【必做练习】高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数自主训练新人教A版必修4

2
|sinx|=1
sinx= ±１ x=2kπ ± (k ∈ Z), 从而淘汰 D.
2
又|sin 3 |=1, ∴ 3 ∈N,而 sin| 3 |=sin 3 =- 1, ∴ 3
2
2
2
2
2
M,从而淘汰 B、 C.
答案 : A
8. 如图 1-2-4 ，已知长方形的四个顶点： A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1).
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5.sin θ 和 cos θ 为方程 2x2-mx+1=0 的两根 , 则 sin 1 cot
cos
=_________.
1 tan
思路解析 : 首先对原式化简 , 然后由根与系数的关系及三角函数基本关系式求出
m,进而得出
结果 . ∵sin θ 和 cos θ 为方程 2x2-mx+1=0 的两根 ,
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1.2 任意角的三角函数
自主广场
我夯基 我达标
1. 当 α 为第二象限角时 , | sin
|
| cos
|
的值是（
）
sin
cos
A.1
B.0
C.2
D.-2
思路解析 : 利用三角函数值在各象限的符号，去掉绝对值号
.
∵α 为第二象限角 ,
∴sin α ＞ 0,cos α ＜0, 故 | sin | | cos | sin
, 从而将三角问题转化为代数问题而
获得解决 .
证明 : 在角 θ 的终边上任取一点 P(x,y)( 异于原点 ), 则
y
x
sin θ =
,cos θ =
.
x2 y2
x2 y2
∵θ 为锐角 , ∴x＞ 0,y ＞ 0.
于是 sin θ+cos θ =
xy(x=Fra biblioteky) 2
x2 y2
x2 y2
(x y)2 2 x2 y2
即 a2sin90 °+b 2tan45 ° -(a-b) 2cot45 ° - 2abcos0°=a 2+b2 -(a-b) 2-2ab=0.
答案 : A
3. 已知角 α 的终边在射线 y=- 3x(x ≥0) 上 , 则 sin α cosa 等于（
）
3
A.
B.
10
10
3
C.
10
10
思路解析 : 根据三角函数的定义，在终边上取点求值 x=1,y=-3,
x4= y3 tan
2 3 tan tan
2 3. tan
∵θ ∈(0, 答案： C
2
),x 4∈(1,2), ∴1＜
2
tan
-3 ＜ 2, 解得 2 ＜ tan θ ＜ 1 .
5
2
9. 已知 θ 为锐角 , 用三角函数定义证明 1＜ sin θ +cosθ ≤ 2 .
思路分析 : 运用三角函数的定义将三角函数表示为比值
=sin θ +cosθ =± 2 .
sin cos
答案： ± 2
6.sin2 α ＞0 且 cos α ＜ 0, 试确定 α 所在的象限 . 思路分析 : 由 sin2 α ＞ 0 得出 α 的范围 , 再由 cos α＜ 0 得出 α 的范围 , 两者取交集即可 .
解: ∵sin2 α＞0, ∴2k π ＜ 2α＜ 2kπ +π(k ∈ Z). ∴ｋπ ＜ α＜ kπ + (k ∈ Z).
上.
综上所述 , α 在第三象限 .
我综合 我发展
7. 集合 M={x|sin|x|=1},N={x||sinx|=1},
则 M与 N 之间的关系是（
）
A.M N
B.M
N
C.M=N
D.M∩N=
思路解析 : 采用淘汰法 .
sin|x|=1
|x|=2k π + (k ∈ Z)
2
x=±(2k π + )(k ∈ Z),
设 P1(2 ，y1 ),P 2(x 2,1),P 3(0,y 3), 其中 P0(1,0), 根据反射角与入射角相等的关系， 得到关系式
tan θ = 1 y1 1 y3 y 3 ,
2 x2
x2
x4
1
∴ｙ1=tan θ ,x 2=2-
y1
3
1，
tan
tan
y3=1-x 2tan θ =2-3tan θ ，
图 1-2-4
A. （ 1 ，1） B. （ 1 ， 2 ） C. （ 2 ， 1 ） D. （ 2 ， 2 ）
3
33
52
53
思路解析 : 我们可以把 tan θ 表示为 x4 的函数 , 即得到 tan θ =f(x 4), 再根据 1＜x4＜ 2 求解 ;
或得到 x 4=f(tan θ ) ，然后根据 1＜ f(tan θ ) ＜ 2 解 tan θ ; 也可用淘汰法 .
