湖南省衡阳市衡阳县第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含解析)

衡阳县第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学
第Ⅰ卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合A ={−1,a,a +2},B ={y|y =x 2−2x,x ∈A }，若A ∪B =A ，则a =（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．1或32．“0<x <1”是“|x(x−1)|=x(1−x)”的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3
．已知向量＝(1，2)，＝(x ，－2)，且⊥，则实数x 等于( )A.－7
B.9
C.4
D.－4
4．已知复数z ＝a －b i （a ，b ∈R ，b ＜0），满足｜z ｜＝1，复数z 的实部为22
，则复数z
的虚部为（ ）A.2
2
B.－2
2
C.1
2
D.－1
2
5．已知a =−log 51
3,b =50.3,c =log 62，则（ ）
A ．c <a <b
B ．a <c <b
C ．c <b <a
D ．a <b <c
6．已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（ ）A ．4π
5
B ．5π
4
C ．π
5
D ．5π
7．已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)（A >0，ω>0，|φ|<π
2）的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为（ ）
A ．f(x)=cos (2x +
π
3
)
B ．f(x)=2cos (2x +π6
)
C ．f(x)=2cos (4x−
π
3
) D ．f(x)=2cos (4x−
π6
)
a b a b
=0，则△ABC的形状是（）
8．在△ABC中，若cosA−cosB+a−b
c
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若(a2−b2+c2)tanB=ac，则角B的值为（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
10．下列说法正确的有（）
A．若a与b是单位向量，则a⋅b=1
B．若非零向量a与b是相反向量，则|a|=|b|
C．|a⋅b|≤|a||b|
D．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
11．在复平面内，复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜OZ1｜＝2.点Z与Z1关于x
轴对称.则点Z对应的复数z＝（ ）
A.1－2i
B.1＋2i
C.1－i
D.1＋i
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知sinx−2cosx=5sin(x+φ)，则sinφ−2cosφ=_______________.
13．已知向量a,b满足|a|=2,b=(2,−1),|a+b|=1，则a在b上的投影向量的坐标为_____．
14．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知a=2,2sinB+2sinC=3sinA．则sinA的最大值为_________
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=2,c=2,cosC=−3
．
3
(1)求sinB和a的值；
(2)求△ABC的面积．
16．（15分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，F是CD上靠近点C的三等分点.
(1)设AF=λAB+μAD，求λ+μ的值；
(2)若AB=3，BC=2，求AF⋅EF的值.
17．（15分）已知|a|=2,|b|=4，且|a+b|=23．
(1)求a与b的夹角；
(2)求|a−2b|的值；
(3)若(2a−b)⊥(a+kb)，求实数k的值．
18．（17分）已知x为实数，复数z＝x－2＋（x＋2）i.
（1）当x为何值时，复数z的模最小？
（2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象
上，其中mn＞0，求1
m ＋1
n
的最小值及取得最小值时m，n的值.
19．（17分）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东45°方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东15°方向.
(1)求点D到塔底B的距离BD；
(2)若在点C测得塔顶A的仰角为30°，求铁塔高AB.
