基于中立型随机微分方程的LaSalle定理
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它们 的证 明。
定义 ｌ ：设 Ｄ ｃ口 ，并 且非 空 ，设 ＞０，如 果满 足 具有 很大 的帮助 ，将 中立项 引 入 随机 微 分 方程 得 到
ｌ ｔ ｉ － ｍ ￣ ｏ ｏ ｄ （ （ １ ＋ ｔ ） Ｐ （ 、 ｆ ， Ｘ ｏ ） ， Ｄ ， ） ＝ ０ ， ａ ． ｓ ． （ ３ ）
则（ １ ＋ ｆ ） ｅ ａ ｔ ｘ （ ｔ ， ） 几 乎 必 然 渐 进 于 集Ｄ．
定 义 １也可 以成 为广义 的 Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ定理【 。如果
某随机微分方程能得到 （ ３ ） ，就可得到随机微分方
程 的很 多渐进 性质 ，类似 有 界性 、渐进 稳 定等 。
２ 预备 知识
研究。论文给 出几乎必然渐进和几乎必然多项式稳定的定义，将 中立项引入到随机微 分方程，考虑 中立型
随机微分方程 的解与多项式的乘积 ，得到 中立型 随机微分方程 的解的几乎必然多项式稳定， 并给 出详 细证
明 ，并 建 立 了该 中立型 方程 的随机 Ｌ ａ ｓ ａ ｌ ｌ ｅ 型 定理 。
中国西 部科技
２ ０ １ ５年 ０ ７月第 １ ４卷第 Ｏ ７期总第 ３ １ ２期
９ ７
基 于 中立 型 随机 微 分 方 程 的 Ｌ ａ Ｓ ａ Ｉ ｌ ｅ定 理
李
（ 淮海工学院理 学院，江苏 连云港 ２ ２ ２ ０ ０ ５ ）
要 ：在微分方程理论 中，Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ 定理的应用广泛，前人 已就 Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ 定理在随机微分方程的应 用做 了
学术理论
３ 主要 定理
所 以
方程 ｘ （ ｒ ） 一 “ （ （ ｆ ） ） ］ ＝ ． 厂 （ ¨（ ｆ ） ） ＋ ｇ （ ¨（ ｆ ） ） 国 （ ｆ ）
ｄ ｘ （ ｔ ） ＝ ｆ ｆ ， ｘ （ ｔ ） ） ｄ ｔ ＋ ｇ （ ｔ ， ｘ （ ｔ ） ） ｄ ｃ ｏ （ ｔ ） ，
（ ） ＝ Ｘ ｏ 的 任一 零解， （ ｆ ） 满 足 其中 ｔ ｅ ［ Ｏ ， ］ ， （ ｆ ， （ ｆ ） ） ： ［ ０ ， 】 × 口 口 ，
ｘ （ ｔ ， Ｘ ｏ ） 的性质给出 两个定义
步研究 ， 使其更具有一般性 。 Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ 对研究随机
微 分 方程 的稳定 性 质 、渐 进 性 质 、无 界性等 各 性质 中立 型 随机 微分 方程 。 中立 项 的 出现对 随机微 分 方 程 的研 究 带来 很 大 的麻烦 。本 文在 前人 的基 础 上 ， 给 出了 中立 型随机 微 分方 程 的 Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ定 理满 足 条 件 及 中立 型 随机 微 分方 程 的多 项式 稳 定 ，并给 出了
关键词 ：中立型随机微分方程；Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ 定理；几乎必然多项式稳定
Ｄ ０ｌ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ 。ｉ ｓ ｓ ｒ ｔ ． １ ６ ７ １ － ６ ３ ９ ６ ． ２ ０ １ ４ ． １ １ ． ０ ３ １
１ 引言
自从 Ｉ ｔ ｏ引入 Ｉ ｔ ０公 式之 后 ，很 多学 者 ｌ ４ Ｊ 对 随 机 积 分展 开 了研 究 。研 究 的热 点包括 整 体解 的存 在 性 、各种 全局 稳 定与 局部 稳 定 、Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ定理 等 。毛 学荣【 ３ 】 对 随 机微 分 方程 做 了突破 性 的 工作 ，成 功 的 将 Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ定理 由常微 分方 程 引入 随机 微分 方程 的 理 论 当 中 ， 并 建 立 了 最 基 本 的 随 机 微 分 方 程 的 Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ定理 。 国 内的很 多学者 如 胡适 耕【 ２ 】 、沈 轶等