）
2
A. ［ 0, ］
B.
［
5
,
］
C.
［
2
,
］
D.
［ 5 , π］
6
66
63
6
思路解析 : 如右图所示，利用单位圆解不等式 . 按“等号”画出适合的角的终边 , 按“不等 号”画出适合的角的终边 ( 或终边与单位圆的交点组成的弧段 ), 按弧段在函数的定义域内写 出相应的不等式 . 答案 : B
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∴sin θ +cos θ = m ,sin
θ cosθ = 1 . ∴sin
2
2
m2
θ +cos θ +2sin θ cos θ=
. ∴1= m 2
- 1. ∴ｍ
2
2
4
4
=± 2 2 . ∴sin θ +cos θ =± 2 .
∴ sin 1 cot
cos 1 tan
sin 2 sin cos
cos2
一质点从 AB 的中
点 P0 出发 , 沿与 AB夹角为 θ 的方向射到 BC上的点 P1 后 , 依次反射到 CD、DA和 AB上的点 P2、
P3、P4( 入射角等于反射角 ). 设 P4 的坐标为 (x 4,0), 若 1＜x 4＜2, 则 tan θ 的范围是（
）
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图 1-2-5 解: 如图 , 以 O为原点 , 过点 O 的切线为 x 轴建立平面直角坐标系 . 设点 A 的坐标为 (x,y), 则 h=y+0.5.
2y
设∠ OO1A=θ , 则 cos θ=
,y=-2cos θ +2.
2
2
t
t
又 θ = ×t= , ∴y= -2cos +2.
12
6
6
∴h=-2cos
t
+2.5.
6
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sin
cos sin
cos
=2.
cos
答案 : C
2.a 2sin(- 1 350 °)+b 2tan405 ° -(a-b) 2cot765 ° -2abcos(- 1 080 °) 等于（
）
A.0
B.-1
C.
α2
D.b 2
思路解析 : 利用三角函数诱导公式将任意角的三角函数化为
0— 2π 间的三角函数 , 进而求值 .
2
当 k=2n(n ∈ Z) 时 , 有 2nπ ＜ α ＜2nπ + (n ∈ Z), ∴ α 在第一象限 .
2
当 k=2n+1(n∈ Z) 时 , 有 2nπ +π＜ α ＜ 2nπ + 3 (n ∈ Z), ∴ α 在第三象限 . 2
∴α 在第一或第三象限 . 由 cos α ＜ 0 可知 α 在第二或第三象限或 α 终边在 x 轴的负半轴
10
D.
10
. 在 α 终边上取一点
P(1,-3), 此时
∴r= 1 ( 3) 3
10 . ∴ sin α = y r
3 ,cos α = x = 1 .
10
r 10
∴sin α cos α =
3 ×1 =
3
.
10 10 10
答案 : A
1
4. 在［ 0,2 π ］上满足 sin α ≥ 的 x 的取值范围是（
2.
x 2 2 xy y2
又 sin θ +cosθ =
x2 y2
2 xy 1 x 2 y 2 ＞ 1.
∴1＜ sin θ+cos θ ≤ 2 .
10. 如图 1-2-5, 某大风车的半径为 2 m, 每 12 秒旋转一周 , 它的最低点 O 离地面 0.5 m, 风车 圆周上一点 A 从最低点 O开始 , 运动 t 秒后与地面的距离为 h m.你能想个办法，求 A 点距地 面的高度 h 与转动时间 t 之间的关系吗？