2017-2018学年重庆市高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

2017-2018学年重庆市高二下学期期中考试
数学（理）试题
考试时间：120分钟 试题总分：150分
一、选择题（每个题目只有一个正确答案，共12小题，每小题5分，共60分） 1. 复数 i
i 1-= （ ） A ．i 2- B ．
2
i
C ．0
D ． i 2 2. “x＞5”是“x 2＞25”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．既充分又必要条件
D ．既不充分又不必要条件
3. 5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为( )
A ．C 2
5 B ．25
C ．52
D ．A 2
5[来
4. 已知命题R x p ∈∃:，使得0<x
e ，则p ⌝为（ ）
A ．对R x ∈∀，都有0
≥x
e
B ．对R x ∈∀，都有0
>x
e
C ． R x ∈∃，使得0≥x e
D ． 对R x ∈∀，都有0<x
e
由n k =的假设证明6.已知a 为实数，函数))(2
3
()(2a x x x f ++=，若函数f(x)的图象上有与x 轴平行的切线，则a 的取值范围
是( )
A ．[)+∞-
-∞,2)22
3
,(
B ．(]
),22
3
(2,+∞-∞- C ．⎥⎦⎤ ⎝
⎛-
∞-223,
D ．),223
(223,+∞⎥⎦
⎤ ⎝
⎛-
∞- 7.已知 15441544,833833,322322=+=+=+
，若b
a
b a 66=+（b a ,均为实数）
，则可推测b a ,的值分别为（ ）
A. 6，35
B. 6，17
C. 5，24
D.5，35
8.某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为( )
第8
题A. 32
B. C. 64
D. 9.5)1
2)((x
x x a x -+
的展开式中各项系数之和为2，则该展开式的常数项为（ ）
A ．-40
B ．-20
C ．20
D ． 40
10.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1
张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为 （ ） A ．
119 B ．1738 C ．217 D ． 419
11.已知双曲线)0,0(12
2
22>>=-b a b y a x 的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于点A 、B ，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，三角形AOB
p =（ ） A ．1 B ．
C.2
D.3
12.已知函数d cx bx x x f +++=23)(（d c b 、、为常数），当)1,0(∈x 时取得极大值,当)2,1(∈x 时取极小
值,则22
1()(3)2
b c ++-的取值范围是( )
A. B.(5,25) C.37(,25)4
D.
二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 若随机变量)2
1
,16(B -ξ，若变量15-=ξη，则ηD =___________ . 14.曲线322+-=x x y 与直线3+=x y 所围成的图形 （如图所示）的面积
=S ______ . （14题图）
15. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A , B , C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每
个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A , B 项目，乙不能参加B , C 项目，那么共有___________ 种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）
16.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()'()12x f x f x x e --=-，且()00f =
则下列命题正确的是___________ .（写出所有正确命题的序号） ①()f x 有极大值，没有极小值；
②设曲线()f x 上存在不同两点,A B 处的切线斜率均为k ，则k 的取值范围是2
1
0k e -<<； ③对任意()12,2,x x ∈+∞，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
恒成立； ④当a b ≠时，方程()()f a f b =有且仅有两对不同的实数解(),a b 满足,a b
e e 均为整数.
三、解答题（共6个小题，其中22题10分，其余每小题12分，共70分.） 17.（本小题满分12分，第1小题6分，第2小题6分.） 已知函数x x x f ln )(=.
（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：1)(-≥x x f ；
18.（本小题满分12分，第1小题6分，第2小题6分.）
某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表：
若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立． （1）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；
（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和数学期望．
19.（本小题满分12分，第1小题5分，第2小题7分.）
如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC=90°，
PA=PD=AD=2BC=2，3=CD ，6=PB ，Q 是AD 的中点，M 是棱PC 上
的点，且PM=3MC ．
（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥底面ABCD ； （Ⅱ）求二面角M ﹣BQ ﹣C 的大小．
20.（本小题满分12分，第1小题4分，第2小题8分.）
已知函数x
a x x f -
=ln )(。

（Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若12ln 22-≤mx x x 在],1[e 恒成立，求m 的取值范围。

21.（本小题满分12分，第1小题5分，第2小题7分.）
已知椭圆C )0(1:2222>>=+b a b
y a x 的离心率为21
，左、右焦点分别是21,F F ，点P 为椭圆C 上任意一点，
且21F PF ∆面积的最大值是3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过2F 作垂直于x 轴的直线l 交椭圆于B A 、两点（点A 在第一象限），N M 、是椭圆位于直线l 两侧的动点，若NAB MAB ∠=∠，求证:直线MN 的斜率是定值。