衡阳县第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学
答案
1．【答案】C
【解析】由题意知：对于集合B，当x=−1时，y=x2−2x=3；当x=a时，y=a2−2a；当x=a+2时，y=(a+2)2−2(a+2)=a2+2a；
又A∪B=A，故A∪B=A，则B⊆A，
若a=3，则a2−2a=3,a2+2a=15,a+2=5，此时A={−1,3,5},B={3,15}，
不满足B⊆A；
若a+2=3,∴a=1，此时A={−1,1,3},B={3,−1}，满足B⊆A，
故a=1，
故选：C
2．【答案】A
【解析】由|x(x−1)|=x(1−x)可得：x(x−1)≤0，
解得：0≤x≤1，
所以“0<x<1”能推出“|x(x−1)|=x(1−x)”，
但“|x(x−1)|=x(1−x)”推不出“0<x<1”，
所以“0<x <1”是“|x(x−1)|=x(1−x)”的充分不必要条件.故选：A.3．【答案】C 【解析】∵＝(1，2)，＝(x ，－2)，且⊥，∴·＝1·x ＋2×(－2)＝0，即x －4＝0，∴x ＝4.4．【答案】A
【解析】　因为复数z 的实部为22
，所以a ＝22
.因为｜z ｜＝1，所以｜z ｜＝
（
22
）2＋(−b ）2＝1，解得b ＝－2
2或b ＝2
2（舍去）
，所以复数z 的虚部为2
2.故选A.5．【答案】A
【解析】因为a =−log 51
3=log 53，且log 55<log 53<log 55，即1
2<a <1；b =50.3>1；c =log 62<log 66=1
2；所以c <a <b .故选：A.6．【答案】A
【解析】小齿轮转动一周时，大齿轮转动20
50=2
5周，故其转动的弧度数是2
5×2π=
4π5
.
故选：A.7．【答案】C
【解析】依题意，由图象中最值可知A =2，周期满足1
2T =π
3−π
12=π
4，又ω>0，则T =π
2=2πω
，故ω=4，
所以f(x)=2cos(4x +φ)，又点(π12
,2)在f(x)的图象上，
所以2cos (4×
π12
+φ)=2，即cos (π3+φ)=1，
所以π
3+φ=2kπ,k ∈Z ，即φ=−π
3+2kπ,k ∈Z ，而|φ|<π
2，所以φ=−π
3，所以f(x)=2cos (4x−π3
).
故选：C.8．【答案】D
【解析】由cosA−cosB +a−b c
=0，得a−ccosB =b−ccosA ，由余弦定理得a−c ×
a 2+c 2−
b 2
2ac
=b−c ×
b 2+
c 2−a 22bc ，化简得a 2+b 2−c 2
a
=
a 2+
b 2−
c 2
b
，a b a b a b
当a 2+b 2−c 2=0时，即a 2+b 2=c 2，则△ABC 为直角三角形；当a 2+b 2−c 2≠0时，得a =b ，则△ABC 为等腰三角形；综上：△ABC 为等腰或直角三角形，故D 正确.故选：D.9．【答案】AD
【解析】在△ABC 中，由余弦定理得a 2+c 2−b 2=2accosB ，又(a 2−b 2+c 2)tanB =ac ，因此2accosB ⋅sinB
cosB =ac ，解得sinB =1
2，而0∘<B <180∘，
所以B =30∘或B =150∘.故选：AD 10．【答案】BC
【解析】a 与b 是单位向量且方向不同时，a ⋅b ≠1，A 错误；
根据相反向量的定义可知，a 与b 方向相反且两个向量模相等，即|a |=|b |，B 正确；|a ⋅b |=|a ||b ||cos ⟨a,b ⟩|≤|a ||b |，C 正确；
若b 为零向量，a 、c 为非零向量，则a 与c 不一定共线，D 错误．故选：BC.11．【答案】CD
由于复数z 1＝1－ai （a ∈R ）对应的点Z 1满足｜OZ 1｜＝2，所以｜OZ 1｜＝12＋(−a ）2＝2，所以a ＝±1，Z 1（1，1）或Z 1（1，－1），又点Z 与Z 1关于x 轴对称，所以点Z （1，－1）或Z （1，1），所以复数z 为1－i 或1＋i.故选C 、D.12．【答案】−
45
5【解析】由sinx−2cosx =5×(55sinx−25
5cosx)=5sin(x +φ)，
可得cosφ=
55,sinφ=−255，所以sinφ−2cosφ=−255
−2×55=−45
5
.
故答案为：−
45
5
.13．【答案】(−2,1)
【解析】因为|a |=2,b =(2,−1)，可得|b |=3，
又因为|a +b |=1，可得|a +b |2
=a 2+2a ⋅b +b 2
=4+2a ⋅b +3=1，解得a ⋅b =−3，所以a 在b 上的投影向量为|a |cosθb
|b |=a b
|b |b
|b |(−2,1)．故答案为：(−2,1).14．【答案】
459/4
9
5
【解析】因为a =2,2sinB +2sinC =3sinA ，所以由正弦定理可得b +c =3.
