定成立， ∵当四边形是菱形时，②和④成立． 故选D. 5、D 【解题分析】 解：∵35AOC ∠=， ∴35BOD ∠=， ∵EO ⊥AB ， ∴90EOB ∠=，
∴9035125EOD EOB BOD ∠=∠+∠=+=， 故选D. 6、D 【解题分析】
如图，连接OD ．根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB 是等边三角形，则易求∠AOD=110°-∠DOB=50°；然后由弧长公式弧长的公式180
n r
l π= 来求AD 的长 【题目详解】 解：如图，连接OD ． 解：如图，连接OD ．
根据折叠的性质知，OB=DB．
又∵OD=OB，
∴OD=OB=DB，即△ODB是等边三角形，∴∠DOB=60°．
∵∠AOB=110°，
∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=50°，
∴AD的长为5018
180
π⨯
=5π．
故选D．
【题目点拨】
本题考查了弧长的计算，翻折变换（折叠问题）．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．所以由折叠的性质推知△ODB是等边三角形是解答此题的关键之处．
7、C
【解题分析】
试题分析：连结CD，可得CD为直径，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得OD=4
所以tan∠CDO=，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=，故答案选C．
考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义．
8、B
【解题分析】
∵①对顶角相等，故此选项正确；
②若a＞b＞0，则1
a
＜
1
b
，故此选项正确；
③对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项错误；
④抛物线y=x2﹣2x与坐标轴有2个不同交点，故此选项错误；
⑤边长相等的多边形内角不一定都相等，故此选项错误；
∴从中任选一个命题是真命题的概率为：2
5
．
故选：B ． 9、A 【解题分析】
分别解两个不等式得到得x ＜20和x ＞3-2a ，由于不等式组只有5个整数解，则不等式组的解集为3-2a ＜x ＜20，且整数解为15、16、17、18、19，得到14≤3-2a ＜15，然后再解关于a 的不等式组即可． 【题目详解】
25
53
32
x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨
+⎪<+⎪⎩①② 解①得x ＜20 解②得x ＞3-2a ，
∵不等式组只有5个整数解， ∴不等式组的解集为3-2a ＜x ＜20， ∴14≤3-2a ＜15，
11
62
a ∴-<-
故选：A
【题目点拨】
本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能求出不等式14≤3-2a ＜15是解此题的关键． 10、C 【解题分析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此找到从正面、左面、上面观察都不可能看到矩形的图形． 【题目详解】
A 、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆，故本选项错误；
B 、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为长方形，故本选项错误；
C 、主视图为等腰梯形，左视图为等腰梯形，俯视图为圆环，从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形，故本选项正确；
D 、主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为有对角线的矩形，故本选项错误． 故选C ．
【题目点拨】
本题重点考查了三视图的定义考查学生的空间想象能力，关键是根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、
【解题分析】
试题分析：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，可得BE∥CF，易证△BGD≌△CFD，所以GD=DF，BG=CF；又因BE是△ABC的角平分线且AD⊥BE，BG是公共边，可证得△ABG≌△DBG，所以AG=GD=3；由
BE∥CF可得△AGE∽△AFC，所以，即FC=3GE；又因BE=BG+GE=3GE+GE=4GE=6，所以GE=，
BG=；在Rt△AFC中，AF=AG+GD+GF=9，CF=BG=，由勾股定理可求得AC=.
考点：全等三角形的判定及性质；相似三角形的判定及性质；勾股定理.
12、A
【解题分析】
该班男生有x人，女生有y人．根据题意得：
30 3278 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
故选D．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．13、（﹣2，2）
【解题分析】
试题分析：∵直线y=2x+4与y轴交于B点，∴x=0时，
得y=4，
∴B（0，4）．
∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，
∴C在线段OB的垂直平分线上，
∴C点纵坐标为2．
将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，
解得x=﹣2．
所以C′的坐标为（﹣2，2）．
考点：2．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．坐标与图形变化-平移．14、235
-
【解题分析】
由折叠的性质可得MN⊥OP，EO=EP=2，由勾股定理可求ME，NE的长，即可求MN的长．【题目详解】
设MN与OP交于点E，
∵点O、P的距离为4，
∴OP=4
∵折叠
∴MN⊥OP，EO=EP=2，
在Rt△OME中，2223
OM OE
-=
在Rt△ONE中，225
ON OE
-=
∴35
故答案为35
【题目点拨】
本题考查了翻折变换，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．
15、3 4 .
