江西省南昌市第十中学2019届高三数学上学期第二次月考试题理(含解析)

【详解】因为 a Î ç ç
æ p 5p ö ，所以 p æ p ö， , ÷ a- Î ç ÷ ç , π÷ ÷ 4 è4 ø è2 4 ø
因为 sin ç ça -
æ è
pö 3
æ pö æ pö 2 2 ÷ ÷ = ，sin ç ça - ÷ ÷+ cos ç ça - ÷ ÷ = 1， 4ø 5 4ø 4ø è è
单调区间，当 a £ 3 时，求得单调区间，即可得到答案。
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【详解】因为对于 " x1、x2 Î 所以 f x ＝x x－a 在 3， +¥
+¥ ) ，x ¹ [ 3，
1
x2 ，则不等式
f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2
> 0 恒成立，
()
[
) 上是增函数，
()
2 ì ï x - ax，x ³ a ， 2 ï î ax - x ，x < a
4
0.5 æ 3ö è4 ø
0.4 æ 4ö è3 ø
(
)
的单调性，我们可以判断出 a、b、c 与 0、 1 的大小关系，进而得到答案。 【详解】因为 a = ç ç ÷ ÷ 、b = ç ç ÷ ÷ 、c = log 3 log 3 4 ，
4 0.5 æ 3ö è4 ø 0.4 æ 4ö è3 ø
( ) ( ) (
)

( - 5) +( - 12)
2
2
= 13，
【点睛】本题主要考查向量坐标表示及平面向量数量积公式、平面向量的投影，考查计算能 力，属于中档题。平面向量数量积公式有两种形式，一种是 a b = a b cos q ，另一种是


