2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练27 平面向量的基本定理及坐标表示 含解析 精品

课时分层训练(二十七) 平面向量的基本
定理及坐标表示
(对应学生用书第251页)
A 组 基础达标
一、选择题
1．下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)
B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)
C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)
D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，－34
B [两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.]
2．(2018·贵州适应性考试)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，c ＝(2,3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( ) A.2
5 B ．－25 C.35
D ．－35
B [由已知得a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，因为向量a ＋λb 与c 共线，设a ＋λb ＝m c ，所以⎩⎨
⎧
2－λ＝2m ，
4＋λ＝3m ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－25，m ＝6
5，
故选B.]
3．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )
【导学号：79140153】
A ．－12a ＋3
2b B ．12a －32b C ．－32a －12b
D ．－32a ＋12b
B [设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，
∴⎩⎨
⎧
－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝12，μ＝－3
2，
∴c ＝12a －3
2b .]
4．已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →
＝3a ，则点B 的坐标为( )
A ．(7,4)
B ．(7,14)
C ．(5,4)
D ．(5,14)
D [设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →
＝(x ＋1，y －5)． 由AB →
＝3a ，得⎩⎨⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧
x ＝5，y ＝14.
故点B 的坐标为(5,14)．]
5．(2017·江西南昌十校二模)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x,3y －5)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则xy 的最大值是( ) A ．2 6 B ．2512 C ．25
24
D ．256
C [∵a ∥b ，∴(3y －5)×1＋2x ＝0，即2x ＋3y ＝5. ∵x ＞0，y ＞0，
∴5＝2x ＋3y ≥26xy ，∴xy ≤25
24，当且仅当3y ＝2x 时取等号．] 二、填空题
6．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为________．
(－3,4) [由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b ＝1
2(－6,8)＝(－3,4)．]
7．已知向量a ＝(3cos α，2)与向量b ＝(3,4sin α)平行，则锐角α等于________.
【导学号：79140154】
π
4 [因为a ＝(3cos α，2)，b ＝(3,4sin α)，且a ∥b ，所以3cos α·4sin α－2×3
＝0，解得sin 2α＝1.
因为α∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，
所以2α＝π2，即α＝π
4.]
8．如图4-2-3，已知▱ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别是M ，N ，且AM →＝e 1，AN →
＝e 2，若BC →
＝x e 2＋y e 1(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.
图4-2-3
23
[设AD →＝a ，AB →＝b ，则BC →＝a ，CD →
＝－b . 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
e 1＝b ＋a
2，
e 2＝a ＋b
2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝43e 2－23e 1，
b ＝43e 1－2
3e 2.
∴BC →＝4
3e 2－23e 1. 故x ＝43，y ＝－23， ∴x ＋y ＝2
3.] 三、解答题
9．如图4-2-4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝1
3BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA →＝a ，BC →＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF →，DF →，CD →
.
图4-2-4
[解] EF →＝EA →＋AB →＋BF →
＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ， DF →＝DE →＋EF →＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝1
6b －a ， CD →＝CF →＋FD →＝－12b －⎝ ⎛⎭
⎪⎫
16b －a ＝a －23b .
10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．
(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .
[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)， 所以⎩⎨
⎧
－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝59，n ＝8
9.
(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－16
13.
B 组 能力提升
11．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP →＝AB →＋λAC →
(λ∈R )，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为( ) A.23 B ．－23 C.32
D ．－32
B [设P (x ，y )，则由AP →＝AB →＋λA
C →
，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.
又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－2
3.故选B.] 12．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →
，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →
，则x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12 B ．⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，13
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，0 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，0
D [法一：依题意，设BO →＝λBC →，其中1＜λ＜43，则有AO →＝AB →＋BO →＝AB →
＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )·AC →，且AB →、AC →不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－13，0，选D.
法二：∵AO →＝xAB →＋AC →－xAC →，∴AO →－AC →＝x (AB →－AC →)，即CO →＝xCB →
＝－3xCD →
，∵O 在线段CD (不含C 、D 两点)上，∴0＜－3x ＜1，∴－13＜x ＜0.] 13．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →
＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________． k ≠1 [若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →
不共线． ∵AB →＝OB →－OA →
＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →
＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.]
14．已知三点A (a,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a ＞0，b ＞0.
(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值.
【导学号：79140155】
[解] (1)因为四边形OACB 是平行四边形， 所以OA →＝BC →
，即(a,0)＝(2,2－b )， ⎩⎨⎧ a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎨⎧
a ＝2，
b ＝2. 故a ＝2，b ＝2.
(2)因为AB →＝(－a ，b )，BC →
＝(2,2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →
， 所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ， 因为a ＞0，b ＞0，
所以2(a ＋b )＝ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
， 即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0， 解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0. 因为a ＞0，b ＞0，
所以a ＋b ≥8，即a ＋b 的最小值是8.
当且仅当a＝b＝4时，“＝”成立．。