【解题分析】
利用规定的运算方法，分别算得a1，a2，a3，a4…找出运算结果的循环规律，利用规律解决问题.
【题目详解】
∵a 1=4
a 2=11111143
a ==---， a 3=211311413a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭
=---， a 4=31143114
a ==--， …
数列以4,−1334
，三个数依次不断循环， ∵2019÷3=673，
∴a 2019=a 3=34
， 故答案为：
34. 【题目点拨】
此题考查规律型：数字的变化类，倒数，解题关键在于掌握运算法则找到规律.
16、﹣1
【解题分析】
根据点C 的坐标以及菱形的性质求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值即可．
【题目详解】
解：∵A （﹣3，4），
∴
，
∴CB=OC=5，
则点B 的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，
故B 的坐标为：（﹣8，4），
将点B 的坐标代入y=
k x 得，4=8
k -， 解得：k=﹣1．
故答案为：﹣1．
17、1
【解题分析】
由∠ACD=∠B 结合公共角∠A=∠A ，即可证出△ACD ∽△ABC ，根据相似三角形的性质可得出ACD ABC S S ∆∆＝（AD AC
）2＝14
，结合△ADC 的面积为1，即可求出△BCD 的面积． 【题目详解】
∵∠ACD ＝∠B ，∠DAC ＝∠CAB ，
∴△ACD ∽△ABC ， ∴ACD ABC S S ∆∆＝（AD AC ）2＝（12
）2＝14， ∴S △ABC ＝4S △ACD ＝4，
∴S △BCD ＝S △ABC ﹣S △ACD ＝4﹣1＝1．
故答案为1．
【题目点拨】
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）y=﹣x 2+2x+1；（2）P （2，1）或
；（1）存在，且Q 1（1，0），Q 2（2
0），Q 1（
0），Q 4
0），Q 5
0）.
【解题分析】
(1)根据抛物线的解析式，可得到它的对称轴方程，进而可根据点B 的坐标来确定点A 的坐标，已知OC=1OA ，即可得到点C 的坐标，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式．
（2）求出点C 关于对称轴的对称点，求出两点间的距离与CD 相比较可知，PC 不可能与CD 相等，因此要分两种情况讨论：
①CD=PD ，根据抛物线的对称性可知，C 点关于抛物线对称轴的对称点满足P 点的要求，坐标易求得；②PD=PC ，可设出点P 的坐标，然后表示出PC 、PD 的长，根据它们的等量关系列式求出点P 的坐标．
（1）此题要分三种情况讨论：①点Q 是直角顶点，那么点Q 必为抛物线对称轴与x 轴的交点，由此求得点Q 的坐标；②M 、N 在x 轴上方，且以N 为直角顶点时，可设出点N 的坐标，根据抛物线的对称性可知MN 正好等于抛物线对称轴到N 点距离的2倍，而△MNQ 是等腰直角三角形，则QN=MN ，由此可表示出点N 的纵坐标，联立抛物线的解析式，即可得到关于N 点横坐标的方程，从而求得点Q 的坐标；根据抛物线的对称性知：Q 关于抛物线的对称点也符合题意；③M 、N 在x 轴下方，且以N 为直角顶点时，方法同②．
【题目详解】
解:（1）由y=ax2﹣2ax+b可得抛物线对称轴为x=1，由B（1，0）可得A（﹣1，0）；∵OC=1OA，
∴C（0，1）；
依题意有：
20
3
a a b
b
++=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得
1
3
a
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
；
∴y=﹣x2+2x+1．
（2）存在．①DC=DP时，由C点（0，1）和x=1可得对称点为P（2，1）；设P2（x，y），
∵C（0，1），P（2，1），
∴CP=2，
∵D（1，4），
∴CD=2＜2，
②由①此时CD⊥PD，
根据垂线段最短可得，PC不可能与CD相等；
②PC=PD时，∵CP22=（1﹣y）2+x2，D P22=（x﹣1）2+（4﹣y）2
∴（1﹣y）2+x2=（x﹣1）2+（4﹣y）2
将y=﹣x2+2x+1代入可得：
35
2
x
+
=，
∴
55
y
-
=；
∴P2（35
+55
-
．
综上所述，P（2，135
+55
-
．
（1）存在，且Q1（1，0），Q2（250），Q1（50），Q450），Q550）；
①若Q是直角顶点，由对称性可直接得Q1（1，0）；
②若N是直角顶点，且M、N在x轴上方时；
设Q2（x，0）（x＜1），
∴MN=2Q1O2=2（1﹣x），
∵△Q2MN为等腰直角三角形；
∴y=2（1﹣x）即﹣x2+2x+1=2（1﹣x）；
∵x＜1，
∴Q2（20）；
由对称性可得Q10）；
③若N是直角顶点，且M、N在x轴下方时；
同理设Q4（x，y），（x＜1）
∴Q1Q4=1﹣x，而Q4N=2（Q1Q4），
∵y为负，
∴﹣y=2（1﹣x），
∴﹣（﹣x2+2x+1）=2（1﹣x），
∵x＜1，
∴x=
∴Q4（0）；
由对称性可得Q5，0）．
【题目点拨】
本题考查了二次函数的知识点，解题的关键是熟练的掌握二次函数相关知识点.