a b = x1 x2 + y1 y2 。
M = { x | x2 = x} = { 0,1} , N = {x | lg x £ 0} = { x | 0 < x £ 1} ,所
，故选 A.
以
考点：集合的运算.
2.已知命题 p ：复数 z =
1 + i 在复平面内所对应的点位于第四象限；命题 ： q $x >0 ， i
x = cos x ，则下列命题中为真命题的是( )
2 C. 命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R， x0 ³ 0”
D. l 是一条直线，α，β 是两个不同的平面，若 l⊥α，l⊥β，则 α∥β 【答案】D 【解析】 【分析】 根据充分必要条件及命题的否定，面面平行的判定逐一验证即可.
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【详解】对于选项 A，当 a = 0 时不成立，对于选项 B，当 b = 0 时不正确，对于选项 C，命题 的否定需要否定结论并改变量词，故错误，对于选项 D，根据两平面的判定定理知正确，故选 D. 【点睛】本题主要考查了充分必要条件，命题的否定，立体几何中两平面平行的判定，属于 中档题. 5.设 a = ç ç ÷ ÷ ,b = ç ç ÷ ÷ , c = log 3 log 3 4 , 则（
8.已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）
A. 9 3 【答案】D 【解析】 【分析】
B. 9 2 +
9 3 4
C. 12 2
D. 12 3
本题可以对三视图进行观察，先通过三棱锥的底面正三角形的高为 3 求出底面三角形面积，再 通过三棱锥的高为 2 2 计算出侧面的高以及三个侧面三角形的面积，最后计算出三棱锥的表 面积。 【详解】由三视图可知，三棱锥的底面正三角形的高为 3 ， 所以底面三角形面积为 3´ 2 3 ´
所以 cos ç ça -
æ è
pö
4 ÷= - ， ÷ 4ø 5
æ p pö æ pö p æ pö p sina = sin ç ça - + ÷ ÷ = sin ç ça - ÷ ÷cos + cos ç ça - ÷ ÷sin 4 4ø 4ø 4 4ø 4 è è è
3 2 = ´ 5 2
æ 4ö 2 2 故选 D。 +ç =， ç- ÷ ÷´ 10 è 5ø 2
A、B、C 的取值范围，最终得出结果。
【详解】因为 tanA 是以 - 4 为第三项、 - 1 为第七项的等差数列的公差，
- 1+4 3 = ， 4 4 1 因为 tanB 是以 为第三项、 4 为第六项的等比数列的公比， 2
所以 tanA = 所以 tanB = 3 4 ¸
1 = 2， 2
因为 A、B、C 是 ABC 的内角， 所以 tanC = tan 180° - A - B = - tan A + B = -
4 4 4
(
)
(
)
所以 c < a < b ，故选 C。 【点睛】本题考查的是指数以及对数的相关性质，考查计算能力，当我们在判断对数或者指 数的大小的时候，可以借助对数函数以及指数函数的相关性质，也可以通过判断数值与某一 些特殊值的大小关系来间接比较大小。 6. ABC 中， tanA 是以－4 为第三项，－ 1 为第七项的等差数列的公差， tanB 是以 三项， 4 为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( ) A. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 B. 锐角三角形 D. 以上均错
试 题 分 析 ： 设 此 圆 的 圆 心 坐 标 为
， 则 圆 的 半 径
，当且仅当 面积最小，此时圆心坐标为 考点：圆的方程、基本不等式. 10.函数 f x ＝x x－a ，若 " x1、x2 Î 恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A. C. ，半径为
时，等号成立，圆的
，所以圆的方程为 ( x - 1) 2 + ( y - 2) 2 = 5 ，选 A.
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1 为第 2
【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先可以根据“ tanA 是以 - 4 为第三项， - 1 为第七项的等差数列的公差”计算出 tanA 的值，然后可以根据“ tanB 是以
1 为第三项， 为第六项的等比数列的公比”计算出 tanB 4 2
的值， 然后根据 tanA、tanB 的值计算出 tanC 的值， 最后根据 tanA、tanB、tanC 的值得出
【点睛】本题考查三角函数的相关性质，考查同角三角函数基本关系式以及两角和的正弦公 式的掌握和使用，考查计算能力，在解题过程中，不仅需要能够对公式进行正确使用，还需 要能够通过角的取值范围来确定 cos ç ça -
æ è
p ö 的值的大小。
÷ ÷ 4ø
4.下列叙述中正确的是( ) A. 若 a，b，c∈R，则“∀x∈R，ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0” B. 若 a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
(
)
æ ö0.5 æ ö0 3 3 所以 0 < ç 即 0 < a <1 ， ç ÷ ÷ <ç ç ÷ ÷ = 1， è4 ø è4 ø
因为 ç ç ÷ ÷
0.4 0 æ æ 4ö 4ö 所以 b >1， >ç ç ÷ ÷ = 1， è3 ø è3 ø
因为 log 3 log 3 4 < log 3 log 3 3 = log 3 1 = 0， 即 c < 0，
2 10
【答案】D
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【解析】 【分析】 本题可以先通过 a Î ç ç ， ÷ ÷计 算 出 a -
æ p 5p ö è2 4 ø
p 的取值范围，再通过 æ p ö 3 计算出 sin ç ça - ÷ ÷=
4
è
4ø 5
æ pö p p cos ç ça - ÷ ÷的值，最后可以将 a 转化为 a - + 并使用两角和的正弦公式得出结果。 4 4 4ø è
()
+¥ ) ，x ¹ [ 3，
1
x2 ，则不等式
f ( x1 ) - f ( x2 ) x1 - x2
>0
(-¥
， - 3]
B. D.
0) [ - 3，
3] (-¥ ，
3] ( 0，
【答案】C 【解析】 【分析】 本题由条件可知，函数 f x ＝x x－a 在 3， +¥
()
[
) 上是增函数，对 a 讨论，当 a > 3 时，求得
4 0.5 æ 3ö è4 ø 0.4 æ 4ö è3 ø
(
)
） D. c < b < a
A. a < b < c 【答案】C 【解析】 【分析】
B. a < c < b
C. c < a < b
本题由已知中 a = ç ç ÷ ÷ 、b = ç ç ÷ ÷ 、c = log 3 log 3 4 ，由指数函数的单调性和对数函数
A. (Øp ) Ù (Øq ) 【答案】D 【解析】 试题分析：因为 z = 题 p 为真命题， 因为 y = x 与 y = cos x 在 (0, 为真命题. 考点：复合命题真假 3.已知 sin ç ça B. (Øp ) Ù q C. p Ù (Øq ) D. p Ù q
1 +i 1 + i 在复平面内所对应的点位于第四象限，命 = 1 - i ，所以复数 z = i i
(
)

