课件15：2.1.1 曲线与方程~2.1.2 求曲线的方程

【答案】①②③
知识点2 曲线与方程关系的应用
讲一讲
2．已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q( 2，3)是否在此方程表示的
曲线上；
(2)若点M(

2
，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值；
(3)求该方程的曲线与曲线x＋3＝0的交点的坐标．
解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，
不是所给方程的曲线”时，主要依据就是“曲线的
方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，二
者缺一不可．即一方面要证明曲线上任意一点的
坐标都是方程的解，另一方面又要证明以这个方
程的解为坐标的点都在这条曲线上．
练一练
1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的
解”是真命题，下列命题中正确的是(
(3)联立
将 x＋3＝0 化为 x＝－3，
x＋3＝0，
代入 x2＋(y－1)2＝10，解得 y＝0 或 y＝2，
x＝－3， x＝－3，
即方程组的解为
或
y＝0
y＝2.
因此两曲线的交点坐标是(－3，0)和(－3，2)．
类题通法
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验
该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适
曲线C上的充要条件是什么？
提示：若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)
＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上
的充要条件是f(x0，y0)＝0
课堂互动
知识点1 曲线与方程的概念
思考
若方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，应满足
什么条件？
名师指津：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)
在，不符合题意．因此在求轨迹方程时，要注意
检查是否存在不符合要求的点．
练一练
4．已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点
A(－1，0)，点B(1，0)，求满足条件的点C的轨
迹方程．
解：如图，设 C(x，y)，
∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0.化简得 x2＋y2＝1.
∵A、B、C 三点要构成三角形，
x
x
所以动点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝4(x≠0)．
类题通法
(1)如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量
的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表
达，我们只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式
就可得到曲线的轨迹方程，这就是直接法求动点
的轨迹方程．
类题通法
(2)求动点的轨迹方程时，如果已知条件中没有坐
( 2)2＋(3－1)2＝6≠10，
∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
Q( 2，3)不在此曲线上．

(2)∵M( ，－m)在方程x2 ＋(y－1)2 ＝10表示的曲线上，
2
∴
2
18
2
( ) ＋(－m－1) ＝10，解得m＝2或m＝－ .
2
5
x2＋（y－1）2＝10，
(1)利用直接法求轨迹方程，见讲3.
(2)利用代入法(相关点法)求轨迹方程，见讲4.
课堂归纳
3．轨迹方程化简到什么程度，课本上没有给出明确
的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整
式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属
于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．
4．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求
【解析】①不对．以坐标原点为圆心，半径为 2
的圆的方程应是 x2＋y2＝4，而 y＝ 4－x2表示的
只是圆的一部分．
②不对．由(x＋y－1)· x2＋y2－4＝0，得
x＋y－1＝0，
2
2
2
或
x
＋y
－4＝0，
2
x ＋y －4≥0
则该方程表示的是一个圆或两条射线．
③不对．把点A(－4，3)的坐标代入方程x2＋y2＝25，

y1＝3y＋2.
，
y＝
3
因为点 C(x1，y1)在曲线 y＝3x2－1 上移动，
所以 y1＝3x21－1，
即 3y＋2＝3(3x＋2)2－1.
所以 y＝9x2＋12x＋3 即为所求轨迹方程．
课堂归纳
1．本节课的重点是轨迹方程的求法，难点是对曲线
方程定义的理解．
2．本节课要重点掌握的规律方法
＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是
曲线上的点
讲一讲
1．分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点A(2，0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的
关系；
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间
的关系；
(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝
0之间的关系．
4

2
2
即(x＋2) ＋y－ 3 ＝9.


故动点 P 的轨迹方程为(x＋2)
2

102 4

＋y－ 3 ＝9.


类题通法
(1)在有些问题中，动点满足的条件不方便直接用
等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)
运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，这时
我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点
所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．这种求动
点轨迹方程的方法称为代入法(相关点法)．
类题通法
(2)用代入法(相关点法)求轨迹方程的一般步骤如下：
①设点：设被动点坐标 G(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)．
②求关系式：求出两个动点之间的关系
x1＝f（x，y），

y1＝g（x，y）.
③代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所
解：(1)过点A(2，0)平行于y轴的直线上的点的坐
标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐
标的点不一定都在过点A(2，0)且平行于y轴的直
线上．因此，|x|＝2不是过点A(2，0)平行于y轴
的直线的方程．
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定
满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与
(1)曲线的方程、方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合
或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，
y)＝0的实数解建立了如下的关系：
①曲线上 点的坐标 都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做
方程的曲线．
(3)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上任一点M到点(a，b)的
距离都是r吗？到点(a，b)的距离为r的点都在圆(x
－a)2＋(y－b)2＝r2上，对吗？
提示： 都是r；对 ．
(4)到定点(a，b)的距离为定长r的点的轨迹方程是什么？
2＋(y－b)2＝r2
(x－a)
提示：
．
2．归纳总结，核心必记
＝(x0＋3，y0－5)，
1
，所以(x＋3，y－5)＝3(x0＋3，y0－5)．

