湖北省十一校2023-2024学年高三下学期第二次联考数学试题及答案

湖北省十一校2023-2024学年高三下学期第二次联考数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}2
|3100M x x x =+−<，{|N y y ==，则=M
N （ ） A ．[)0,2 B ．[)1,2 C ．[)5,2−
D ．()5,2−
2．已知i 为虚数单位，复数z 满足2i z z +=，则z 的虚部为（ ） A ．1−
B ．1
C ．i
D ．i −
3．若πtan 24α⎛
⎫−= ⎪⎝
⎭，则sin2α=（ ）
A ．3
5 B ．35
−
C ．4
5
D ．45
−
4．已知向量a ，b ，满足a b a b ==−，则()
·a a b +=（ ） A ．212
a
B ．212
b
C ．
()
2
1
2
a b + D ．
()
21
2
a b −
5．如图，A 是平面α内一定点，B 是平面α外一定点，且AB =直线AB 与平面α所成角为45︒，设平面α内动点M 到点,A B 的距离相等，则线段AM 的长度的最小值为（ ）
A ．4
B ．
C ．2
D 6．()
()6
211x ax x +−−的展开式中2x 的系数是2−，则实数a 的值为（ ） A ．0
B ．3
C ．1−
D ．2−
7．平面直角坐标系xOy 中，已知点(),0A a −，(),0B a 其中0a >，若圆
()()
22
212x a y a a −++−−=上存在点P 满足23PA PB a ⋅=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．[1,)+∞
8．若对于任意正数x y ，，不等式()1ln ln x x x y ay +≥−恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．311,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．31,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
二、多选题
9．若()2
100,1.5X N ~，则下列说法正确的有（ ）
A ．()11002
P X <= B ．() 1.5E X =
C ．()()101.598.5P X P X <=>
D ．()()97101.598.5103P X P X <<=<<
10．如图所示的数阵的特点是：每行每列都成等差数列，该数列一共有n 行n 列()100n ≥，ij a 表示第i 行第j 列的数，比如237a =，5421a =，则（ ）
A ．7750a =
B ．数字65在这个数阵中出现的次数为8次
C ．1ij a i j =⨯+
D ．这个数阵中2
n 个数的和()2
214
n n S +=
11．用平面α截圆柱面，圆柱的轴与平面α所成角记为θ，当θ为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切．下列结论中正确的有（ ）
A ．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B ．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距12O O 相等
C ．所得椭圆的离心率cos e θ=
D ．其中12G G 为椭圆长轴，R 为球1O 半径，有1tan
2
R AG θ
=⋅
三、填空题
12．已知函数()()1,0
ln 1,0x x f x x x +≤⎧=⎨+>⎩，则关于x 的不等式()1f x ≤的解集为 ．
13．在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，,E F 分别是,BC AD 的中点，将四边形ABEF 沿
EF 折起使得二面角1A EF D −−的大小为90°，则三棱锥1A CDE −的外接球的表面积
为 ．
14．已知在数列{}n a 中，111,a a +∈N ，数列{}n a 的前n 和为n S ，n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，
1477S =，则100S = ．
四、解答题
15．在平面四边形ABCD 中，AB =3AC =，BC = (1)求cos BCA ∠的值；
(2)若12cos ,cos 13BCD ADC ∠=−
∠=AD 的长．
16．如图所示，平面ACFE ⊥平面ABCD ，且四边形ACFE 是矩形，在四边形ABCD 中，
120ADC ∠=︒，2226AB AD CD BC ，
(1)若2
3
EM
EF ，求证：//AM 平面BDF ； (2)若直线BF 与平面ABCD 所成角为π
6
，求平面BED 与平面BCF 所成锐二面角的余弦
值.
