高考数学第一轮总复习100讲：81椭圆与双曲线

g3.1081 椭圆与双曲线
一、基本训练
1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ）
2.（2003京春理，7）椭圆⎩⎨⎧=+=ϕ
ϕ
sin 3cos 54y x （ϕ为参数）的焦点坐标为（ ）
A.（0，0），（0，－8）
B.（0，0），（－8，0）
C.（0，0），（0，8）
D.（0，0），（8，0）
3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ）
A.圆
B.椭圆
C.双曲线的一支
D.抛物线
4（2003京春，16）如图8—1，F 1、F 2分别为椭圆22
22b
y a x +=1
的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三
角形，则b 2的值是_____.
5（2003上海春，4）直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____.
6（2002上海春，2）若椭圆的两个焦点坐标为F 1（－1，0），F 2（5，0），长轴的长为10，则椭圆的方程为 ． 二、例题分析
例1（2002北京，21）已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点．如图8—3.
（Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G 、F 、H 三点共线；
（Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．
例2.（2002江苏，20）设A 、B 是双曲线x 222
y -＝1上的两
点，点N （1，2）是线段AB 的中点．
（Ⅰ）求直线AB 的方程；
（Ⅱ）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么
?
例3（2002上海，18）已知点A （3-，0）和B （3，0），动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y =x －2交于D 、E 两点，求线段DE 的长．
例4（2003上海春，21）设F 1、F 2分别为椭圆C ：22
228b
y a x + =1（a ＞b ＞0）
的左、右两个焦点.
（1）若椭圆C 上的点A （1，2
3）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；
（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程； （3）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线
122
22=-b
y a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明. 三、作业 同步练习 g3.1081 椭圆与双曲线
1.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ）
A.－1
B.1
C.5
D. －5
2（2002全国文，11）设θ∈（0，4
π），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值范围为（ ）
A.（0，
2
1
） B.（2
2
,
21） C.（2,22） D.（2，＋∞） 3（2002北京文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线22
2
232n
y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）
A.x ＝±
y 2
15
B.y ＝±
x 215 C.x ＝±y 4
3 D.y ＝±
x 4
3
4（2002京皖春，13）若双曲线m y x 224-＝1的渐近线方程为y ＝±2
3x ，则双曲线的焦点坐标是 ．
5（2002全国文，16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．能使这抛物线方程
为y 2
＝10x 的条件是 ．（要求填写合适条件的序号）
6.（2002上海文，8）抛物线（y －1）2＝4（x －1）的焦点坐标是 ． 7（2002天津理，14）椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k ＝ ．
8（2002上海理，8）曲线⎩⎨⎧+=-=1212t y t x （t 为参数）的焦点坐标是_____.
9（2002江苏，20）设A 、B 是双曲线x 222
y -＝1上的两点，点N （1，2）是线
段AB 的中点．
（Ⅰ）求直线AB 的方程；
（Ⅱ）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么?
10（2002上海，18）已知点A （3-，0）和B （3，0），动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y =x －2交于D 、E 两点，求线段DE 的长．
11.（2001京皖春，22）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）.过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，|AB |≤2p .
（Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值.。