求函数极限的方法总结及例题

求函数极限的方法总结及例题
一、求函数极限的方法总结。

1. 代入法。

当函数在极限点处连续时，直接将极限点代入函数求值。

例如，对于函数
f(x)=x + 1，求lim_x→2(x + 1)，直接将x = 2代入，得到lim_x→2(x+1)=2 + 1=3。

2. 因式分解法。

适用于(0)/(0)型的极限。

例如，求lim_x→1frac{x^2-1}{x 1}，将分子因式分解为(x + 1)(x 1)，则原式=lim_x→1((x + 1)(x 1))/(x 1)=lim_x→1(x + 1)=2。

3. 有理化法。

对于含有根式的函数，通过有理化来消除根式。

例如，求lim_x→0(√(x+1)-1)/(x)，分子分母同时乘以√(x + 1)+1进行有理化，得到lim_x→0((√(x + 1)-1)(√(x + 1)+1))/(x(√(x + 1)+1))=lim_x→0(x)/(x(√(x + 1)+1))=lim_x→0(1)/(√(x + 1)+1)=(1)/(2)。

4. 等价无穷小替换法。

当x→0时，sin xsim x，tan xsim x，ln(1 + x)sim x，e^x-1sim x等。

例如，求lim_x→0(sin2x)/(x)，因为sin2xsim2x(x→0)，所以
lim_x→0(sin2x)/(x)=lim_x→0(2x)/(x)=2。

5. 洛必达法则。

对于(0)/(0)型或(∞)/(∞)型的极限，可对分子分母分别求导再求极限。

例如，求lim_x→0frac{e^x-1}{x}，这是(0)/(0)型，根据洛必达法则，lim_x→0frac{e^x-
1}{x}=lim_x→0frac{(e^x-1)'}{x'}=lim_x→0frac{e^x}{1}=1。

二、例题。

1. 例1。

求lim_x→3frac{x^2-9}{x 3}
解析：
这是(0)/(0)型极限，可先对分子因式分解，x^2-9=(x + 3)(x 3)。

则原式lim_x→3((x + 3)(x 3))/(x 3)=lim_x→3(x + 3)=6。

2. 例2。

求lim_x→0(√(1 + x)-1)/(frac{1){2}x}
解析：
这是(0)/(0)型极限，可对分子进行有理化。

分子分母同时乘以√(1 + x)+1，得到lim_x→0((√(1 + x)-1)(√(1 +
x)+1))/(frac{1){2}x(√(1 + x)+1)}。

分子(√(1 + x)-1)(√(1 + x)+1)=1 + x 1=x。

则原式lim_x→0(x)/(frac{1){2}x(√(1 + x)+1)}=lim_x→0(2)/(√(1 + x)+1)=1。

3. 例3。

求lim_x→0(sin3x)/(5x)
解析：
当x→0时，sin3xsim3x。

则原式lim_x→0(sin3x)/(5x)=lim_x→0(3x)/(5x)=(3)/(5)。

4. 例4。

求lim_x→1frac{x^3-1}{x 1}
解析：
首先对分子因式分解，x^3-1=(x 1)(x^2+x + 1)。

则原式lim_x→1frac{(x 1)(x^2+x + 1)}{x 1}=lim_x→1(x^2+x + 1)=3。

1. 题目1。

求lim_x→2frac{x^2-4}{x 2}（人教版教材难度适中的题目）
解析：
这是(0)/(0)型极限。

对分子因式分解，x^2-4=(x + 2)(x 2)。

则原式lim_x→2((x + 2)(x 2))/(x 2)=lim_x→2(x + 2)=4。

2. 题目2。

求lim_x→0(√(4 + x)-2)/(x)（人教版教材基础题目）
解析：
这是(0)/(0)型极限。

分子分母同时乘以√(4 + x)+2进行有理化。

得到lim_x→0((√(4 + x)-2)(√(4 + x)+2))/(x(√(4 + x)+2))。

分子(√(4 + x)-2)(√(4 + x)+2)=4 + x 4=x。

则原式lim_x→0(x)/(x(√(4 + x)+2))=lim_x→0(1)/(√(4 + x)+2)=(1)/(4)。

3. 题目3。

求lim_x→0(tan2x)/(3x)（人教版教材中等难度题目）
解析：
当x→0时，tan2xsim2x。

则原式lim_x→0(tan2x)/(3x)=lim_x→0(2x)/(3x)=(2)/(3)。

4. 题目4。

求lim_x→ 1frac{x^3+1}{x + 1}（人教版教材中等难度题目）
解析：
对分子因式分解，x^3+1=(x + 1)(x^2-x + 1)。

则原式lim_x→ 1frac{(x + 1)(x^2-x + 1)}{x + 1}=lim_x→ 1(x^2-x + 1)=3。