(
)

(
)


- 15) ( - 1，
B.
36) ( - 20，
C.
16 13
D.
16 5
【答案】C 【解析】 【分析】 本题可以先根据向量 AB CD 的值以及 CD 的值，再通 ＝ 4， -3 、 CD ＝ - 5， - 12 计算出 AB

(
)

p 上有交点， 所以 $ x > 0 ， x = cos x ， 命题 q 为真命题， p Ù q )
2
æ è
æ p ö 3， p 5p ö ，则 ÷ sin a = （ aÎ ç ÷= ç , ÷ ÷ 4ø 5 è2 4 ø 2 或7 2 10 10 2 10
）
A.
7 2 10
B. -
C. ±
D. -
对函数 f x ＝x x－a 进行化简可得 f x ＝í
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
()
当 a £ 3 时， f x ＝x 2 - ax x ³ 3 在 ç +¥ +¥ ÷ ç ， ÷上递增，则在 3，
2 ( x > 0) 上，且与直线 2 x + y +1 = 0 相切的面积最小的圆的方程为（ ） x
B. ( x - 2) 2 + ( y - 1) 2 = 5 D. ( x - 2) 2 + ( y - 1) 2 = 25
A. ( x - 1) 2 + ( y - 2) 2 = 5 C. ( x - 1) 2 + ( y - 2) 2 = 25 【答案】A 【解析】
江西省南昌市第十中学 2019 届高三数学上学期第二次月考试题 理 （含 解析）
1.设集合 M = {x | x 2 = x} ， N = {x | lg x £ 0} ，则 M È N = （ ） A. [0,1] 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： B. (0,1] C. [0,1) D. ( - ¥ ,1]
1 = 3 3， 2
因为由图可知三棱锥的高为 2 2 、且正三棱锥三个侧面面积相等， 所以侧面的高为
( 2 2)
2
三个侧面三角形的面积为 3´ 2 3 ´ +1 = 3，
1 ´ 3 = 9 3， 2
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所以三棱锥的表面积为 3 3 + 9 3 = 12 3. 故选 D. 【点睛】通过三视图还原空间几何体，首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正， 高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视 图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽。 9.圆心在曲线 y =
(
)
(
)
3 +2 11 4 == ， 3 2 1 - 2 4
tanA + tanB 1 - tanA tanB
因为 tanA、tanB、tanC 都大于 0，所以 A、B、C 都属于 0、 90° ， 所以 ABC 是锐角三角形。故选 B。 【点睛】本题主要考查三角函数，考查正切函数的相关性质以及三角恒等变换公式的运用， 考查推理能力。如果三个角 A、B、C 在三角形内，则有 A + B + C = 180° 。 7.已知两向量 AB ＝ 4， - 3 ， CD ＝ - 5， - 12 ，则 AB 在 CD 方向上的投影为( ) A.
(
)


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过向量的投影定义即可得出结果。 【详解】因为向量 AB ＝ 4， -3 、 CD ＝ - 5， - 12 ， 所以 AB CD = 4 ´ - 5 + - 3 ´ - 12 = 16， CD =

(
)

(
)

AB CD 16 故选 C。 所以 AB 在 CD 方向上的投影为 = ， 13 CD