【人教版】2020学年高二数学下学期3月月考试题 理(新版)新人教版

2020学年高二数学下学期3月月考试题 理
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．若曲线ln y kx x =+在点1（，k ）
处的切线平行于x 轴，则k= ( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2
2．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，其导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，
b )内的极值点有(
)
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．若()f x 在R 上可导,,则2
()2'(2)3f x x f x =++，则3
()f x dx =⎰
（ ）
4．A. 16 B. -18 C. -24 D. 54
4．若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ） A. (],2-∞- B. (],1-∞- C. [)2,+∞ D. [)1,+∞
5．若方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．[0,2] C ．[2,0]- D ．(,2)-∞-∪(2,)+∞ 6．函数)(x f y =的图象如下图所示，则导函数)('x f y =的图象的大致形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 7．
()f x 是定义在非零实数集上的函数，'()f x 为其导函数，且
0.2220.22
2(2)(0.2)(log 5)
0'()()0,,,20.2log 5
f f f x xf x f x b c >-<==时，记a=则 （ ） A.a<b<c B.b<a<c C. c<a<b D.c<b<a
8.过点（1,-1）且与曲线3
2y x x =-相切的直线方程为（ ）
A. 或
B.20x y --=
C. 或4510x y ++=
D. +20x y -=
9．已知函数32()f x x bx cx =++的图象如图所示，则
2
12-x （x ）等于（ ）
A ．
32 B ．34 C ．38 D ．3
16
10．已知f(x)＝2x 3
－6x 2
＋m(m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( ) A.－37 B.－29 C.－5 D.以上都不对
11．函数(
)2, 0,
2,
x x f x x -≤⎧=<≤，则()22f x dx -⎰的值为 （ ） A. 6π+ B.2π- C.2π D. 8 12．已知函数()()32,5a f
x g x x x x =
=--,若对任意的121,,22x x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,都有()()122f x g x -≥成立,则实数a 的取值范围是
A. [)2,∞+
B. ()2,∞+
C. (),0∞-
D. (],1∞-- 二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知函数11
()(,)212
ax f x x +=
-∞-+在内单调递增，则实数a 的取值范围是 __ ． 14．函数()y f x =的图象在点()()
2,2M f 处的切线方程是28y x =-，则()()
'22f f =__________．
15．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．
16．如图是函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象，给出下列命题：
①()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；
②2-是函数()y f x =的极值点；
③()y f x =在区间()2,2-上单调递减. ； ④1不是函数()y f x =的极值点．
则正确命题的序号是____．（写出所有正确命题的序号） 三、解答题（共70分）
17.（本小题10分）若函数f(x)= x
e x
在x=c 处的导数值与函数值互为相反数,求c 的值.
18．（本小题12分）求曲线y ＝x 2
和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t ，t ∈(0,1)所围成的图形的面积的最小值．
19．（本小题12分）某超市销售某种小商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：件）与销售价格（单位：
元/件）满足关系式，其中，a 为常数，已知销售价格为元/件时，每日可售
出该商品件．若该商品的进价为元/件，当销售价格为何值时，超市每日销售该商品所获得的利润最大．
20.（本小题12分）设函数f (x )＝2x 3
＋3ax 2
＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值．
(1)求a ，b 的值；
(2)若存在0x ∈[0,3]，有f (0x )<c 2成立，求c 的取值范围．
21．（本小题12分）已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈． （1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数()f x =0在区间1e ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
，e 上有两个解，求a 的取值范围。

22．（本小题12分） 已知函数2
(),()2ln (x f x g x a x e e
==为自然对数的底数） （1）当a =1时，求()()()F x f x g x =-的单调区间，并求出最值；
（2）是否存在正常数a ，使()()f x g x 与
的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。

