2017全国Ⅰ高考理科数学试题真题答案精编版

绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则
A. {|0}A B x x =<I
B. A B =R U
C. {|1}A B x x =>U
D. A B =∅I
2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A.
14 B. π8 C. 12 D. π
4
3.设有下面四个命题
1:p 若复数z 满足1
z ∈R ，则z ∈R ；
2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .
其中的真命题为
A.13,p p
B.14,p p
C.23,p p
D.24,p p
4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-
B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3]
6.621
(1)(1)x x
+
+展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35
7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A.10
B.12
C.14
D.16
8.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在和
两个空白框中，可以分别
填入
A.A >1000和n =n +1
B.A >1000和n =n +2
C.A ≤1000和n =n +1
D.A ≤1000和n =n +2
9.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +
2π
3
)，则下面结正确的是 A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线C 2
B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线C 2
C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线C 2
D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
12
个单位长度，得到曲线C 2
10.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 11.设xyz 为正数，且235x y z ==，则
A ．2x <3y <5z
B ．5z <2x <3y
C ．3y <5z <2x
D ．3y <2x <5z
12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A.440
B.330
C.220
D.110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= .
14.设x，y满足约束条件
21
21
x y
x y
x y
+≤
⎧
⎪
+≥-
⎨
⎪-≤
⎩
，则32
z x y
=-的最小值为.
15.已知双曲线C
：
2
2
22
1
x y
a b
-=（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M、N两点。

若∠MAN=60°，则C的离心率为________。

16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。

D、E、F为圆O 上的点，△DBC，△ECA，△F AB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△F AB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。

当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

学科网
（一）必考题：60分。

17.（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
2
3sin
a
A
（1）求sin B sin C;
（2）若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长
18.（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90
BAP CDP
∠=∠=o
(1)证明：平面P AB⊥平面P AD；
(2)若P A =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,求二面角A -PB -C 的余弦值. 19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ,σ2)． （1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；学科&网
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96
9.96
10.01 9.92
9.98
10.04 10.26
9.91
10.13 10.02 9.22
10.04 10.05
9.95
经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162
22211
11()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-=∑∑，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i =1,2, (16)
用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μ
σμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2)，则P (μ–3σ<Z <μ+3σ)=0.997 4，0.997 416≈0.959 2，0.0080.09≈． 20.（12分）
已知椭圆C ：22
22=1x y a b
+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点
在椭圆C 上. （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.
21.（12分）
已知函数()f x =ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x. （1） 讨论()f x 的单调性；
（2） 若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为
4,
1,x a t y t =+⎧⎨
=-⎩
（t 为参数）. （1）若a=-1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a.
23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；
（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.
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理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.
31i i
+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2.设集合{}1,2,4A =，{}
240x x x m B =-+=．若{}1A B =I ，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）
A ．90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值是（）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9.若双曲线C :22221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．233
10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）
A ．32
B ．155
C ．105
D ．33 11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是（）
A.2-
B.32-
C. 43
- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X =．
14.函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是． 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11n
k k S ==∑． 16.已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2
B A
C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += ,ABC ∆面积为2,求.b
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：
（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产
量不低于50kg,估计A 的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
19.（12分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面三角形BCD ，01,90,2
AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点 （1）证明：学|科网直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为045，求二面角M-AB-D 的余弦值
20.（12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =u u u r u u u u r . (1) 求点P 的轨迹方程；
(2) 设点Q 在直线x=-3上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r .证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.
21.（12分）
已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.
（1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且230()2e f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为
cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,)3π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知330,0,2a b a b >>+=，证明：
（1）55()()4a b a b ++≥；
（2）2a b +≤．
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则=A B U A.{}123,4，， B.{}123，， C.{}234，， D.{}134，，
2.（1+i ）（2+i ）=
A.1-i
B. 1+3i
C. 3+i
D.3+3i 3.函数()f
x =π
sin （2x+
）3
的最小正周期为
A.4π
B.2π
C.π
D.2
π
4.设非零向量a,b 满足a+b =a-b 则
A.a ⊥b
B. a =b
C.a ∥b
D.a b >
5.若a ＞1，则双曲线x y a
=22
2-1的离心率的取值范围是
A.2+∞（，）
B.22（，）
C. 2（1，）
D.12（，）
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体有一平
面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90 B.63 C.42 D.36
7.设x、y满足约束条件
2+330
2330
30
x y
x y
y
-≤
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪+≥
⎩。

则2
z x y
=+的最小值是
A. -15
B.-9
C. 1 D 9
8.函数2
()ln(28)
f x x x
=--的单调区间是
A.(-∞,-2)
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，学|科网根据以上信息，则
A.乙可以知道两人的成绩
B.丁可能知道两人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
10.执行右面的程序框图，如果输入的a=-1，则输出的S=
A2 B3 C4 D5
11.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A
1 10
B 1 5
C
3 10
D 2 5
12.过抛物线C:y2=4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N 在l上，且MN⊥l,则M到直线NF的距离为
A5
B22
C23
D33
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分
13.函数f(x)=2cosx+sinx 的最大值为.
14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ()-，
0∈∞时，()322f x x x =+,
则()
2f
=
15.长方体的长宽高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为
16.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
已知等差数列{a n }的前n 项和为Sn ，等比数列{b n }的前n 项和为Tn ，a 1=-1，b1=1，a3+b2=2. （1） 若a3+b2=5，学 科&网求{b n }的通项公式； （2） 若T=21，求S 1 18.(12分)
如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC=12
AD,∠BAD=∠ABC=90°。

（1） 证明：直线BC ∥平面PAD;
（2） 若△PAD 面积为27，求四棱锥P-ABCD 的体积。

19（12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）,其频率分布直方图如下：
（1）记A表示时间“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较。

附：
20.（12分）
设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点在直线x=-3上，且.证明过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
（21）（12分）
设函数f(x)=(1-x2)e2.
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，学科&网x轴正半轴为极轴建立极坐标系。

曲线C1的极坐标方程为
（1）M为曲线C1的动点，点P在线段OM上，且满足OM OP=16
⋅，求点P的轨迹C1的直角坐标方程；
π，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值。

（2）设点A的极坐标为（2，）
3
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知=2。

证明：
（1）；
（2）。