22.（本小题满分10分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题3分.） 已知函数)0(2
2)1ln()(>+-+=a x x
ax x f . （Ⅰ）当21
=
a 时，求)(x f 的极值； （Ⅱ）若)1,2
1(∈a ，)(x f 存在两个极值点21,x x ，试比较)()(21x f x f +与)0(f 的大小. （III ）求证：),2(!2
)1(*-∈≥>N n n n e n n
2017-2018学年重庆市高二下学期期中考试
数学（理）试题答案
考试时间：120分钟 试题总分：150分
二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 100 14.
2
9
15. 21 16.①②③④ 16.详解:()()()
22()'12'x x x f x e x e xe ---=-=知存在常数C 使得2()x x f x e xe C --=+，
由()00f =得0C =所以()x f x xe -=，()'()1x
f x x e -=-，
可得()f x 在(,1)-∞单调增，在(1,)+∞单调减，因此有极大值，没有极小值，①正确；
()''()2x f x x e -=-可知'()f x 在(,2)-∞单调减，在(2,)+∞单调增，其中,'()0x f x →+∞→，且
'()0
f x <，大致图像如上图，最小值2
1
'(2)f e =-，所以②正确； 由图像可知在(2,)+∞，''()0f x >，原函数()f x 为下凸函数，故③正确；
()()a b
a b f a f b e e =
==，若a b <，可知1a b <<，所以1a e e <<，由a e Z ∈知2a
e =，ln 2a =所以ln 22a b a b e e ==，设b e n =则2
2n n =，因此4,ln 4n b ==（舍去2n =），同理a b >时，ln 2,ln 4b a ==，共计两组解，故④正确
三、解答题（共6个小题，其中22题10分，其余每小题12分，共70分） 17.（本小题满分12分，第1小题6分，第2小题6分.） 已知函数x x x f ln )(=.
（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：1)(-≥x x f ；
解：（Ⅰ）设切线的斜率为k ，1ln )(+='x x f ，1)1(='=f k ……………2分 因为0)1(=f ，切点为)0,1(.……………4分
切线方程为10-=-x y ，化简得：1-=x y .……………6分
（Ⅱ）要证：1)(-≥x x f ，只需证明：01ln )(≥+-=x x x x g 在),0(+∞恒成立，……7分 ()ln 11ln g x x x '=+-=……8分
当)1,0(∈x 时0)(<'x f ，)(x f 在)1,0(上单调递减；
当),1(+∞∈x 时0)(>'x f ，)(x f 在),1(+∞上单调递增；……10分 当1=x 时0)1()(min ==g x g ，01ln )(≥+-=x x x x g 在),0(+∞恒成立 所以1)(-≥x x f . ……12分
18.（本小题满分12分，第1小题6分，第2小题6分.）
某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表：
若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立． （1）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；
（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和数学期望． 18.解：（1）2515
0.5,0.35050
a b =
===，………………3分 依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率0.5p =。

设5天中该种商品有Y 天的销售量为1.5吨,则()5,0.5Y B ，………………4分
所以()()3
22
55
20.510.50.312516
P Y C ==⨯⨯-=
=。

………………6分 （2）X 的可能取值为4,5,6,7,8，则()2
40.20.04P X ===；()520.20.50.2P X ==⨯⨯=；
()260.520.20.30.37P X ==+⨯⨯=；()720.30.50.3P X ==⨯⨯=； ()280.30.09P X ===，………………10分
所以X 的分布列
所以() 6.2E X =（千元） ………………12分
19.（本小题满分12分，第1小题5分，第2小题7分.） 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC=90°，PA=PD=AD=2BC=2，3=CD ，6=PB ，Q 是AD
的中点，
M 是棱PC 上的点，且PM=3MC ．
（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥底面ABCD ； （Ⅱ）求二面角M ﹣BQ ﹣C 的大小．
（Ⅰ）证明：连结BQ ，∵四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AD=2BC ，Q 为AD 的中点，∴四边形ABDQ 为平
行四边形，又∵CD=，∴QB=
，∵△PAD 是边长为2的正三角形，Q 是AD 的中点，∴PQ ⊥AD ，PQ=
，
在△PQB 中，QB=
，PB=
，有PQ 2+BQ 2=PB 2，∴PQ ⊥BQ ，∵AD ∩BQ=Q ，AD 、BQ ⊂平面ABCD ，∴PQ ⊥平面ABCD ，
又∵PQ ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥底面ABCD ；……5分
（Ⅱ）解：由（I ）可知能以Q 为原点，分别以QA 、QB 、QP 为x 、y 、z 轴建立坐标系如图，则Q （0，0，0），
B （0，，0），∵BC=1，CD=
，Q 是AD 的中点，∴PQ=
=
=
，
QC===2，
∴PC===
，又∵PM=3MC ，∴M （﹣，
，
），
∴
=（0，
，0），
=（﹣，，
），设平面MBQ 的一个法向量为=（x ，y ，z ），
由，即，令z=，得=（1，0，），
又=（0，0，1）为平面BCQ 的一个法向量，∴==，
∴二面角M ﹣BQ ﹣C 为．……12分
20.（本小题满分12分，第1小题4分，第2小题8分.）
已知函数x
a x x f -
=ln )(。

（Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若12ln 22
-≤mx x x 在],1[e 恒成立，求m 的取值范围。