参考答案
1．A 【解析】求导得，依题意
，∵ 曲线
在点
处的切线平行于x 轴，
∴k+1=0，即k=－1． 2．C
3．B 【解析】试题分析：欲求积分，则必须求出被积函数.由已知可知函数的解析式并不明确（
未知，
但为常数）.所以对原函数求导，可得
,令
,
,所以
,则.
4．D 【解析】试题分析：
，∵函数()ln f x kx x ==-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()
1,+∞上恒成立．∴，而
在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选：D ．
5．A 【解析】试题分析：方程330x x m -+=在[0,2]上有解，等价于33m x x =-在[0,2]上有解，故m 的取值范围即为函数3()3f x x x =-在[0,2]上的值域，求导可得22'()333(1)f x x x =-=-，令'()0f x >可知()f x 在(1,1)-上单调递增，在(,1)
(1,)-∞-+∞上单调递减，故当[0,2]x ∈时max ()(1)2f x f ==，{}min ()min (0),(2)2f x f f ==-，故
m 的取值范围[2,2]-.
6．D ．【解析】试题分析：根据图象可知，函数()f x 先单调递减，后单调递增，后为常数，因此'()f x 对应的变化规律为先负，后正，后为零，故选D ．
7．C 【解析】试题分析：构造函数g （x ）＝（x ＞0），则g'（x ）＝由已知，x ＞0时g'（x ）＜0，即g
（x ）在（0，＋∞）上为减函数，
8.A 【解析】试题分析：若直线与曲线切于点，则．∵
，∴，∴
，∴，∴，，∴过点
与曲线
相切的直线方程为
或
．故选：A.
9．B 【解析】试题分析：由图象可知f （x ）的图象过点（1，0）与（2，0），21,x x 是函数f （x ）的极值点，因此01=++c b ，
0248=++c b ，解得3-=b ，2=c ，所以x x x x f 23)(23+-=，所以263)(2+-='x x x f ，21,x x 是方程
0263)(2=+-='x x x f 的两根，因此221=+x x ，3
221=
⋅x x ，所以2
212121284()4433x x x x =+-⋅=-=（x -x ），
10．A 【解析】f ′(x)＝6x 2
－12x ＝6x(x －2)．当－2<x<0时，f ′(x)>0，∴f(x)在(－2,0)上为增函数；
当0<x<2时，f ′(x)<0，∴f(x)在(0,2)上为减函数，f(0)为极大值且f(0)＝m ，
∴f(x)max ＝m ＝3，此时f(2)＝－5，f(－2)＝－37.∴f(x)在[－2,2]上的最小值为－37. 11．A 【解析】试题分析：
()22
f x dx -⎰
dx x dx x ⎰⎰
--+-=02
2
24)2(
ππ+=⨯⨯+-
=-624
1
)212(2022x x ,故选A ． 12．A 【解析】由题意， 2
'3232g x x x x x =-=-（）（）， ∴函数g x （）
在1223⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 上递减，在223⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
， 上递增， 111415284512848g g =---=--=-（）＝，（），
若对任意的121,,22x x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，都有122f x g x -≥（）（） 成立，即当122x ≤≤ 时， 1f x ≥（
） 恒成立，即1a
x ≥ 恒成立，即a x ≥ x 在122
x ≤≤上恒成立，2a ∴≥． 故选A ． 13．2a >
14．12-
【解析】 由导数的几何意义可知()22f '=，又()22284f =⨯-=-，所以()()1
2
f x f x =-'. 15．
212log e 【解析】∵y=log 2x ，∴y ′=
1ln2x ，∴x=1时，y′=1
ln2
，y=0， ∴曲线y=log 2x 在点x=1处的切线方程为y=1
ln2
（x ﹣1），即x ﹣yln2﹣1=0．
令x=0，可得y=﹣1ln2，令y=0，可得x=1，∴三角形的面积等于12
•1•1ln2=1
2ln2= 212log e ．故答案为： 212log e ．
16．②④【解析】()y f x =在0x =处切线的应该是大于零，①错误；因为导数先负后正，所以2-是函数()y f x =的极值点，②正确；③()y f x =在区间()2,2-上单调递增，③错误；④1左右两边导函数值都为正，所以1不是函数()y f x =的极值点，④正确，故答案为②④.
17．c=1
2
【试题解析】由于f(x)= x e x ,所以f(c)= c e c ,又f ′(x)= x x 2e ?x e x -=()x
2
e x 1x -, 所以
f ′(c)=
()c 2e c 1c -.由题意知f(c)+f ′(c)=0,所以c e c +()c
2e c 1c -=0,所以2c-1=0,得c=1
2
.
18.由定积分与微积分基本定理，得
S ＝S 1＋S
2=
1
220
))t x dx x t dx -+-
=3311
((33tx x x tx -+-
＝3
24133t t -+，t ∈(0,1)，所以S
′＝1-=0，所以t ＝1
4
或t ＝0(舍去)．
当t 变化时，S ′，S 变化情况如下表：
所以当t ＝
1
4
时，S 最小，且S min ＝14.
19．解：由题意，销售价格为元/件时，每日可售出该商品件，
∴
，解得
，故
；商场每日销售该商品所获得
的利润为，
．
列表得的变化情况：
由上表可得，是函数）在区间内的极大值点，也是最大值点，此时
元．
20、(1)f ′(x )＝6x 2
＋6ax ＋3b .因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值，
则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨
⎪
⎧
6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3，
b ＝4.
(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3
－9x 2
＋12x ＋8c ，则f ′(x )＝6x 2
－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈[0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈[1,2]时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0.
所以当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，当x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c .
所以当x ∈[0,3]时，f (x )的最小值为f (0)＝8c .因为存在x ∈[0,3]，有f (x )<c 2
成立， 所以8c <c 2
，解得c <0或c >8，故c 的取值范围为c <0或c >8.
21．试题解析：（1）()11
ax f x a x x
=
'-=-
，x ＞0 当0a ≤时， ()0f x '≤在()0,+∞上恒成立，函数()f x '在()0,+∞单调递减， ∴()f x '在()0,+∞上没有极值点；
当0a >时， ()0f x '≤得()10,0x f x a '<≤
≥得1x a ≥， ∴()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1,a ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭上递增，即()f x 在1
x a =处有极小值．
∴当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞上没有极值点， 当0a >时， ()f x 在()0,+∞上有一个极值点． （2）
由1ln 1ln 1()0,,,x x f x a x e x x e ++⎡⎤
==
∈⎢⎥⎣⎦得，令g(x)=，/2ln ()0,1x g x x x -===，
[]1,11,'()0x e g x e ⎡⎤
∈≥∈≤⎢⎥⎣⎦当时，g'(x)0,当x 时，，所以，max 12(x)(1)1,()0,()g g g g e e e ====
因为
2()0,1f x a e ⎡⎫
=∈⎪
⎢⎣⎭有两个不同的解，所以。