17．2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S 运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n 的样本进行调查，调查结果如下表：
附：
2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．
(1)完成上述列联表，依据小概率值0.05α=的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量n 的最小值；
(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个
问题，有两种答题方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．
已知小华同学答出三个问题的概率分别是34，23
，1
2，小华回答三个问题正确与否相互
独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）
18．已知椭圆22
22:1(0)x y M a b a b
+=>>的离心率为12，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上
顶点，1F 为左焦点，且1ABF
(1)求椭圆M 的标准方程：
(2)设椭圆M 的右顶点为C 、P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点．
（i ）若点31,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，点D 在椭圆M 上且位于x 轴下方，直线PD 交x 轴于点F ，设APF
和CDF 的面积分别为1S ，2S 若123
2
S S −=，求点D 的坐标：
（ii ）若直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ，求证：2QN QC k k −为定值，并求出此定值（其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．
19．我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积
()
()(),()0(),()0
b
a
b a f x dx f x A f x dx f x ⎧>⎪⎪=⎨⎪−<⎪⎩⎰⎰，其中()()()b a
f x dx F b F a =−⎰，()()F x f x ='．如果平面图形
由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线1C 可以表示为()1y f x =，曲线2C 可以表示为()2y f x =，那么阴影区域的面积()()()21b
a A f x f x dx =−⎰，其中
()2
1
2
1
()()()()b b b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx −=−⎰⎰⎰．
(1)如图，连续函数()y f x =在区间[]3,2−−与[]2,3的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间[]2,0−与[]0,2的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设()0()x
F x f t dt =⎰．求
()()5
234
F F −的值；
(2)在曲线()2
(0)f x x x =≥上某一个点处作切线，便之与曲线和x 轴所围成的面积为
1
12
，求切线方程；
(3)正项数列{}n b 是以公差为d （d 为常数，0d >）的等差数列，11b =，两条抛物线21n n y b x b =+
，()2
1
1
1n n y b x n N b +++=+∈记它们交点的横坐标的绝对值为n a ，两条抛物线围成的封闭图形的面积为n S ，求证：
12
12
43
n n
S S S a a a +++
<．
参考答案：
1．A
【分析】分别求出集合M 、N ，从而得到M N ⋂.
【详解】解不等式23100x x +−<得52x −<<，所以()5,2M =−，
0≥得[)0,N =+∞ [)0,2∴=M N
故选：A 2．B
【分析】设复数,(,R)z a bi a b =+∈，根据题意，列出方程求得1b ，进而求得复数z 的虚
部，得到答案.
【详解】设复数,(,R)z a bi a b =+∈，
因为2i z z +=，可得(2)i i a b a b ++=+，可得2222(2)a b a b ++=+， 解得1b
，所以复数z 的虚部为1b −=.
故选：B. 3．B
【分析】根据两角差的正切公式求出tan α，再利用二倍角的正弦公式化简求得答案.
【详解】由πtan 1tan 241tan ααα−⎛
⎫−=
= ⎪+⎝
⎭，得tan 3α=−， 2222sin cos 2tan 3
sin22sin cos sin cos 1tan 5
ααααααααα∴====−++.
故选：B. 4．C
【分析】根据已知条件可得向量,a b 的夹角为60︒，2
12
a b a ⋅=，再利用数量积运算可得解. 【详解】由a b a b ==−，可得向量,a b 的夹角为60︒， 2
12
a b a ∴⋅=
， 22
222
11222132
a a
b a a b a a a a b b b ∴⋅+=+⋅=
+⋅+=+=（）（）. 故选：C. 5．A
【分析】根据题意，得到动点M 的轨迹是线段AB 的中垂面与平面α的交线，取AB 的中点
C ，结合sin 45
AC
AM =
，即可求解. 【详解】如图所示，因为点M 到点,A B 的距离相等， 可得动点M 的轨迹是线段AB 的中垂面与平面α的交线，
又因为AB =AB 与平面α所成角为45︒，
取AB 的中点C ，可得CM AB ⊥，则线段AM 的最小值为
24sin 452
2
AB
AC
AM ===. 故选：A.