19、（1）见解析（2）
【解题分析】
解：（1）证明：连接OA，
∵∠B=600，∴∠AOC=2∠B=1．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=2．
又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=2．
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=3．∴OA⊥PA．
∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线．
（2）在Rt△OAP中，∵∠P=2，
∴PO=2OA=OD+PD．
又∵OA=OD，∴PD=OA．
∵3，∴3
∴⊙O的直径为3．．
（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=2，再由AP=AC得出
∠P=2，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论．
（2）利用含2的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由3，可得出⊙O的直径．
20、（1）证明见解析（2142（3）EP+EQ= 2
【解题分析】
（1）由题意可得：∠ACP=∠BCQ，即可证△ACP≌△BCQ，可得AP=CQ；
作CH⊥PQ 于H，由题意可求2，可得2，根据勾股定理可求
14，即可求AP 的长；
作CM⊥BQ 于M，CN⊥EP 于N，设BC 交AE 于O，由题意可证△CNP≌△ CMQ，可得CN=CM，QM=PN，即可证Rt△CEM≌Rt△CEN，EN=EM，∠CEM=
∠CEN=45°，则可求得EP、EQ、EC 之间的数量关系．
【题目详解】
解：（1）如图 1 中，∵∠ACB=∠PCQ=90°，
∴∠ACP=∠BCQ 且AC=BC，CP=CQ
∴△ACP≌△BCQ（SAS）
∴PA=BQ
如图 2 中，作CH⊥PQ 于H
∵A、P、Q 共线，PC=2，
∴PQ=22，
∵PC=CQ，CH⊥PQ
∴CH=PH= 2
在Rt△ACH 中，AH=22
= 14
AC CH
∴PA=AH﹣PH= 14-2
解：结论：EP+EQ=2EC
理由：如图 3 中，作CM⊥BQ 于M，CN⊥EP 于N，设BC 交AE 于O．
∵△ACP≌△BCQ，
∴∠CAO=∠OBE，
∵∠AOC=∠BOE，
∴∠OEB=∠ACO=90°，
∵∠M=∠CNE=∠MEN=90°，
∴∠MCN=∠PCQ=90°，
∴∠PCN=∠QCM，
∵PC=CQ，∠CNP=∠M=90°，
∴△CNP≌△CMQ（AAS），
∴CN=CM，QM=PN，
∴CE=CE，
∴Rt△CEM≌Rt△CEN（HL），
∴EN=EM，∠CEM=∠CEN=45°
∴EP+EQ=EN+PN+EM﹣MQ=2EN，EN，
∴EC
【题目点拨】
本题考查几何变换综合题，解答关键是等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，添加恰当辅助线构造全等三角形．
21、（1）A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；（2）当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本，利润最大.