22．解：（1
）222221,'()0)x x e
a F x x x e x ex
-==
-====，所以或舍
0'()0,()'()0,()x F x F x x F x F x <<<>>当所以递减；当所以递增。

min ())()0,F x F x F +∞==所以的递减区间是，递增区间是无最大值。

（2）方法一，若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点， 则方程()()0f x g x -=有且只有一解，所以函数()F x 有且只有一个零点…………8分
由（1）的结论可知min ()ln 01F x a a a =-==得…………10分
此时，2
()()()2ln 0x F x f x g x x e =-=-≥
min ()0F x F ==
1,()()f g f x g x ∴==∴与
的图象的唯一公共点坐标为
又
()f e g ''==
(
)()f x g x ∴与
的图象在点
处有共同的切线，
其方程为1
y x -=-，即1y x =-…………13分
综上所述，存在a 1=，使(
)()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为
1.
y x
=-…………14分
方法二：设()
f x与g(x)图象的公共点坐标为
00
(,)
x y，
根据题意得
⎩
⎨
⎧
=
=
)
(
)
(
)
(
)
(
'
'
x
f
x
f
x
g
x
f
即
2
2ln
22
x
a x
e
x a
e x
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
由②得
2
x
a
e
=
，代入①得
02
1
ln,
2
x x
=∴=从而1
a=…………10分
此时由（1
）可知
min
()0
F x F
==
x x
∴>≠
当且()0,()()
F x f x g x
>>
即
因此除
x=外，再没有其它
x，使
00
()()
f x
g x
=…………13分
故存在1
a=，使()()
f x
g x
与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐
标为
，公切线方程为1
y x
=-…………14分。