6．D
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对()6
1x −，有()()166
C 1C k k
k k k
k T x x +=−=−， 故()
()6
2
11x ax x +−−的展开式中2x 的系数为：
()()()2
012
666C 21C 11115C 6a a =+⋅−⋅+−−−⋅⋅=−−，即2a =−.
故选：D. 7．D
【分析】设(,)P x y ，可得点P 在圆2224x y a +=上，又点P 在圆()()2
2
212x a y a a −++−−=上，故两圆相交，结合两圆相交定义计算即可得. 【详解】设(,)P x y ，
23PA PB a ⋅=，则()()223x a x a y a +−+=，即222
4x y a +=，
即点P 亦在圆2224x y a +=上，圆心为()0,0，半径12r a =，
又点P 在圆()()2
2
212x a y a a −++−−=上，圆心为()1,2a a −+，半径2r a
=，
故两圆相交，即有2112r r r r −≤
+，
整理可得22250
7250
a a a a ⎧++≥⎨−−≥
⎩且0a >，解得1a ≥.
故选：D.
8．C
【分析】对不等式分离参数得到ln x y x a y x y ≥
−，令y
t x
=，构造函数ln 1()t g t t −=，()0,t ∞∈+，则max ()a g t ≥，通过导数研究()g t 单调性求出最大值即可. 【详解】由不等式()1ln ln x x x y ay +≥−恒成立，且00，x y >>， 分离参数得()ln ln ay x y x x ≥−−，所以()ln ln x x a y x y y ≥−−，即ln x y x
a y x y
≥−， 设y t x
=
，得ln 1
t a t −≥，()0,t ∞∈+，设ln 1()t g t t −=，()0,t ∞∈+，则max ()a g t ≥.
2
2ln ()t
g t t
−'=
，由()0g t '=得2e t =，当2(0,)e t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增；当2(,)e t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减；
所以2
max 22211
()()e e e
g t g −==
=. 所以2
1
a e ≥
. 故选：C. 9．ACD
【分析】根据题意，得到期望为100μ=，方差为221.5σ=，结合正态分布曲线的对称性，逐项判定，即可求解. 【详解】由2(100,1.5)X
N ，可得期望为100μ=，方差为221.5σ=，
对于A 中，根据正态分布曲线的对称性，可得1
(100)2
P X <=
，所以A 正确； 对于B 中，因为100μ=，即()100E X =，所以B 不正确；
对于C 中，根据正态分布曲线的对称性，可得(101.5)(98.5)P X P X <=<，所以C 正确； 对于D 中，由正态分布曲线的性质，可得(97101.5)(2)P X P X μσμσ<<=−<<+， 且(98.5103)(2)P X P X μσμσ<<=−<<+，
可得(97101.5)(98.5103)P X P X <<=<<，所以D 正确. 故选：ACD. 10．AC
【分析】选项AC 可由等差数列的基本量法确定；选项B 把65代入通项，求出共有7种组合可得B 错误；选项D 代入特殊值检验可判断为错误.
【详解】对于A ，C 选项：第i 行是以()1i +为首项，以i 为公差的等差数列，
()()111ij a i j i i j ∴=++−⋅=⋅+，
所以7777150a =⨯+=，故A ，C 正确； 对于B 选项：
06152433425160165,6422222222222222ij a i j i j =⋅+=∴⋅==⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯故共出
现7次，故B 错误； 对于D 选项，令1n =时，()2
2211214
4
n n S +⨯===，而数阵中无1，故D 错误；
故选：AC. 11．ABC
【分析】过点P 作线段EF ，EF 分别与球1O 、2O 切于点F 、E ，结合球的切线的性质与椭圆定义即可得A 、B ，借助离心率的定义可得C ，借助正切函数的定义可得D.