［ ） 一 （ （ ｆ ） ） ］ ＝ 厂 （ ｆ ， ｘ （ ｔ ） ） ｄ ｔ ＋ ｇ （ ｔ ， （ ｆ ） ） （ ｆ ）
一
ｇ （ ｆ ， （ ｆ ） ） ： ［ ０ ， 】 × 口 － － ＞ Ｄ ｍ ， 并 且厂 （ ｆ ， （ ｆ ） ） 与 ｇ （ ｔ ， ｘ （ ｆ ） ） 是 已 知 的Ｂ ｏ ｒ ｅ １ 可 测 函 数 ， （ ｆ ） 是 随 机
日本 学 者 Ｉ ｔ ｏ在 《 论 随机 微 分方程 》一 书 中， 给 出了随 机微 分方 程 的定 义 ：
定 义２ ： 若 方 程 （ ｆ ） 一 “ （ （ ｆ ） ） ］ ＝ 厂 （ ｆ ， ｘ （ ｔ ） ） ｄ ｔ ＋ ｇ （ ｆ ， （ ｆ ） ） ｄ （ ｆ ）存 在 零 解， 当 ＞ ０ ， ｘ （ ｆ ） 是
干扰项。 （ ｆ ） ＝ （ ｑ， ， …， ） ｒ 是 维标准
Ｂ ｒ ｏ ｗ ｎ运 动 。 在 随机 微 分方 程 的基础 上 引入 中立 项 ，
，
ａ ． ｓ ．
（ ４）
其 中 ０ ＜ ｏ － ＜ １ ， 则 称 零 解 （ ｆ ） 几 乎 必 然 多 项 式
稳 定 。定义对 研 究随 机微 分方程 的稳定 性质 具有 很 大 的帮助 。
在 此基 础 上对 随机 微 分方 程 的 Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ定 理做 了进
一
得到 如 Ｆ 形式 ：
［ （ ｆ ） 一 （ （ ｆ ） ） ］ ＝ 厂 （ ∽（ ｆ ） ） ＋ ｇ （ ｆ ， ｘ （ ｔ ） ） ｄ ｏ ｇ （ ｔ ）
（ ２）
形如 （ ２ ）的随 机微 分方程 称 为中立 型 随机微 分
方 程， 其中 Ｕ （ （ ） ） 为中 立 项。
对方 程（ ２ ） 的 初 始 值Ｘ ｏ ， 假 设厂 （ ｆ ， （ ） ） 与 ｇ （ ｆ ， （ ｆ ） ） 满 足 线 性 增 长 条 件 和Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ 条 件 ， 可 得方程 （ ２ ） 存在唯一的整体 解ｘ （ ｔ ， Ｘ ｏ １ 。 下面就
定义 ｌ ：设 Ｄ ｃ口 ，并 且非 空 ，设 ＞０，如 果满 足 具有 很大 的帮助 ，将 中立项 引 入 随机 微 分 方程 得 到
ｌ ｔ ｉ － ｍ ￣ ｏ ｏ ｄ （ （ １ ＋ ｔ ） Ｐ （ 、 ｆ ， Ｘ ｏ ） ， Ｄ ， ） ＝ ０ ， ａ ． ｓ ． （ ３ ）
则（ １ ＋ ｆ ） ｅ ａ ｔ ｘ （ ｔ ， ） 几 乎 必 然 渐 进 于 集Ｄ．
定 义 １也可 以成 为广义 的 Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ定理【 。如果
某随机微分方程能得到 （ ３ ） ，就可得到随机微分方
程 的很 多渐进 性质 ，类似 有 界性 、渐进 稳 定等 。
２ 预备 知识
研究。论文给 出几乎必然渐进和几乎必然多项式稳定的定义，将 中立项引入到随机微 分方程，考虑 中立型
随机微分方程 的解与多项式的乘积 ，得到 中立型 随机微分方程 的解的几乎必然多项式稳定， 并给 出详 细证
明 ，并 建 立 了该 中立型 方程 的随机 Ｌ ａ ｓ ａ ｌ ｌ ｅ 型 定理 。
中国西 部科技
２ ０ １ ５年 ０ ７月第 １ ４卷第 Ｏ ７期总第 ３ １ ２期
９ ７
基 于 中立 型 随机 微 分 方 程 的 Ｌ ａ Ｓ ａ Ｉ ｌ ｅ定 理
李
（ 淮海工学院理 学院，江苏 连云港 ２ ２ ２ ０ ０ ５ ）
要 ：在微分方程理论 中，Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ 定理的应用广泛，前人 已就 Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ 定理在随机微分方程的应 用做 了
学术理论
３ 主要 定理
所 以
方程 ｘ （ ｒ ） 一 “ （ （ ｆ ） ） ］ ＝ ． 厂 （ ¨（ ｆ ） ） ＋ ｇ （ ¨（ ｆ ） ） 国 （ ｆ ）
ｄ ｘ （ ｔ ） ＝ ｆ ｆ ， ｘ （ ｔ ） ） ｄ ｔ ＋ ｇ （ ｔ ， ｘ （ ｔ ） ） ｄ ｃ ｏ （ ｔ ） ，
