八年级上学期数学培优(6)

八（上）数学培优班 第六讲
综合能力训练
【思考题】
1、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．
【几何多结论】
2、如图在△ABC 中AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，O 为AC 中点，D 为BC 上一点， CD 、OB 交于N ，AE ∥AB ，BE ⊥CD 于F ，BE 交AC 于M ．下列结论： ①AE ＝AM ；②AE ＝BD ；③OM ＝ON ；④∠OFM ＝45°.
其中正确的结论有（ ）
A ．①②③④
B ．只有②③④
C ．只有①②
D ．只有②③
3、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，E 在AB 上，CE 平分∠ACB ，AF ⊥CE 于F ， 下列结论：
①AC 垂直平分DE ；②CD ＝2AF ；③∠BFC ＝45°；④AF ＝BF ．
其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4、如图所示，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D 点，CE ⊥AD 于Q ，点F 为AC 上一点，且CF ＝BE ，连BF 交CE 于P.下列结论：①AC ＝AE ；②CD ＝BE ；③DP ⊥BF ；④2∠BDP ＝135°.其中结论正确的序号是（ ） A 、只有①③④ B 、只有②③ C 、只有①④ D 、①②③④
N E F D C
B
A
M O
P Q A
B C
D
F
E
A H
D B
C
E
F D
E A B C
【几何综合探究】 5、已知，如图，△ABC 是等边三角形，M 、D 分别为BC
（1）如图1，若AM ＝MN ，∠AMN ＝60°，求证：CN 平分∠ACD ；
方法1：
方法2：
方法3：
方法3
（2
）如图2，若∠AMN ＝60°，CN 平分∠ACD ，求证： AM ＝MN ；
（3）如图3，若AM ＝MN ，CN 平分∠ACD ，求证：∠AMN ＝60°；
（4）如图4，在（2）的条件下，若将M 点移至BC 延长线上，（2）的结论是否成立？
图1N
N
C 图2
图3C N
D
图4A
N
M
C
B N C
N N
N
6、四边形ABCD 是正方形．
（1）若PA ⊥PQ ，CQ 平分∠DCE ，求证：PA ＝PQ ；
（2）若PA ＝PQ ，CQ 平分∠DCE ，求证：PA ⊥PQ ；
【代几综合】
7、如图1，在平面直角坐标系中，点A （4，4），点B 、C 分别 在x 轴、y 轴的正半轴上，16＝四边形OBAC S ．
（1）判断线段AB 、AC 的关系，并证明；
（2）若OB －OC ＝2，求B 、C 两点坐标；
（3）如图2，点D 、E 分别是x 轴正半轴及射线OA 上一点， 且OF ⊥DE 的延长线于F ，满足∠FOE ＝∠ODF ．请探究两条 线段DE 、OF 之间的数量关系，并给出证明．
（4）在（2）的条件下，x 轴上是否存在点P 使∠APB ＝∠CPO ？ 若存在求P 的坐标；
（5）在（2）的条件下，x 轴上是否存在点P 使 PC PA 的值最大？
若存在求P 的坐标；
E
D
C B A
Q
P E
D
C B
A
Q
P
8、已知，A （3，0），B （0，2），以AB 为边在第一象限作正方形
（1）求D 点坐标；
（2）E 为x 轴正半轴上一点，且
OE ＝OB ，连CE ，求△BCE 的面积．
（3）x 轴是否存在点
P 使得∠BPD ＝90°，若存在求出P 点坐标，若不存在，说明理由；
9、如图，点A 和点B
分别在x 轴和y 轴的正半轴上，AD 平分∠BAO 交y 轴于点D ，OC ⊥AB 于点C ，交AD 于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交OB 于点F ．
（1）求证：OE ＝OD ；
（2）若OE ＝3，DF ＝2，求点B 的坐标；
（3）在（2）的条件下，若A （6，0），AB ＝10，求
OAE
ACE
S S ∆∆的值．
10、已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF ，求证：AC ＝BF ． （请用三种以上方法证明）
F E
C
B A。