【详解】
对A ，B ：过点P 作线段EF ，EF 分别与球1O 、2O 切于点F 、E ， 由图可知，1PF 、2PF 分别与球1O 、2O 切于点1F 、2F ， 故有1212PF PF PF PE EF O O +=+==，
由椭圆定义可知，该椭圆以1F 、2F 为焦点，12O O 为长轴长，故B 正确， 由1PF 与球1O 切于点1F ，故111O F OF ⊥， 有2
2
2
2221111O F OO OF a c b =−=−=，
即有椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A 正确； 对C:由题意可得11O OF θ=∠，则11
cos OF c e a OO θ=
==，故C 正确；
对D ：由题意可得111AG FG =，1111O OF AO F θ=∠=∠，
故111
tan 2FG AG R R
θ
==，即1
tan 2
AG R θ=，故D 错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于作出线段EF ，从而可结合球的切线的性质与椭圆定义逐项判断. 12．(],e 1−∞−
【分析】根据分段函数的性质及对数函数的单调性解不等式可得结果. 【详解】当0x ≤时，()11f x x =+≤得0x ≤，0x ∴≤
当0x >时，()()ln 11f x x =+≤，得1e 1x −<≤−，所以0e 1x <≤−， 综上：()1f x ≤的解集为(],e 1−∞−， 故答案为：(],e 1−∞−. 13．34π
【分析】将三棱锥1A CDE −补形成长方体，将问题转化成求长方体的外接球，再利用长方体外接球直径即长方体体对角线长，即可求出结果.
【详解】由题意，可将三棱锥1A CDE −补形成长方体，则长方体的外接球也即三棱锥1A CDE −的外接球，
设长方体外接球半径为R ，则2222(2)33434R =++=，得到2434R =，
所以2
4π34πS R ==球，
故答案为：34π. 14．3750−
【分析】由已知可得数列{}n a 为等差数列，根据1477S =，可得111713110a a +=，结合
111,N a a +∈，求得11112,2a a ==，得解.
【详解】n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，所以设n S An B n =+，,A B 为常数，
2n S An Bn ∴=+，1a A B ∴=+，当2n ≥时，
()()2
21112n n n a S S An Bn A n B n An A B −=−=+−−−−=−+，
*2,N n a An A B n ∴=−+∈，则12n n a a A −−=（常数）.
∴数列{}n a 为等差数列，
1477S =，()()1144117777a a a a ∴+=+=，
所以1414111111a a a a =−⎧⎨=−⎩，即141111*********a a a a a a −=−⎧⎨−=−⎩，即1
11131127211d a d a =−⎧⎨=−⎩，
则()1111111111137
a a a a d −−−−=
=，
111713110a a ∴+=，111,N a a +∈，11103
13
a ∴≤， 经检验可得11112,2a a ==， 则111
110
a a d −==−，13n a n ∴=−， ()252
n n n S −⋅∴=
，
1003750S ∴=−.
故答案为：3750−. 15．
(2)52
【分析】（1）根据条件，利用余弦定理，即可求出结果；
（2）根据（1）中结果及条件，求得sin ACD ∠，sin ADC ∠，再利用正弦定理即可求出结果.
【详解】（1）在ABC 中，由余弦定理可得：222cos 2AC BC AB BCA AC BC
+−∠=⋅，
又AB =3AC =
，BC =
cos BCA ∠=
=. （2）由（1
）知cos BCA ∠=
sin BCA ∠===，
又12cos 13BCD ∠=−
，所以5
sin 13BCD ∠===，
所以()sin sin sin cos cos sin ACD BCD BCA BCD BCA BCD BCA ∠=∠−∠=∠∠−∠∠
51213213226
=
⋅+⋅=
，
又cos 5ADC ∠=
，所以2
sin 5
ADC ∠==， 在ACD 中，由正弦定理可得：sin sin AC AD
ADC ACD =∠∠
，得到32526，
所以52
AD =
.
16．(1)证明见解析
【分析】（1）由几何关系证明四边形ABCD 是等腰梯形，再由长度关系得到四边形AOFM 是平行四边形，最后利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）建系，利用线面角求出F 点坐标，再分别求出平面BED 的法向量和平面BCF 的法向量，代入二面角的向量公式即可求解.