【解题分析】
（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可．（2）先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000-t）本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w=总售价-总成本，求出最佳的进货方案．
【题目详解】
解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，
根据题意可得540540
10
1.5
x x
-=，
化简得：540-10x=360，
解得：x=18，
经检验：x=18是原分式方程的解，且符合题意，
则A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27（元），
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；
（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（27-a）元（0＜a＜5），
由题意得，()1812100016800
600t t t +-≤⎧≥⎨⎩
， 解得：600≤t ≤800，
则总利润w =（27-a -18）t +（18-12）（1000-t ）
=（9-a ）t +6（1000-t ）
=6000+（3-a ）t ，
故当0＜a ＜3时，3-a ＞0，t =800时，总利润最大，且大于6000元；
当a =3时，3-a =0，无论t 值如何变化，总利润均为6000元；
当3＜a ＜5时，3-a ＜0，t =600时，总利润最大，且小于6000元；
答：当A 类图书每本降价少于3元时，A 类图书购进800本，B 类图书购进200本时，利润最大；当A 类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A 类图书购进600本，B 类图书购进400本时，利润最大．
【题目点拨】
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．
22、详见解析
【解题分析】
（1）设一个小球使水面升高x 厘米，一个大球使水面升高y 厘米，根据图象提供的数据建立方程求解即可． （1）设应放入大球m 个，小球n 个，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【题目详解】
解：（1）设一个小球使水面升高x 厘米，由图意，得2x=21﹣16，解得x=1．
设一个大球使水面升高y 厘米，由图意，得1y=21﹣16，解得：y=2．
所以，放入一个小球水面升高1cm ，放入一个大球水面升高2cm ．
（1）设应放入大球m 个，小球n 个，由题意，得
m n 103m 2n 5026+=⎧⎨+=-⎩，解得：m 4n 6=⎧⎨=⎩
． 答：如果要使水面上升到50cm ，应放入大球4个，小球6个．
23、（1）见解析；（2）见解析.
【解题分析】
（1）根据等量代换得到BE=CF ，根据平行四边形的性质得AB=DC ．利用“SSS”得△ABF ≌△DCE ．
（2）平行四边形的性质得到两边平行，从而∠B+∠C=180°．利用全等得∠B=∠C ，从而得到一个直角，问题得证.
【题目详解】
（1）∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，
∴BF=CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC．
在△ABF和△DCE中，
∵AB=DC，BF=CE，AF=DE，
∴△ABF≌△DCE．
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠B=∠C．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠B+∠C=180°．
∴∠B=∠C=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形．
24、（1）＞；（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由见解析；（3）410米．
【解题分析】
（1）过点E作EF⊥AB于点F，由矩形的性质和等腰三角形的判定得到：△AEF是等腰直角三角形，易证∠AEB=90°，而∠ACB＜90°，由此可以比较∠AEB与∠ACB的大小
（2）假设P为CD的中点，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于P，在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE、BF；由∠AFB是△EFB的外角，得∠AFB＞∠AEB，且∠AFB与∠APB均为⊙O 中弧AB所对的角，则∠AFB=∠APB，即可判断∠APB与∠AEB的大小关系，即可得点P位于何处时，∠APB最大；（3）过点E作CE∥DF，交AD于点C，作AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA=CQ，以点O为圆心，OB为半径作圆，则⊙O切CE于点G，连接OG，并延长交DF于点P，连接OA，再利用勾股定理以及长度关系即可得解.
【题目详解】
解：（1）∠AEB＞∠ACB，理由如下：
如图1，过点E作EF⊥AB于点F，
∵在矩形ABCD中，AB=2AD，E为CD中点，
∴四边形ADEF是正方形，
∴∠AEF=45°，
同理，∠BEF=45°，
∴∠AEB=90°．
而在直角△ABC中，∠ABC=90°，
∴∠ACB＜90°，
∴∠AEB＞∠ACB．
故答案为：＞；
（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由如下：
假设P为CD的中点，如图2，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P，
在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF，
∵∠AFB是△EFB的外角，
∴∠AFB＞∠AEB，
∵∠AFB=∠APB，
∴∠APB＞∠AEB，
故点P位于CD的中点时，∠APB最大：
（3）如图3，过点E作CE∥DF交AD于点C，作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA=CQ，
以点O为圆心，OA长为半径作圆，则⊙O切CE于点G，连接OG，并延长交DF于点P，此时点P即为小刚所站的位置，
由题意知DP=OQ=，
∵OA=CQ=BD+QB﹣CD=BD+AB﹣CD，
BD=11.6米，AB=3米，CD=EF=1.6米，
∴OA=11.6+3﹣1.6=13米，
∴DP=米，
即小刚与大楼AD之间的距离为4米时看广告牌效果最好．
【题目点拨】
本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，圆周角定理的推论，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，难度较大，熟练掌握各知识点并正确作出辅助圆是解答本题的关键.。