由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得22=(b +c)2−2bc−2bccosA ，整理得cosA =5
2bc −1.因为bc ≤(
b +
c 2
)
2=94，当且仅当b =c =3
2时，等号成立，
所以cosA ≥19，又sin 2A =1−cos 2A ，所以sin 2A ≤80
81，即sinA ≤45
9
.故答案为：45
9
.15．
【解析】（1）在△ABC 中，由cosC =−3
3，可得sinC =1−cos 2C =63
．
又由c
sinC =b
sinB 及b =2,c =2，可得sinB =
33
．
由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC ，得3a 2+26a−6=0，由a >0，解得a =63．
所以sinB =
33
,a =63
．
（2）由（1）知，a =63
,sinC =
63
，
所以△ABC 的面积S △ABC =1
2absinC =1
2×63
×2×
63
=
23
．
16．
【解析】（1）∵AF =AD +DF =AD +23DC =AD +23AB ，∴λ=2
3，μ=1，∴λ+μ=2
3+1=5
3.
（2）由（1）知：AF =AD +2
3AB ，∵EF =CF −CE =1
3CD −1
2CB =−1
3AB +1
2AD ，
∴AF ⋅EF =(AD +23
AB )⋅(−13
AB +12
AD )=−1
3AB ⋅AD +1
2AD 2
−2
9AB 2
+1
3AB ⋅AD =1
2BC 2
−2
9
AB 2
=2−2=0.
17．【答案】(1)2π
3；(2)221；(3)1
2
【解析】（1）由题意知，|a +b |2
=a 2+2a ⋅b +b 2
=12，又|a |=2,|b |=4，所以a ⋅b =−4，
所以cos ⟨a,b ⟩=a b
=−4
2×4=−12，又⟨a,b ⟩∈[0,π]，所以⟨a,b ⟩=
2π
3
，即a 与b 的夹角为2π
3；（2）由（1）知a ⋅b =−4，
所以|a −2b |2
=a 2−4a ⋅b +4b 2
=84，故|a −2b |=221；
（3）由(2a−b)⊥(a+kb)，得(2a−b)⋅(a+kb)=0，
即2a2+2ka⋅b−a⋅b−k b 2
=0，又|a|=2,|b|=4，a⋅b=−4，
所以8−8k+4−16k=0，解得k=1
2
.
18．18.解：（1）由题意得｜z｜＝（x－2）2＋（x+2）2＝2x2+8≥22，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为22.
（2）由（1）知当x＝0时，复数z的模最小，则Z（－2，2）.
因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.
又mn＞0，所以m＞0，n＞0.
所以1
m ＋1
n
＝(1m＋1n)(m＋n2)＝32＋m n＋n2m≥32＋2.当且仅当m n＝n2m，即n2＝2m2时等号成立.
又2m＋n＝2且mn＞0，所以取等号时m＝2－2，n＝22－2.
19．【解析】（1）由题意可知，∠BCD=45°,∠BDC=105°，故∠CBD=30°，
在△BCD中，由正弦定理，得BD
sin∠BCD =CD
sin∠CBD
，即BD
sin45°
=20
sin30°
，
所以BD=20sin45°
sin30°=20×
2
2
1
2
=202（米）.
因此点D到塔底B的距离BD为202米；
（2）在△BCD中，由正弦定理，得BC
sin∠BDC =BD
sin∠BCD
，
得BC=202
sin45°
⋅sin105°=40⋅sin(60°+45°)=40⋅(sin60°cos45°+cos60°sin45°)
=40×6+2
4
=10(6+2)，
在Rt△ABC中，AB=BC×tan∠ACB=10(6+2)×3
3=102+106
3
，
所以铁塔高AB为(102+1063)米.。