【详解】（1）
证明：连接BD 与AC 交于点O ，连接,AM OF ，
3AD CD ==，120ADC ∠=︒，
30DCA ∴∠=，222
cos120
2AD DC AC AD
DC
，即AC =，
又3,6AB BC ==，则222AB AC BC +=，
90CAB ∴∠=︒，30DAC ACB ∠=
∠=︒，所以四边形ABCD 是等腰梯形，
//AD BC 且1
2
AD BC =
， 1133
AO
AC EF MF ，所以四边形AOFM 是平行四边形，
//AM OF 又AM ⊄面BDF ，OF ⊂面BDF ，所以//AM 平面BDF .
（2）因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，且四边形ACFE 是矩形，AC 为两平面的交线，AE AC ⊥， 所以⊥AE 平面ABCD ， 建立如图所示空间直角坐标系，
由BF 与平面ABCD 所成角为π6
，易知CF ⊥面ABCD 可得π
6FBC ∠=，
所以π
6tan
236
CF
，
因为ADC △为等腰三角形，且30DAC ∠=︒， 所以点D 的横坐标长度为33
cos30
2
AD ，纵坐标长度为3
2，
(
)(
)(
(30,3,0,,,0,0,,,02B C F E D ⎫
∴−⎪⎪
⎝⎭
，
则(0,BE =−， 39,022BD ⎛⎫
=− ⎪ ⎪⎝⎭
，
()
33,3,0BC =− ，(33,3,BF =−，
设平面BED 的法向量为
()1111,,n x y z =，则11111130
339
022BE n
y BD n x y ⎧⋅=−+=⎪
⎨⋅=−=⎪⎩， 取2y =
，(123,2,n ∴=，
设平面BCF 的法向量为()2222,,n x y z =，
则222222233303330BC n
y BF n y ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，
取1x =，()
21,n ∴=，
121212
2cos cos
,12n n n n n n θ⋅∴==
=
=
即平面BED 与平面BCF . 17．(1)min 40n =
(2)选择方案一，理由见解析
【分析】（1）先补全22⨯列联表，求得2χ关于n 的表达式，再利用独立性检验得到关于n 的不等式，解之即可得解；
（2）利用独立事件的概率公式分别求得方案一与方案二中小化晋级的概率，再比较即可得解.
【详解】（1）
零假设为0H ：关注航天事业发展与学生群体无关，
根据列联表中的数据，经计算得到2
2
825510733263101055
n n n n n n n n n n χ⎛⎫⋅⋅− ⎪
⎝⎭=
=⋅⋅⋅， 因为依据小概率值0.05α=的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，
所以2
8 3.84130.2563
n
n χ=
>⇒>，
由题可知，n 是10的倍数，min 40n ∴=
（2）记小华同学答出三个问题的事件分别A ，B ，C ， 则()3
4P A =
，()23
P B =，()12P C =， 记选择方案一通过的概率为1P ，
则()()()()1P P ABC P ABC P ABC P ABC =+++ 32131112132117
43243243243224
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； 记选择方案二通过的概率为2P ， 则()()()2111
333
P P AB P BC P AC =++
132213129343324272
⎛⎫=⋅⋅+⋅+⋅= ⎪⎝⎭； 12P P >，∴小华应该选择方案一.
18．(1)22143
x y +=
(2)（i ）31,2D ⎛⎫− ⎪⎝⎭；（ii
）证明见解析，
2
【分析】（1
）依题意可得1
2
1()2c a a c b ⎧=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩a 、b 、c ，即可得解；
（2）（i ）连接PC ，由面积公式推导出31
22
DPC
APC
OPC
S
S S
=
==，从而得到//OD PC ，即可
求出OD 的方程，联立直线与椭圆方程，求出D 点坐标；
（ii ）设直线QC 的斜率为k ，QC 的方程为()2y k x =−，再求出直线AB 的方程，联立求出Q 、P 点坐标，从而求出BP 的方程，即可求出N 点坐标，再由斜率公式计算可得
.