20.解:（Ⅰ）)0(1)(22>+=+=
'x x
a
x x a x x f 当0<a 时，)(,0)(),,0(x f x f a x <'-∈单调递减，
)(,0)(),,(x f x f a x >'+∞-∈单调递增。

当0≥a 时，)(,0)(),,0(x f x f x >'+∞∈单调递增。

……4分
（Ⅱ）12ln 22-≤mx x x ，得到m x
x x ≤+221
ln ……5分
令已知函数221
ln )(x x x x g +=
, 2
1
ln 1)(x x x x g -
-=
',x x x f a 1ln )(1+=-=时， )(,0)(),1,0(x f x f x <'∈单调递减，)(,0)(),,1(x f x f x >'+∞∈单调递增。

1)1()(=≥f x f ，即11
ln ≥+
x
x ，01
ln 1)(2
≤-
-='x x x x g
)(x g 在)(,0)(),,0(x g x g x ≤'+∞∈单调递减， ……10分
在],1[e ，21)1()(=≤g x g ，若
m x
x x ≤+221ln 恒成立，则21
≥m 。

……12分
21.（本小题满分12分，第1小题5分，第2小题7分.）
已知椭圆C )0(1:2222>>=+b a b
y a x 的离心率为21
，左、右焦点分别是21,F F ，点P 为椭圆C 上任意一点，
且21F PF ∆面积的最大值是3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过2F 作垂直于x 轴的直线l 交椭圆于B A 、两点（点A 在第一象限），N M 、是椭圆位于直线l 两侧的动点，若NAB MAB ∠=∠，求证:直线MN 的斜率是定值。

21.解：（Ⅰ）2
1
==
a c e ，c
b 3=∴，……1分 P F PF y F F S ⋅=
∆2122
1
1 ，当且仅当b y P =时，21F PF S ∆最大为3=bc ，,1,3==∴c b ……4分， 椭
圆C 为：13
42
2=+y x ……5分 （Ⅱ）直线l 为1=x ，解得：)2
3
,1(A ，……6分
设MN 为m kx y +=，联立椭圆方程，得01248)34(222=-+++m kmx x k ，令),(),,(2211y x N y x M ，则
3
412
4,3482221221+-=+-=+k m x x k km x x ，……8分
由0=+AN
AM k k ，得
,01
23
1232211=--+--
x y x y 即0)1)(2
3()1)(2
3(1221=--++--+x m kx x m kx ，……10分
,023348)23(34)124(223))(23(22
222121=-++---++-=-++--+∴m k km
k m k m k m x x k m x kx 化简得
,0)322)(12(=-+-k m k 2
1
=
∴k 为定值。

……12分 22.（本小题满分10分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题3分.） 已知函数)0(2
2)1ln()(>+-+=a x x
ax x f . （Ⅰ）当21
=
a 时，求)(x f 的极值； （Ⅱ）若)1,2
1(∈a ，)(x f 存在两个极值点21,x x ，试比较)()(21x f x f +与)0(f 的大小. （III ）求证：),2(!2
)1(*-∈≥>N n n n e
n n
22.（Ⅰ）解:22)211ln()(+-+=x x x x f ,定义域由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+0
20
21
1x x ,得2->x ,
2
2)2(2
)2(421)(+-=+-+=
'x x x x x f ,∴函数在)2,2(-单调递减,在),2(+∞上单调递增, 故12ln )2()(-==f x f 极小值,没有极大值.……3分
（Ⅱ）),1(,22)1ln()(+∞-∈+-+=a x x x ax x f ,)
1()2()
1(4)(22ax x a ax x f ++--=', a
a a a a a a )1(21
),41,0()1(),1,21(--
<-∴∈-∴∈ ,
a a a x a ax )
1(2,0)1(42,12-±
=∴=--
……3分
a
a a
a a a a a a a x f x f 2121421214])1(21ln[])1(21ln[)()(21+----
+---
--+-+=+21
22
)21ln(1244)21ln()()(2221--+-=--+
-=+a a a a a x f x f 设12-=a t ,当)1,2
1
(∈a 时,)1,0(∈t ,设22
ln )()()(2
21-+
==+t
t t g x f x f , 当)1,0(∈t 时,22ln 2)(-+
=t t t g ,02
2)(2<-='t
t t g ,即)(t g 在)1,0(∈t 上单调递减, 0)1()(=>g t g ,即0)0()()(21=>+f x f x f 恒成立.
综上所述,)0()()(21f x f x f >+ ……7分 （III ）证明：由（Ⅱ）知，当)1,0(∈t 时,022
ln 2)(>-+
=t
t t g 恒成立。

011ln >-+∴t t ，令,ln 1,011
ln ),,2(1n n n n
N n n n t >-∴>-+∴∈≥=*
,ln 1,4ln 3,3ln 2,2ln 1n n >->>>∴ )!ln(ln 3ln 2ln )1(321n n n =++>-+++∴ ，
)!ln(2
)
1(n n n >-∴，),2(!2
)1(*-∈≥>∴N n n n e
n n ……10分。