（ ） ＝ Ｘ ｏ 的 任一 零解， （ ｆ ） 满 足 其中 ｔ ｅ ［ Ｏ ， ］ ， （ ｆ ， （ ｆ ） ） ： ［ ０ ， 】 × 口 口 ，
ｘ （ ｔ ， Ｘ ｏ ） 的性质给出 两个定义
步研究 ， 使其更具有一般性 。 Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ 对研究随机
微 分 方程 的稳定 性 质 、渐 进 性 质 、无 界性等 各 性质 中立 型 随机 微分 方程 。 中立 项 的 出现对 随机微 分 方 程 的研 究 带来 很 大 的麻烦 。本 文在 前人 的基 础 上 ， 给 出了 中立 型随机 微 分方 程 的 Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ定 理满 足 条 件 及 中立 型 随机 微 分方 程 的多 项式 稳 定 ，并给 出了
关键词 ：中立型随机微分方程；Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ 定理；几乎必然多项式稳定
Ｄ ０ｌ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ 。ｉ ｓ ｓ ｒ ｔ ． １ ６ ７ １ － ６ ３ ９ ６ ． ２ ０ １ ４ ． １ １ ． ０ ３ １
１ 引言
自从 Ｉ ｔ ｏ引入 Ｉ ｔ ０公 式之 后 ，很 多学 者 ｌ ４ Ｊ 对 随 机 积 分展 开 了研 究 。研 究 的热 点包括 整 体解 的存 在 性 、各种 全局 稳 定与 局部 稳 定 、Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ定理 等 。毛 学荣【 ３ 】 对 随 机微 分 方程 做 了突破 性 的 工作 ，成 功 的 将 Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ定理 由常微 分方 程 引入 随机 微分 方程 的 理 论 当 中 ， 并 建 立 了 最 基 本 的 随 机 微 分 方 程 的 Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ定理 。 国 内的很 多学者 如 胡适 耕【 ２ 】 、沈 轶等
［ ） 一 （ （ ｆ ） ） ］ ＝ 厂 （ ｆ ， ｘ （ ｔ ） ） ｄ ｔ ＋ ｇ （ ｔ ， （ ｆ ） ） （ ｆ ）
一
ｇ （ ｆ ， （ ｆ ） ） ： ［ ０ ， 】 × 口 － － ＞ Ｄ ｍ ， 并 且厂 （ ｆ ， （ ｆ ） ） 与 ｇ （ ｔ ， ｘ （ ｆ ） ） 是 已 知 的Ｂ ｏ ｒ ｅ １ 可 测 函 数 ， （ ｆ ） 是 随 机
日本 学 者 Ｉ ｔ ｏ在 《 论 随机 微 分方程 》一 书 中， 给 出了随 机微 分方 程 的定 义 ：
定 义２ ： 若 方 程 （ ｆ ） 一 “ （ （ ｆ ） ） ］ ＝ 厂 （ ｆ ， ｘ （ ｔ ） ） ｄ ｔ ＋ ｇ （ ｆ ， （ ｆ ） ） ｄ （ ｆ ）存 在 零 解， 当 ＞ ０ ， ｘ （ ｆ ） 是
干扰项。 （ ｆ ） ＝ （ ｑ， ， …， ） ｒ 是 维标准
Ｂ ｒ ｏ ｗ ｎ运 动 。 在 随机 微 分方 程 的基础 上 引入 中立 项 ，
，
ａ ． ｓ ．
（ ４）
其 中 ０ ＜ ｏ － ＜ １ ， 则 称 零 解 （ ｆ ） 几 乎 必 然 多 项 式
稳 定 。定义对 研 究随 机微 分方程 的稳定 性质 具有 很 大 的帮助 。
在 此基 础 上对 随机 微 分方 程 的 Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ定 理做 了进
一
得到 如 Ｆ 形式 ：
［ （ ｆ ） 一 （ （ ｆ ） ） ］ ＝ 厂 （ ∽（ ｆ ） ） ＋ ｇ （ ｆ ， ｘ （ ｔ ） ） ｄ ｏ ｇ （ ｔ ）
（ ２）
形如 （ ２ ）的随 机微 分方程 称 为中立 型 随机微 分
方 程， 其中 Ｕ （ （ ） ） 为中 立 项。
对方 程（ ２ ） 的 初 始 值Ｘ ｏ ， 假 设厂 （ ｆ ， （ ） ） 与 ｇ （ ｆ ， （ ｆ ） ） 满 足 线 性 增 长 条 件 和Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ 条 件 ， 可 得方程 （ ２ ） 存在唯一的整体 解ｘ （ ｔ ， Ｘ ｏ １ 。 下面就