1
x＋3＝3x0＋1，

所以
1
5

y－5＝3y0－3，
x0＝3x＋6，
即
y0＝3y－10.
因为点 M(x0，y0)在圆 O 上，
所以 x20＋y20＝4，
即(3x＋6)2＋(3y－10)2＝4，


10
轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出
轨迹方程，再说明轨迹的形状．

2.1.1 曲线与方程~2.1.2 求曲线的方程
核心必知
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．
(1)直线y＝x上任一点M到两坐标轴的距离相等吗？
到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上，对吗？
提示： 相等；不对 ．
(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？
提示： 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝|x| ．
标系，则应首先建立坐标系，建立坐标系的方式
不同，得到的轨迹方程可能也不同．
(3)求动点的轨迹方程时，还要注意题目中的隐含
条件，根据隐含条件，对方程中变量x，y的取值进
行必要的限制．
类题通法
(4)本讲中容易漏掉条件x≠0而导致错误．事实上，
当x＝0时，对应的曲线上的点为(0，2)和(0，－2)
与M或N恰好重合，这时直线PM或PN的斜率不存
∴A、B、C 不共线，∴y≠0，
∴点 C 的轨迹方程为 x2＋y2＝1(y≠0)．
讲一讲
知识点4
代入法（相关点法）求轨迹方程
4．已知圆O：x2＋y2＝4，点A(－3，5)，点M在圆O上
移动，且点P满足 =
1

3
，求点P的轨迹方程．
解：设 P(x，y)，M(x0，y0)．
因为
且
＝(x＋3，y－5)，
两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴
的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都
满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的
点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，
第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是
x＋y＝0.
类题通法
判断“方程是不是指定曲线的方程”，“曲线是
【答案】B
2．下列命题不正确的有________．
①以坐标原点为圆心，半径为 2 的圆的方程是 y＝ 4－x2；
②方程(x＋y－1)· x2＋y2－4＝0 表示的曲线是一个圆或一条
直线；
③点 A(－4，3)，B(－3 2，－4)，C( 5，2 5)都在方程 x2＋
y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
3．若曲线x2－y2＋xy－3x＋a＝0经过点(2，1)，则
实数a的值等于________．
【解析】依题意，点(2，1)的坐标适合曲线的方程，
所以22－12＋2×1－3×2＋a＝0，解得a＝1.
【答案】1
知识点3 直接法求轨迹方程
讲一讲
3．设M，N两点的坐标分别是(0，2)和(0，－2)，若
动点P满足条件：P与M，N两点连线的斜率之积等于
－1，求动点P的轨迹方程．
y－2
解：设 P(x，y)，则直线 PM 的斜率 kPM＝
，
x
y＋2
直线 PN 的斜率 kPN＝
，由已知可得 kPM·kPN＝－1，
x
y－2 y＋2
y2－4
即
·
＝－1，所以 2 ＝－1，整理得 x2＋y2＝4.
x
x
x
y－2y＋2又源自为在 kPM＝以及 kPN＝
中，应有 x≠0，
(2)求曲线的方程的步骤
问题导思
(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的
点都在曲线上”，会出现什么情况？举例说明．
提示：如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标
的点都在曲线上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y
＝ 1 − 2 表示的曲线是半圆，而非整圆
(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在
满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2
＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
把点 B(－3 2，－4)的坐标代入方程 x2＋y2＝25.
∵(－3 2)2＋(－4)2＝34≠25，
∴点 B 不在方程所表示的曲线上．
尽管点 C 的坐标满足方程，但是点 C 的横坐标
5 不满足
x≤0 的条件，故点 C 不在曲线 x2＋y2＝25(x≤0)上．
求动点的轨迹方程．
练一练
5．已知△ABC，A(－2，0)，B(0，－2)，第三个顶
点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨
迹方程．
解：设△ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(x1，
y1)，由重心坐标公式，
练一练

x＝－2＋0＋x1，
x1＝3x＋2，

3
得
故
0－2＋y1
)
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C．f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
【解析】 “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝
0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不
一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确．
合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点
不在曲线上．
(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方
程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
类题通法
(3)求两条曲线的交点的坐标，就是联立两条曲线的
方程构成方程组，求解方程组，方程组的解就是交点
的坐标，方程组的解的个数就是两曲线交点的个数．
练一练