【详解】（1）由题意得12
1()2c a a c b ⎧=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩
222c a b =−，解得21a c b ⎧=⎪=⎨⎪⎩，
∴椭圆M 的标准方程为
22
143
x y += （2）（i ）由（1）可得()2,0C ，
连接PC ，因为1APF
S S =，2DCF
S S
=，
所以12133
422
2
APC
DPC
DPC
S S S S
S −=−=⨯⨯−=
， 3122
DPC
APC
OPC
S
S S
∴=
==，
//OD PC ∴，所以
2
30
2312O PC
D k k −=−=−
=， 所以直线OD 的方程为32y =−，联立22
32
1
43y x x y ⎧
=−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得132D D x y =⎧⎪⎨=−⎪⎩或1
32D D x y =−⎧⎪⎨
=⎪⎩（舍去）， 31,2D ⎛
⎫∴− ⎪⎝
⎭.
（ii ）设直线QC 的斜率为k ，则直线QC 的方程为：()2y k x =−，
又(B ，()2,0A −，直线AB
的方程为2)y x =+，
由()22)y
k x y x ⎧=−⎪
⎨=+⎪
⎩，解得x y ⎧
=
⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
所以Q ，
由22(2)14
3y k x x y =−⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得2222(34)1616120k x k x k +−+−=，
由(
)()
422
Δ25643416120k k k =−+−>，
则221612234P k x k −=+，所以22
86
34P k x k −=+，
则()2228612223434P P k k
y k x k k k ⎛⎫−−=−=−= ⎪++⎝⎭
， 2228612,3434k k P k k ⎛⎫
−−∴ ⎪++⎝⎭
， 依题意B 、P 不重合，所以2860k −≠
，即k ≠
所以22222
121234868634BP
k k
k k k k k −−−−+−−+==， ∴直线BP
的方程为y x =
令0y =
0x =
，解得x =，
N ⎫
∴⎪⎪⎭
，
12QN
k k ∴===+，
2QN QC k k ∴−=
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.
19．(1)π
4
(2)21y x =− (3)证明见解析
【分析】（1）根据所给新定义、公式计算即可；
（2）利用导数求出切线方程，根据公式计算面积，据此求出切线方程中参数，得解； （3）根据所给面积公式及定积分的运算得出1
41
3n n n n S d a b b +=⋅，利用裂项相消法求和即可得证.
【详解】（1）由题意可知()()2
0π
22
F f t dt ==⎰，()()30ππ33π288F f t dt ==−=⎰，
55π3π(2)(3)π44284
F F ∴−=⋅−=. （2）设切点为()
200 ,A x x ，()0,0C x ，切线的斜率为02y x '
=，
则切线方程为()2
0002y x x x x −=−，所以切线与轴的交点为0,02x B ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 所以由题意可知围成的面积：0
2
320000*********
x ABC
S x dx S
x x x x =−=−⋅=⇒=⎰, 所以切点坐标为()1,1A ，切线方程为21y x =−.
（3）联立212211
1111n n n n n n n y b x b a b b y b x b +++⎧=+⎪⎛⎫⎪
⇒=⎨ ⎪⎝⎭⎪=+
⎪⎩， 由对称性可知，两条抛物线围成的封闭图形的面积为
222
10111122n a n n n n n n n d S b x b x dx dx dx b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+−+=−+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰, 令()21n n d f x dx b b +=−+
，()()()31
3n n d dx
F x f x F x x C b b +=⇒=−+
+'（C 为常数）, ()()()3
2
30
1121033n
a n n n n n n n da d d f x dx F a F a
b b b b ++⎛⎫∴=−=−
+= ⎪⎝⎭
⎰
，
32
1413n n n d S b b +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，114141133n n n n n n S d a b b b b ++⎛⎫∴=⋅=− ⎪⎝⎭，
则12
12
1223
11141111114114333
n n n n n S S S a a a b b b b b b b b ++⎛⎫⎛⎫+++
=−+−++
−=−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。